pi,i+1 = hi ， pi,i−1 = 1− hi ， i = 0,1, 2,...... 其中 h0 = 1 。如果要使此马尔科夫链为正常返，请给出 hi 应当满足的充分必要条
件。(15 分)
此题周期为 2。
四、假设某人总是由家到办公室，由办公室到图书馆，再由图书馆到家，他在这
三个地方的停留时间都服从期望为 µ 的指数分布。如果用一个连续时间 Markov
五、 若{Yn , n = 0,1,} 是任意随机变量序列，若对所有 n ， X n 是 Y0 ,,Yn 的函
n
∑ 数，且 E(| X n |) < +∞ ，= 令 Zn
[Xi
−
E(Xi
|
Y0
,
,
Yi
−1
)]
，其中约定
i
=
0 时，
i=0
E(X
i
|
Y0
,,
Yi−1
)
=
E(
X0
)
。
证明：{Zn } 是关于{Yn} 的一个鞅。(15 分)
(15 分)
∑ ∑ ∞
解：因为 E(−1)N (t) =
(−1)ne−λt (λt)n
=e−λt
∞
(−λt)n
=e−2λt ，
=n 0= n! n 0 n!
( ) ( ) ( ) E (−1)N (t) (−1)N (t+s) =E (−1)N (t) (−1)N (t+s)−N (t)+N (t) =E (−1)2N (t) (−1)N (t+s)−N (t)
0≤s≤t
0≤s≤t
{ } = P max B(s) ≥ 1= 0≤s≤t
P{T1 ≤ t}
= 2P{B(t) ≥ 1=} 2(1− Φ( 1 ))
t
是 Zn + Yn 的分布，且这些分布都是连续分布。记 P(t) = P{t 时刻系统是开的} ，
设
E(Yn
+
Zn )
<
∞ ，证明： lim t →+∞
P(t)
=
E ( Z1 ) E(Z1) + E(Y1)
。(15
分)
教材：定理 4.4.2，第 70 页至第 71 页。
三、假设一个不可约马尔科夫链的状态空间 S = {0,1, 2,} ，转移概率为
证明：（1）对任意的 n ≥ 0 ，
n
n
n
∑ ∑ ∑ E (| Zn |) =E(|
Xi
−
E(
Xi
|
Y0
,
,
Yi−1
)
|)
≤
E(| Xi |) +
E(E(|
Xi
||
Y0
,
,
Yi
−1
))
=i 0
=i 0=i 0
n
n
= ∑ E(| Xi |) +∑ E(| Xi |) < ∞.
=i 0=i 0
（2）对任意的 n ≥ 1,
所以 Cov( X (t), X (t + s)=) e−2λs (1− e−4λt ) + λ 3t 2 (t + s) 。
七、设标准布朗运动为 {B(t),t ≥ 0} 。假设市场上有两种风险资产，其价格分别为
X1(t) 和 X 2 (t) ， 且 X1(t) 满 足 d (ln X1(t)) = 0.4dB(t) ， X 2 (t) 满 足
d= X 2 (t) X 2 (t)
0.08dt + 0.4dB(t) ， X= 1(0)
X= 2 (0) 1。某人的初始财富为 1，他采用投入
持有策略，即将财富的一半投在风险资产 X1(t) 中，剩下的一半投在风险资产 X 2 (t)
中 ， 然 后 一 直 持 有 ， 不 做 任 何 其 它 交 易 。 设 他 的 财 富 过 程 为 Y (t) ， 求
模型来描述此人的习惯模式，请写出其对应的转移强度矩阵（Q 矩阵）。(10 分)
Байду номын сангаас：根据题意，离开状态
i
的强度为 qii
=
1 µ
，i
= 1, 2, 3 。又因为在有限状态时，
∑ qii = qij ，根据题目中的转移规律可知转移强度矩阵为 j≠i
−
1 µ
1 µ
0
0
−1 µ
1
µ
1
µ
0
−
1 µ
=E(−1)N (t+s)−N (t) =E(−1)N (s) =e−2λs
( ) 所以 Cov((−1)N (t) , (−1)N (t+s) )) = E (−1)N (t) (−1)N (t+s) − E(−1)N (t) ⋅ E(−1)N (t+s)
= e−2λs − e−2λte = −2λ (t+s) e−2λs (1 − e−4λt ) 又因为 EB(λt) = 0 ，而 λt ⋅ λ(t + s)Cov(B(λt), B(λ(t + s))) = λt ⋅ λ(t + s) ⋅ λt = λ 3t 2(t + s)
n−1
∑(
Xi
−
E(
Xi
|
Y0
,
,
Yi
−1
))
+
E(
X
n
|
Y0
,
,
Yn
−1
)
−
E(
X
n
|
Y0
,
,
Yn
−1
)
i=0
= Zn−1 .
六、假设{N (t),t ≥ 0} 为参数为 λ 的泊松过程，{B(t),t ≥ 0} 为标准布朗运动，两
者相互独立。令 X (t) =(−1)N (t) + λt ⋅ B(λt) ， t ≥ 0 。计算 X (t) 的协方差函数。
{ } P maxY (s) ≥ e0.4 。（请用标准正态分布函数表达）(15 分) 0≤s≤t
解：根据题意，
X1(t) = X 2 (t)
，
∴Y (t) = X1(t) = e0.4B(t)
{ } { } 则 P max e0.4B= (s) ≥ e0.4 P max 0.4B(s) ≥ 0.4
一、设保险索赔的发生是一个速率为 λ 的泊松过程，相继的索赔金额是独立的随 机变量，具有均值为 µ 的分布 G ，而且独立于到达时间。以 Si 和 Ci 分别记第 i 次 索赔的时间和金额， Si 和 Ci 都是随机变量。到时间 t 处理的所有索赔要求的全部
现值，记为 D(t) ，定义为
N (t)
∑ D(t) = e−αSi Ci ， i =1
t0
αt
所以
E(D(= t) | N (t)) N (t) µ (1 − e−αt ) ， αt
对上式取期望得
E(D= (t)) λµ (1 − e−αt ) α
二、假设随机向量列{(Zn ,Yn ), n ≥ 1} 是独立同分布的，从而{Zn} ，{Yn} 都是独
立同分布，但 Zi 和 Yi 之间允许不独立。假设 H 是 Zn 的分布，G 是 Yn 的分布，F
n
E( Cie−αU(i)=)
E
(C1
)
E
n
e−αUi
=i 1=i 1
最 后 的 等 式 是 因 为 U(1) ,,U(n) 是 U1,,Un 次 序 统 计 量 ， 所 以
n
n
∑ ∑ e = −αU(i)
e−αUi 。
i 1=i 1
继续这组等式导出
∫ E(D(t) | N (t=) n=) nµ(E(e−αU )=) n µ t e−αx d=x n µ (1 − e−αt ) ，
n
∑ E(Zn | Y0 ,= ,Yn−1) E( X i − E( X i | Y0 ,,Yi−1) | Y0 ,,Yn−1) i=0
n−1
∑ = E( X i − E( X i | Y0 ,,Yi−1) | Y0 ,,Yn−1) + E( X n − E( X n | Y0 ,,Yn−1) | Y0 ,,Yn−1) i=0
其中α 是折现率，而 N (t) 是到时间 t 为止的索赔次数，求 D(t) 的期望值。 (15
分)
解：因为已知
N
(t
)
=
n
，理赔到达时间
S1
,,
S
n
与
n
个独立均匀
(0,
t
)
随机
变量U1,,Un 的次序统计量U(1) ,,U(n) 有相同的分布。所以，
∑ ∑ E(D(t) | N (t=)
n=)