模块综合评价(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中的假命题是()A．∀x∈R，2x－1＞0 B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lg x＜1 D．∃x∈R，tan x＝2解析：当x＝1∈N*时，x－1＝0，不满足(x－1)2＞0，所以B为假命题．答案：B2．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y ＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推得“x ＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．答案：A3．对∀k∈R，则方程x2＋ky2＝1所表示的曲线不可能是()A ．两条直线B ．圆C ．椭圆或双曲线D ．抛物线解析：分k ＝0，1及k ＞0且k ≠1，或k ＜0可知：方程x 2＋ky 2＝1不可能为抛物线．答案：D4．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：由y ＝x x ＋2，得y ′＝2（x ＋2）2，所以在点(－1，－1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝－1＝2.由点斜式得切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.答案：A5．抛物线y ＝14x 2的焦点到准线的距离是( ) A.14 B.12C ．2D ．4 解析：方程化为标准方程为x 2＝4y .所以 2p ＝4，p ＝2.所以 焦点到准线的距离为2.答案：C6．下列结论中，正确的为( )①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件③“p 或q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件④“綈p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A．①②B．①③C．②④D．③④解析：p∧q为真⇒p真q真⇒p∨q为真，故①正确，由綈p为假⇒p为真⇒p∨q为真，故③正确．答案：B7．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为() A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)＜f(1)C．f(－1)＞f(1) D．无法确定解析：f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2.所以f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x.f(1)＝－3，f(－1)＝5.所以f(－1)＞f(1)．答案：C8．过点P(0，3)的直线与双曲线x24－y23＝1只有一个公共点，则这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：数形结合，直线与双曲线只有一个公共点，有两个可能：一是直线恰与双曲线相切，二是直线与双曲线的渐近线平行．根据图形的对称性共有4条.答案：D9．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0，4)上是减函数，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 解析：f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x .由题意知3kx 2＋6(k －1)x ≤0.即kx ＋2k －2≤0在(0，4)上恒成立，得k ≤2x ＋2，x ∈(0，4) 又13＜2x ＋2＜1，所以 k ≤13. 答案：D10．以正方形ABCD 的相对顶点A ，C 为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为( ) A.10－23B.5－13C.5－12D.10－22解析：设正方形的边长为m ，则椭圆中的2c ＝2m ，2a ＝12m ＋m 2＋14m 2＝1＋52m ，故椭圆的离心率为c a ＝221＋5＝10－22. 答案：D11．已知a 为常数，函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则( )A ．f (x 1)＞0，f (x 2)＞－12B ．f (x 1)＜0，f (x 2)＜－12C ．f (x 1)＞0，f (x 2)＜－12D ．f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12解析：函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则f ′(x )＝ln x －2ax ＋1有两个零点，即方程ln x ＝2ax －1有两个极根，由数形结合易知0＜a ＜12且0＜x 1＜1＜x 2.因为在(x 1，x 2)上f (x )递增，所以f (x 1)＜f (1)＜f (x 2)，即f (x 1)＜－a ＜f (x 2)，所以f (x 1)＜0，f (x 2)＞－12. 答案：D12．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，则e 21＋e 22（e 1e 2）2的值为( )A.12B ．1C ．2D ．4 解析：设椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2.平方相加得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又因为PF 1→·PF 2→＝0，所以 PF 1⊥PF 2，所以 |PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，所以 a 21＋a 22＝2c 2，所以 a 21c 2＋a 22c 2＝2， 即1e 21＋1e 22＝e 21＋e 22e 21e 22＝2. 答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．函数f (x )＝x ＋1x的极大值是________，极小值是________． 解析：f ′(x )＝1－1x 2(x ≠0)，由f ′(x )＝0得x ＝±1，当x ＜－1时，f ′(x )＞0，当－1＜x ＜0时f ′(x )＜0，则f (x )有极大值f (－1)＝－2；又当0＜x ＜1时f ′(x )＜0，当x ＞1时f ′(x )＜0，则f (x )有极小值f (1)＝2.答案：－2 214．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线l 与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，当y 21＋y 22＝32时，直线l 的方程为________．解析：y 21＋y 22＝4(x 1＋x 2)＝32， 所以 x 1＋x 2＝8，所以 线段AB 的中点的横坐标为4.答案：x ＝415．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p ＝________．解析：依题意，设抛物线的焦点为F ，点Q 的横坐标是x 0(x 0≥0)，则有|QF |＝x 0＋p 2的最小值是p 2＝1，则p ＝2. 答案：216．下列命题中，正确命题的序号是________．①可导函数f (x )在x ＝1处取极值则f ′(1)＝0；②若p 为：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p 为：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＞0；③若椭圆x 216＋y 225＝1两焦点为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，则△ABF 2的周长为16. 解析：命题③中，椭圆焦点在y 轴上，a 2＝25，故△ABF 2的周长为4a ＝20，故命题③错误．