第5讲 简便计算(四)—— 列项相消法(拆分法)
一:裂项相消法(拆分法):把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相
加的形式,然后再进行计算的方法叫做裂项相消法,也叫拆分法。
二:列项相消公式
(1)111(n 1)1
n n n =-++ (2)
()11k n n k n n k =-++ (3)1111()(n )n k n n k k
=-⨯++ (4)
()()()()()1111121122n n n n n n n ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ (5)11a b a b a b
+=+⨯ (6)22a b b a a b a b
+=+⨯ 三:数列
(1)定义:按一定的次序排列的一列数叫做数列。
(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。
依次叫做这个数列的第一项(首项)、第二 项、、、、、、第n 项(末项)。
(3)项数:一个数列中有几个数字,项数就是几。
四:等差数列
(1)定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列。
而这个常数叫做等差数列的公差。
(2)等差数列的和=(首项+末项)×项数÷2
(3)等差数列的项数=(末项-首项)÷公差+1
(4)等差数列的末项=首项+公差×(项数-1)
三:经典例题
例1、111111112233445566778
++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ (例1、例2、例3的运算符号都是加号相连,分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式111(n 1)1
n n n =-++)
例2、1111111 261220304256 ++++++
例3、
111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110
例4、
111111 133557799111113 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
例5、11111
315356399
++++例6、
11111
1+3+5+7+9
315356399
144771*********⨯⨯⨯⨯⨯
例8、
22222 +++++ 1335572001200320032005⨯⨯⨯⨯⨯
例9、3579111315
-+-+-+
261220304256
例10、3549637791105
61220304256
-+-+-
(例9和例10的运算符号是一减一加,分母能分解成两个连续数相乘,分子恰好是这两个
数相加的和。
可用公式
11
a b
a b a b +
=+
⨯
)
例11、15111997019899 +++++ 26122097029900
+
(观察到每个分数分母都比分子多1,分解分母,可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式,想方设法将每个分数的分子都变为1,可用列项相消法巧算。
)
612203042567290
(观察到每个分数分子都比分母多1,分解分母,可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式,想方设法将每个分数的分子都变为1,可用列项相消法巧算。
)
例13、2
22
22++++13355779911681024⨯⨯⨯⨯⨯
例14、1
1
1
11
123234345456567++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
(观察到分子都是1,分母是连续的三个数相乘,
所以可以用公式
()()()()()1
1
11121122
n n n n n n n ⎛⎫
=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭)
例15、
22222222 12233420012002 12233420012002 ++++
++++
⨯⨯⨯⨯
(观察此题可用公式
22
a b b a
a b a b
+
=+
⨯
列项凑整,但不能相消。
)
四:考题精选
1、111111111 612203042567290110 ++++++++
2、
1111111111 135791113151719 2612203042567290110 +++++++++
3、
11111 24466881019982000 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯
4、
22222 24466881098100 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯
5、
11111 123410 3153563399 +++++
6、
579111315 1-+-+-+ 61220304256
7、3549637791105 61220304256
-+-+-
8、
111 234345101112 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
9、
111111 135357579791191113111315 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
10、
1111 1212312341232011 ++++
++++++++++
11、
22222222 12233419992000 12233419992000 ++++
++++
⨯⨯⨯⨯。