2017年考研数学真题一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在x =0连续，则 (A)12ab =(B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab =【答】应选（A ）【解】由连续的定义可知：0lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，其中0(0)lim ()x f f x b -→==，20001112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-===，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。

(2) 二元函数(3)z xy x y =--的极值点（ ）(A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答】应选(D).【解】(3)(32)xz y x y xy y x y '=---=-- (3)(32)y z x x y xy x x y '=---=--2xx z y ''=-，322xy z x y ''=--，2yy z x ''=-验证可得（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个选项均满足00x yz z '=⎧⎨'=⎩,其中(D)选项对应(1,1)2xx A z ''==-，(1,1)1xy B z ''==-，(1,1)2yy C z ''==-满足230AC B -=>，所以该点为极值点.(3) 设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则(A)()()11f f >- (B)()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <-【答】应选(C).【解】令2()()F x f x =，则有()2()()F x f x f x ''=，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即22[(1)][(1)]f f >-，即(1)(1)f f >-，故选C .(4) 若级数211sin ln 1n k nn ∞=⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑收敛,则()k =(A)1 (B)2 (C)-1 (D)-2【答】（C ） 【解】由332211111111sinln(1)()()62k k o k o n n n n n n n n--=-++++232111(1)()26k k o n n n n=++-+，又211[sinln(1)]n k n n∞=--∑收敛，故有10k +=，即1k =-，故选C 。

(5) 设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(A) T -E αα不可逆 (B) T+E αα不可逆 (C) T 2+E αα不可逆 (D)T2-E αα不可逆 【答】应选(A).【解】因为Tαα的特征值为0（1n -重）和1，所以T-E αα的特征值为1（1n -重）和0,故T-E αα不可逆.(6) 已知矩阵200021001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，210020001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，100020002⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦C ，则 (A)A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D)A 与C 不相似，B 与C 不相似【答】应选(B).【解】由()λ-=E A O 可知A 的特征值为2,2,1.又3(2)1r --=E A ,故A 可相似对角化,且⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A100020002 . 由()λ-=E B O 得B 的特征值为2,2,1.又3(2)2r --=E B ,故不可相似对角化,显然BC 可相似对角化,~A C ,且B 不相似于C 。

(7) 设A B C 、、为三个随机事件,且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是( )(A) A 与B 相互独立 (B) A 与B 互不相容 (C) AB 与C 相互独立 (D) AB 与C 互不相容 【答】应选（C ）【解】由A B ⋃与C ，独立得(())()()()(()()())()()()()(()()())()P A B C P A B P C P AC BC P A P B P AB P C P AC P BC P ABC P A P B P AB P C +=++=+-+-=+-，又由A 与C ，B 与C 独立得()()()()P ABC P A P B P C =。

由此验证（A ）（B ）（C ）（D ）四项，又（C ）选项可得()()()()P ABC P A P B P C =。

(8) 设12,......(2)n X X X n 来自总体(,1)N μ的简单随机样本,记11ni i X X n ==∑,则下列结论中不正确的是： (A)21()nii Xμ=-∑服从2χ分布(B) 212()n X X -服从2χ分布(C)21()ni i X X =-∑服从2χ分布 (D) 2()n X μ- 服从2χ分布 【答】应选（B ） 【解】（A ）(0,1)i X N μ-故221()()ni i X n μχ=-∑；（B ）11(0,2)(0,1)2nn X X N N -⇒22(1)χ⇒即221()(1)2n x x χ-。

（C ）由22222111(),(1)()(1)1n ni i i i S X X n S X X n n χ===--=---∑∑。

（D ）1()0,X N nμ⎛⎫- ⎪⎝⎭)(0,1)X N μ-，所以22()(1)n X μχ-。

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)3(sinx x ππ-+=⎰___ ___.【答】应填32π.【解】由对称区间上积分的性质可知,33(sin2x dx πππππ--+==⎰⎰.(10) 差分方程122tt t y y +-=的通解t y = .【答】122,2tt t y C t C R =+⋅∈。