答案：①②三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)求适合下列条件的标准方程：(1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，求它的标准方程；(2)已知双曲线的离心率e ＝2，经过点M (－5，3)，求它的标准方程．解：(1)已知椭圆经过点P (－5，0)，Q (0，3)，可得焦点在x 轴，所以 a ＝5，b ＝3，则标准方程：x 225＋y 29＝1； (2)因为离心率e ＝2，所以 a ＝b ，又经过点M (－5，3)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－9b 2＝1，a ＝b ，解得：a 2＝b 2＝16 或⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－25b 2＝1，a ＝b ，无解． 所以 双曲线C 的标准方程为：x 216－y 216＝1. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点(0，3)，且在(－∞，－1)和(3，＋∞)上为增函数，在(－1，3)上为减函数．(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在R 上的极值．解：(1)因为f (x )的图象过点(0，3)，所以 f (0)＝d ＝3所以 f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx ＋3， 所以 f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c .又由已知得x ＝－1，x ＝3是f ′(x )＝0的两个根．所以 ⎩⎨⎧－1＋3＝－2b ，－1×3＝c ，所以 ⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－3.故f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3. (2)由已知可得x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点．所以 f (x )极大值＝f (－1)＝143， f (x )极小值＝f (3)＝－6.19．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2t ＋1＋y 23－t＝1所表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：实数t 满足不等式t 2－(a －1)t －a ＜0.(1)若命题p 为真，求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)因为方程x 2t ＋1＋y 23－t＝1所表示的曲线为焦点在y 轴上的椭圆，所以 3－t ＞t ＋1＞0，解得：－1＜t ＜1.(2)因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，所以 －1＜t ＜1是不等式t 2－(a －1)t －a ＝(t ＋1)(t －a )＜0解集的真子集．法一：因方程t 2－(a －1)t －a ＝(t ＋1)(t －a )＝0两根为－1，a .故只需a ＞1.法二：令f (t )＝t 2－(a －1)t －a ，因f (－1)＝0，故只需f (1)＜0，解得：a ＞1.20．(本小题满分12分)某分公司经销某种品牌的产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为x (9≤x ≤11)元时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润y (万元)与每件产品的售价的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润y 最大，并求出y 的最大值．解：(1)分公司一年的利润y (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－3)(12－x )2＝(x －6)(114＋x 2－24x )＝x 3－30x 2＋288x －864，x ∈[9，11]；(2)函数的导数为y ′＝3x 2－60x ＋288＝3(x 2－20x ＋96)＝3(x －12)(x －8)，当x ∈[9，11]时，y ′＜0，L 单调递减，于是当每件产品的售价x ＝9时，该分公司一年的利润最大，且最大利润y max ＝27万元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值；(2)求y ＝f (x )的单调区间．解：f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2x(x ＞0)． (1)f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝23. (2)f ′(x )＝（ax －1）（x －2）x(x ＞0)． ①当a ≤0时，x ＞0，ax －1＜0，在区间(0，2)上，f ′(x )＞0；在区间(2，＋∞)上f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0＜a ＜12时，1a ＞2，在区间(0，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上，f ′(x )＞0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a 上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是(0，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1a . ③当a ＝12时，f ′(x )＝（x －2）22x，故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a ＞12时，0＜1a ＜2，在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)上， f ′(x )＞0；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上，f ′(x )＜0，故f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2. 22．(本小题满分12分)已知椭圆C 的对称中心为原点O ，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1和F 2，且|F 1F 2|＝2，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AF 2B 的面积为 1227.求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程． 解：(1)由题意知c ＝1，2a ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝4，a ＝2，故椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1. (2)①当直线l ⊥x 轴时，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32， B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，△AF 2B 的面积为3，不符合题意． ②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，显然Δ＞0成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2. 可得|AB |＝12（k 2＋1）3＋4k 2， 又圆F 2的半径r ＝2|k |1＋k 2， 所以 △AF 2B 的面积为12|AB |r ＝12|k |k 2＋13＋4k2＝1227， 化简得：17k 4＋k 2－18＝0，得k ＝±1，所以 r ＝2，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.。