近世代数复习思考题一、基本概念与基本常识的记忆 （一）填空题1.剩余类加群Z 12有_________个生成元.2、设群G 的元a 的阶是n ，则a k的阶是________. 3. 6阶循环群有_________个子群.4、设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n=，那么m 与n 存在整除关系为———。

5. 模8的剩余类环Z 8的子环有_________个. 6.整数环Z 的理想有_________个. 7、n 次对称群Sn 的阶是——————。

8、9-置换⎪⎪⎭⎫⎝⎛728169345987654321分解为互不相交的循环之积是————。

9.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是____________. 10.24中的所有可逆元是：__________________________.11、凯莱定理的内容是：任一个子群都同一个________同构。

12. 设()G a =为循环群，那么（1）若a 的阶为无限，则G 同构于___________，（2）若a 的阶为n ，则G 同构于____________。

13. 在整数环中，23+=__________________；14、n 次对称群S n 的阶是_____.15. 设12,A A 为群G 的子群，则21A A 是群G 的子群的充分必要条件为___________。

16、除环的理想共有____________个。

17. 剩余类环Z 5的零因子个数等于__________.18、在整数环Z 中，由｛2，3｝生成的理想是_________. 19. 剩余类环Z 7的可逆元有__________个.20、设Z 11是整数模11的剩余类环，则Z 11的特征是_________. 21. 整环I={所有复数a+bi(a,b 是整数)}，则I 的单位是__________. 22. 剩余类环Z n 是域⇔n 是_________.23、设Z 7 ={0，1，2，3，4，5，6}是整数模7的剩余类环，在Z 7 [x]中, (5x-4)(3x+2)=________. 24. 设G 为群，a G ∈，若12a =，则8a =_______________。

25、设群G=｛e ，a 1，a 2，…，a n-1｝，运算为乘法，e 为G 的单位元，则a 1n=___. 26. 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个. 27、整数环Z 的商域是________.28. 整数加群Z有__________个生成元.29、若R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么R I是一个域当且仅当I是————————。

30. 已知1234531254σ⎛⎫= ⎪⎝⎭为5S上的元素，则1σ-＝__________。

31. 每一个有限群都与一个__________群同构。

32、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是——————。

二、基本概念的理解与掌握。

（二）选择题1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。

A.2B.5C.7D.102.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射ϕ：x→x＋2，∀x∈R，则ϕ是从A到B的（）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。

A.2B.4C.6D.84、G是12阶的有限群，H是G的子群，则H的阶可能是( )A 5；B 6；C 7；D 9.5、下面的集合与运算构成群的是 ( )A {0，1}，运算为普通的乘法；B {0，1}，运算为普通的加法;C {-1，1}，运算为普通的乘法；D {-1，1}，运算为普通的加法;6、关于整环的叙述，下列正确的是 ( )A 左、右消去律都成立；B 左、右消去律都不成立;C 每个非零元都有逆元；D 每个非零元都没有逆元;7、关于理想的叙述，下列不正确的是 ( )A 在环的同态满射下，理想的象是理想;B 在环的同态满射下，理想的逆象是理想;C 除环只有两个理想，即零理想和单位理想D 环的最大理想就是该环本身. 8.整数环Z 中，可逆元的个数是( )。

A.1个B.2个C.4个D.无限个9. 设M 2(R)=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a a,b,c,d ∈R ，R 为实数域⎭⎬⎫按矩阵的加法和 乘法构成R 上的二阶方阵环，那么这个方阵环是( )。

A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环10. 设Z 是整数集，σ(a)=⎪⎩⎪⎨⎧+为奇数时当为偶数时当a ,21a a ,2a，Z a ∈，则σ是R 的( ).A. 满射变换B. 单射变换C. 一一变换D. 不是R 的变换11、设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集 的同态满射的是( ).A 、x →10xB 、x →2xC 、x →|x|D 、x →-x .12、设 是正整数集Z 上的二元运算，其中{}max ,a b a b =（即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（ ）A 、不适合交换律B 、不适合结合律C 、存在单位元D 、每个元都有逆元.13.设3S ={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则3S 中与元（1 2 3）不能交换的元的个数是( )A 、1B 、2C 、3D 、4. 14、设(),G 为群，其中G 是实数集，而乘法:a b a b k =++，这里k 为G 中固定的常数。

