属性2：性质
属性1：导入
案例6：概率的意义
属性1：典型问题情境
几何
摸球与彩票 产品检验 投硬币与骰子
数学问题 实验操作
变 异
规 律
预 测
量 化
误 差
属性2：性质
日常经验
故事
属性1：导入
案例7：平行线性质
属性4：问题情境
运动问题
折纸问题 拼图问题 几何问题 “F”形
属性3：基本图形
“Σ”形
“E”形
引子2：铺垫与脚手架

有层次的推进 可以保留在头脑中 脚踏实地 目标驱动 途徑单一,进度不同

跳来跳去 临时的 风险大 活动驱使 多种途徑，多种进度
引子3：数学思维的特征
1. 数学是一门形式的科学，数学对象通常都有多种 表达形式；
2 1 2 1 0.7 0.3 100% 2 3 3 0. 9 2 0 log a a 12015 [1.23] sin x sin sin cos lim x 0 2 x
教学路径（2）
4. 算与证：可以写成两个整数之比吗？
q q 2 a , p, q不可约，则 a 2 p p q 2 p ，q是偶数，设q=2k，则
2 2
2
4k 2 p , 2k p , p是偶数，矛盾.
2 2 2 2
5. 形式：无限不循环小数
对比：有限小数和无限循环小数都可以写成分数
教学路径（4）
8. 算与证：两个无理数的运算结果一定是无理数码？
2 x，x是无理数?（反例？）
2 2 x， , x是无理数?（反例？） x
0.1234567891011121314
x.1234567891011121314=无理数？
拓展：的表示
案例2：等腰三角形
属性4：问题情境
运动问题
本报告主要基于上述的研究
谢谢！
1. 有助于形成良好的认知结构
数学思想方法
典型例题
双基
2. 在较大的认知单元上工作
课例： “二元一次方程组的应用”复习课
例8 例7 例8 例6
例7
例6
例5 例4 例3 例2 例2 例3
例5 例1
例4
例1
原设计
新设计
3. 设计奠基性数学活动（林福来）
由圆柱和圆锥的体积推测圆台的体积公式
？
V hr
2 2 .


