全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答案）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
三角形中两中点，连接则成中位线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法4）（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2 ）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。
5）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”6）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．7）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC中，AB=5 , AC=3，则中线AD的取值范围是例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE丄DF , D是中点，试比较BE+CF与EF 的大小.例3、如图，△ ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.(一)中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。
1已知：如图，△ ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD < - (AB+AC)21分析：要证明AD < - (AB+AC)，就是证明AB+AO2AD，也就是证明两条线2段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。
待证结论AB+AO2AD 中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。
证明：延长AD 至E，使DE=AD，连CE，贝U AE=2AD。
在厶ADB和厶EDC中，•••△ ADB ◎△ EDC(SAS)••• AB=CE又在厶ACE中,AC+CE >AE1••• AC+AB >2AD，即AD < - (AB+AC) 2小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角/ BAD和/CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解课题练习：ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，且 BD=CD ，求证AB=AC例4 :已知在厶ABC 中，AB=AC , D 在AB 上，E 在AC 的延长线上, 且 DF=EF ，求证：BD=CE例 3 : △ ABC 中, AB=5 , AC=3，求中线 AD 的取值范围DE 交BC 于F ，E连接BE连接 CDND课堂练习：已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF例5:已知：如图，在ABC中，AB AC , D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF // BA 交AE 于点F， DF=AC.求证：AE平分BACCD=AB，/ BDA= / BAD , AE 是厶ABD 的中线，求证：/ C= / BAE课堂练习：已知A作业：1、在四边形 ABCD 中，AB // DC , E 为BC 边的中点，/ BAE= / EAF , AF 与DC 的延长线相交于点F 。
试探究线段 AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论4 :已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C= / BAE2、已知：如图, ABC 中, C=90 ， CMAB 于 M ，A T 平分 BAC 交CM 于D ， 交BC 于T,过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.3 :已知在厶ABC 中，AD 是BC 边上的中线, AC 于 F ，求证：AF=EFE 是AD 上一点，且 BE=AC ，延长 BE 交DCAB5、在四边形 ABCD 中，AB // DC , E 为BC 边的中点，/ BAE= / EAF , AF 与DC 的延 长线相交于点F 。
试探究线段 AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论应用：1、( 09崇文二模)以 ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰Rt ACE ， BAD CAE 90，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点.探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系.(1) ___________________________________________________________________ 如图① 当 ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ________________________________ , 线段AM 与DE 的数量关系是 _____________ ;(2)将图①中的等腰 Rt ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转(0< <90)后，如图②所示，(1 )问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.BEF二、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2AC , AD 平分 BAC ，且 AD=BD ，求证:CD 丄 AC2、如图, AD // BC , EA,EB3、如图，已知在VABC 内,0 0BAC 60， C 40，P , Q 分别在 BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是 BAC ，ABC 的角平分线。
求证:4、如图，在四边形 ABCD 中，BC > BA,AD = CD , BD 平分 ABC , 分别平分/ DAB, / CBA ,CC求证：A C 180°5、如图在厶ABC中，AB > AC，/ 1 =Z 2 , P为AD上任意一点，求证；AB-AC > PB-PC已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BC >AB , AD = DC , BD平分/ ABC.求证：/ BAD +/ BCD =180 ° .分析：因为平角等于180 ° ,因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现•证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF丄BC于点F, 如图1-2•/ BD 平分/ ABC ,••• DE=DF ,在Rt △ ADE 与Rt △ CDF 中，DE DFAD CD• Rt △ ADE 也Rt △ CDF (HL ),•••/ DAE = / DCF.又/ BAD + / DAE =180 ° ,•/ BAD + / DCF =180即/ BAD + / BCD =180例 1. 如图2-1 , AD // BC，点E 在线段AB 上，/ ADE = / CDE，/ DCE =/ ECB .求证：CD =AD + BC .图E-1图2-1C例2. 已知，如图3-1,/ 1= / 2 , P为BN上一点，且PD丄BC于点D ,AB + BC=2BD.求证：/ BAP + / BCP=180 ° .图3-1例3. 已知：如图4-1，在△ ABC 中，/ C= 2 / B,/ 1 = / 2.求证：AB =AC+CD.图4-1作业:1、已知：如图，ABCD 是正方形，/ FAD = / FAE.求证：BE + DF=AE.2、五边形ABCDE 中，AB =AE , BC + DE =CD，/ ABC + / AED =18 0 °，求证：AD 平分/ CDE D F C应用:如虱在四边Jg AHCD中*仞〃肌\点F是AB上一个齒点•若£B =60%4J3 = BC, R £D試=60\判断""E与BC的关系井8E期你的结论. -、平移变换例1 AD为厶ABC的角平分线，直线MN丄AD于A.E为MN上一点，△ ABC周长记为P A，△ EBC周长记为P B.求证P B > F A.例2如图，在△ ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在厶ABC中，/ B=60OE=OD,△ ABC的角平分线AD,CE相交于点O,求证:2、如图，△ ABC 中，AD平分/ BAC , DG丄BC且平分BC , DE丄AB于E , DF丄AC 于F.(1 )说明BE=CF的理由；(2)如果AB= a , AC= b，求AE、BE的长.应用:1、如图①，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。