第5讲 简便计算（四）—— 列项相消法（拆分法）
一：裂项相消法（拆分法）：把一个分数拆成两个或两个以上分数相减或相
加的形式，然后再进行计算的方法叫做裂项相消法，也叫拆分法。

二：列项相消公式
（1）111(n 1)1
n n n =-++ （2）
()11k n n k n n k =-++ （3）1111()(n )n k n n k k
=-⨯++ （4）
()()()()()1111121122n n n n n n n ⎛⎫=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭ （5）11a b a b a b
+=+⨯ （6）22a b b a a b a b
+=+⨯ 三：数列
（1）定义：按一定的次序排列的一列数叫做数列。

(2)数列中的每一个数叫做这个数列的项。

依次叫做这个数列的第一项（首项）、第二 项、、、、、、第n 项（末项）。

（3）项数：一个数列中有几个数字，项数就是几。

四：等差数列
（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

而这个常数叫做等差数列的公差。

（2）等差数列的和=（首项+末项）×项数÷2
（3）等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
（4）等差数列的末项=首项+公差×（项数-1）
三：经典例题
例1、111111112233445566778
++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （例1、例2、例3的运算符号都是加号相连，分母都可以分解为两个连续正整数的积可用公式111(n 1)1
n n n =-++）
例2、1111111 261220304256 ++++++
例3、
111111111 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 612203042567290110
例4、
111111 133557799111113 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
例5、11111
315356399
++++例6、
11111
1+3+5+7+9
315356399
144771*********⨯⨯⨯⨯⨯
例8、
22222 +++++ 1335572001200320032005⨯⨯⨯⨯⨯
例9、3579111315
-+-+-+
261220304256
例10、3549637791105
61220304256
-+-+-
（例9和例10的运算符号是一减一加，分母能分解成两个连续数相乘，分子恰好是这两个
数相加的和。

可用公式
11
a b
a b a b +
=+
⨯
）
例11、15111997019899 +++++ 26122097029900
+
（观察到每个分数分母都比分子多1，分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式，想方设法将每个分数的分子都变为1，可用列项相消法巧算。

）
612203042567290
（观察到每个分数分子都比分母多1，分解分母，可以看出分母都是两个两个连续的数相乘的形式，想方设法将每个分数的分子都变为1，可用列项相消法巧算。

）
例13、2
22
22++++13355779911681024⨯⨯⨯⨯⨯
例14、1
1
1
11
123234345456567++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
（观察到分子都是1，分母是连续的三个数相乘，
所以可以用公式
()()()()()1
1
11121122
n n n n n n n ⎛⎫
=-⨯ ⎪ ⎪+++++⎝⎭）
例15、
22222222 12233420012002 12233420012002 ++++
++++
⨯⨯⨯⨯
（观察此题可用公式
22
a b b a
a b a b
+
=+
⨯
列项凑整，但不能相消。

）
四：考题精选
1、111111111 612203042567290110 ++++++++
2、
1111111111 135791113151719 2612203042567290110 +++++++++
3、
11111 24466881019982000 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯
4、
22222 24466881098100 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯
5、
11111 123410 3153563399 +++++
6、
579111315 1-+-+-+ 61220304256
7、3549637791105 61220304256
-+-+-
8、
111 234345101112 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
9、
111111 135357579791191113111315 +++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
10、
1111 1212312341232011 ++++
++++++++++
11、
22222222 12233419992000 12233419992000 ++++
++++
⨯⨯⨯⨯。