2 2
2 i 2
2. 基于变式的化归是数学问题解决的基本思路； 3. 提高练习效率的重要途径：举一反三和反三归一
引子4：变式教学存在的问题
1. 变式教学在我国具有广泛的实践经验，但许多老师都是 在不自觉地运用变式教学的思想。
需要把变式教学变成一个自觉的行为
2. 变式教学的目的是让学生学得聪明一点，但很多时候变 成了单纯的变式训练。
2
1 2 V hr 3
V h(r r ) 1 V h(r12 r22 ) 2 1 2 2 V h(r1 r2 ) 3 1 2 2 2 2 V h(r1 r1 r2 r2 ) 3 1 2 2 V h(r1 r1r2 r2 ) 3
初中数学变式教学的 理论与案例分析
华东师范大学数学系 鲍建生 jsbao@
欢迎投稿
编辑部电子信箱： sxjxzz@
在线视频介绍（忻重义）： / magazine/math/1.htm
应该通过变式教学，拓展学生的思维
3. 变式教学的目的是针对最近发展区构建教学支架，但有 的变式活动成为“脚踩西瓜皮，滑到哪里是哪里”
应该通过变式教学，聚焦核心概念和思想方法
4. 许多老师觉得，变式教学挺好，但不容易设计有效的变 式问题。
寻找变式教学设计的有效工具
一、中国的变式教学与西方的 变易理论
“Z”形
数学问题 实际情境
调 味 酱
内 错 角
讨论三线八角
由判定定理导入
同 旁 内 角
唯 一 性
三 角 形 内 角 和
属性2：性质
属性1：导入
三、变式教学的理论基础
变式教学是中国数学教学的特色之一
1. “不愤不启，不悱不发，举一隅不以三隅反，则不复也 。”（《论语. 述而第七》） 2. “君子之教，喻也。”“道而弗牵，强而弗抑，开而弗 达。道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和 易以思，可谓善喻矣。”（《礼记· 学记》） 3. 中国数学教育的特色之一是“变式训练”，（张奠宙、 李士锜、李俊，2002） 4. 在教学中使学生确切掌握概念的重要方式之一。（《教 育大辞典》，顾明远，1999） 5. 变式是教学中使学生确切掌握概念的方法之一，即从不 同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概 括出事物的一般属性。（《实用教育大辞典》，王焕勋 ，1995）
第2步: 学生独立探究
方法1：量出 ∠C的 大小; 作 ∠B ＝∠C; 则∠B的一条边和 ∠C的一条边的延长 线交于点A.
方法2：作边BC 的垂直平分线与 ∠C的另一边的 延长线交于点A.
方法3：如图， 将长方形纸片 对折使点B和 点C重合，找 到∠ C与折痕 的交点A
问题：你能够证明这样画出的三角形是等腰三角形吗
引子1：青浦实验中的变式教学
A
证明等腰三角形的判定定理： 有两个内角相等的三角形是等 腰三角形.
B
C
第1步：利用情境变式激发探究兴趣
A
B
C
原題 已知：∠B = ∠C, 求证：AB = AC.
情境性变式：小强想证明下面的问题 ：“有两个角（图中的∠B 和 ∠C）相 等的三角形是等腰三角形”.但他不小 心将图弄脏了，只能看见图中的∠C和 边BC. 请问：他能够把图恢复成原来的 样子吗？
6. 形式：根号
教学路径（3）
7. 形式：还有其它这样的数码？
2 1
q q q p 2 1 , 2 1 p p p
2 x，x是有理数?
2-x，x是有理数?
2 x，x是整数？ 2 x， , x是有理数? x 0.4143135623730是无理数吗？
0.1234567891011121314是无理数吗？ x.1234567891011121314是无理数吗？
3. 鲍建生,黄荣金,易凌峰 &顾泠沅(2003).变式教学研究.数学教 学,1-3
4. 聂必凯(2004).数学变式教学的探索性研究. 华东师大博士论文 5. Gu L., Huang, R. & Marton, F.(2004). Bianshe Jiaoxue (Teaching with variation): An effective way of mathematics teaching in China. In L. Fan, N. Y. Wong, J. Cai, & S. Li (Eds.),HowChinese learn mathematics: Perspectives from insiders(pp.309-348). Singapore: World Scientific
几 何
方 程
函 数
极 限
关键属性2：背景
关键属性1：形式
教学路径（1）
1. 背景：正方形
2. 形式：数轴上的点
a 2
2
0 1a 2
3. 形式：小数估计
1.4 a 1.5 1.41 a 1.42 1 a 2 1.414 a 1.415 1.4143 a 1.4144
对称问题 拼图问题 折剪问题
属性3：典型例题
对称与运动： 作图与构造：镰刀图形
度量计算：
判定形状：作业布置
三角形的分类 对称性
定 义
生活图案
折纸
边 角 关 系
三 线 合 一
轴 对 称
属性2：性质
属性1：导入
案例3：二次函数
属性4：问题情境
运动问题
几何问题 最值问题 抛物线问题
属性3：典型例题
因式分解： 根的分布：
添项与减项
抽 象 符 号
逆 向 变 形
属性2：形式
属性1：导入
案例5：不等式性质
属性4：问题情境
最值问题
度量问题 路程问题 解不等式
属性3：典型例题
取值范围： 非负数：三角形代换
商比较法换：
差比较法：
等式的性质 天平
加 减 法 数轴
乘 除 正 数
乘 除 负 数
乘 方
数的大小关系
不 等 式 的 定 义
中国 数学变式教学中的各种变式
标准变式 概念变式
概念性变式非概念变式 精致ຫໍສະໝຸດ 习非标准变式铺垫教学
过程性变式
解题三部曲 问题解决的变式化归
马顿的变易理论
为了认识某个事物，就必须注意到这个事 物与其他事物之间的不同。为了注意这个 事物与其他事物在某个属性上的不同，这 个属性就必须在某个维度上发生变化。在 所有其他属性都保持不变的情况下，这个 差异才可以被识别出来。 ————F. Marton
第3步：证明定理
学生自己发现的不同证法：：
证法1：作∠A的平 分线，然后证明： △ABT ≌ △ACT
证法2：过A作AD垂直
证法3：过A作BC边上
于BC, 证明 △ABD ≌ △ACD
的中线，证明：
ABM ACM
錯誤!
证法4：（反证法）：
证法5：证明 △ABC ≌ △ACB
假设AB>AC, 那么 ∠C > ∠B.
2 1 2 2
4. 聚焦本源性问题（化归思维）
乌鲁木齐市第十三中学 胡玉社
变化一
变式③