那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）A 、0和x -；B 、1和0；C 、k 和2x k -；D 、k -和(2)x k -+15、设H 是有限群G 的子群，且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。

如果H =6,那么G 的阶G =（ ）A 、6B 、24C 、10D 、1216.整数环Z 中，可逆元的个数是( ).A 、1个B 、2个C 、4个D 、无限个。

17、设12:f R R →是环同态满射，()f a b =，那么下列错误的结论为（ ）A 、若a 是零元，则b 是零元B 、若a 是单位元，则b 是单位元C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子D 、若2R 是不交换的，则1R 不交换 18、下列正确的命题是（ ）A 、欧氏环一定是唯一分解环B 、主理想环必是欧氏环C 、唯一分解环必是主理想环D 、唯一分解环必是欧氏环19. 下列法则，哪个是集A 的代数运算( ).A. A=N, a b=a+b-2B. A=Z,a b=ba C. A=Q, a b=ab D. A=R, ab=a+b+ab20. 设A={所有非零实数x},A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ). A. x →-x B. x →x1C. x →x1-D. x →5x21. 在3次对称群S 3中，阶为3的元有( ).A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个22．剩余类环Z 6的子环有( ).A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个23、设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）A.11--a bc ；B.11--a c ；C.11--bc a ；D.ca b 1-。

24、设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ ）A.f 的同态核是1G 的不变子群;B.1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

C.1G 的子群的象是2G 的子群；D.2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；25、设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。

如果H =6，那么G 的阶=G （ ）A.6；B.24；C.10；D.12。

（三）判断题（每小题2分，共12分）1、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。

（ ）2、除环中的每一个元都有逆元。

（ ）3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。

（ ）4、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。

（ ）5、域是交换的除环。

（ ）6、唯一分解环I 的两个元a 和b 不一定会有最大公因子。

（ ）7、设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。

（ ） 8、一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

（ ） 9、循环群的子群也是循环群。

（ ）10、整环I 中的两个元素a ，b 满足a 整除b 且b 整除a ，则a ＝b 。

（ ） 11、一个环若没有左零因子，则它也没有右零因子。

（ ） 12、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。

（ ）13、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元10≠。

（ ） 14、指数为2的子群不是不变子群。

（ ）15、在整数环Z 中，只有±1才是单位，因此在整数环Z 中两个整数相伴当且仅当这两数相等或只相差一个符号。

（ ）16、两个单位ε和ε'的乘积εε'也是一个单位。

（ ）17、环K 中素元一定是不可约元；不可约元一定是素元。

（ ）18、由于零元和单位都不能表示成不可约元之积，所以零元和单位都不能唯一分解。

（ ）19、整环必是唯一分解环。

（ ）20、在唯一分解环K 中，p 是K 中的素元当且仅当p 是K 中的不可约元。

（ ）21、设K 是唯一分解环，则K 中任意二个元素的最大公因子都存在，且任意二个最大公因子相伴。

（ ）22、整数环Z 和环[]Q x 都是主理想环。

（ ） 23、K 是主理想环当且仅当K 是唯一分解环。

（ ）24、整数环Z 、数域P 上的一元多项式环[]P x 和Gauss 整环[]Z i 都是欧氏环。

（ ） 25、欧氏环必是主理想环，因而是唯一分解环。

反之亦然。

（ ） 26、欧氏环⊂主理想环⊂唯一分解环⊂有单位元的整环。

（ ） 27、设环>•+<,,R 的加法群是循环群,那么环R 必是交换环. （ ） 28、对于环R,若a 是R 的左零因子,则a 必同时是R 的右零因子. （ ） 29、剩余类m Z 是无零因子环的充分必要条件是m 为素数. （ ） 30、整数环是无零因子环，但它不是除环。

（ ） 31、⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C S ααα002是()C M 2的子域. （ ） 32、在环同态下，零因子的象可能不是零因子。

（ ） 33、理想必是子环,但子环未必是理想. （ ）34、群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （ ）35、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。