【解】由122tt t y y +-=可得齐次特征方程为20r -=，得2r =，故其齐次方程的通解为2t y C =⋅，设*2t y at =，代入得12a =，故通解为122,2t tt y C t C R =+⋅∈. (11) 设生产某产品的平均成本()1QC Q e -=+，其中Q 为产量,则边际成本为 .【答】()1(1)QC Q e Q -'=+-。

【解】()1Q C Q e Q-=+得()(1)QC Q Q e -=+， 则边际成本为：()1(1)QC Q e Q -'=+-。

(12) 设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()d ,d 1d y y f x y ye x x y e y =++，()0,00f =则(),f x y == .【答】应填y xye .【解】由题可知，y x f ye '=，()1y y f x y e '=+，(),()y y f x y ye dx xye c y ==+⎰，()y y y y y f xe xye c y xe xye ''=++=+，即()0c y '=，即()c y c =，()0,00f =，故0c =，即(),yf x y xye =.(13) 设矩阵101112011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A αA αA α的秩为_ _____.【答】应填2.【解】因为123123(,,)(,,)A A A A αααααα=，101101101112011011011011000A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故()2r A =，所以123(,,)A A A ααα秩为2. (14) 设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=,{}{}1,3P X a P X b ====,若()0E X =,则()D X =___________.【答】应填92【解】由分布律的归一性可知112a b ++=，，，，0EX =，，， 121302a b -⨯+++=，，，11,44a b ==，，，22221119(2)132442EX =-++⨯+⨯=,229(EX)2DX EX =-=.三、解答题：（15～23小题，共94 分.） (15) （本题满分10分）求0d lim t x t +→【解】先对变上限积分t dt ⎰作变量代换u x t =-，得()tx uxu xdt du edu --=-=⎰⎰⎰则由洛必达法则可知： 原式=0lim 3xu x edu +-→+⎰=022lim 33u x du +-→+=022lim 33x x x +→--++=022lim 1332x x x xxe xe e +-→--+-+23=. (16) （本题满分10分）计算积分324(1)Dy dxdy x y ++⎰⎰，，，D，，，，，，，，，y =x ，，，，，，，，，，【解】积分区域如图所示，选用直接坐标计算该积分，先对y ，，，，，x ，，，3242(1)y dy dx x y +∞=++⎰原式42420014(1)dy dx x y +∞=++⎰2420114(1)x y +∞=-++⎰ 220111()4112dx x x +∞=-++⎰01(arctan )|4x +∞=-(18π=-.(17) （本题满分10分）求21limln 1nn k k k n n→∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.【解】由定积分的定义式可知原式=()1011lim ln 1ln 1n n k k k x x dx n nn →∞=⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∑⎰，再由分部积分法可知：()()()112001ln 1ln 112x x dx x d x +=+-⎰⎰ ()()22110011ln 1|ln 122x x x d x --=+-+⎰()()1210011111|244x dx x =--=--=⎰. (18) （本题满分10分）已知方程11ln(1)k x x-=+在区间(0,1)内有实根确定常数k 的取值范围。

【解】，11()ln(1)f x x x=-+，222222111()ln (1)1(1)ln (1)(1)ln (1)f x x x x x x x x x x '=-⋅+++++-=++，22()(1)ln (1)g x x x x =++-，，，2()ln (1)2ln(1)2ln(1)()20,(0,1)1g x x x xx xg x x x'=+++-+-''=<∈+ ，()g x '，[0,1]，，，，，，，，(0,1)x ∈，()(0)0g x g ''<= ，()g x ，[0,1]，，，，，，，，(0,1)x ∈，()(0)0g x g <= ，，，()0f x '<，，，()f x ，(0,1]，，，，，，，，1(1)1ln 2f =-，00111lim ()lim ln(1)2x x f x x x ++→→⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，，，，，()f x k =，(0,1)，，，，，，，111ln 22k -<<， (19) （本题满分10分）若01a =,0n a =,111()(1,2,3....)1n n n a na a n n +-=+=+,()S x 为幂级数1nn n a x∞=∑的和函数.(，)证明:幂级数1nn n a x∞=∑的收敛半径不小于1;(，)证明:(1)()()0x S x xS x '--= ((1,1))x ∈-,并求()S x 的表达式. 【解】(，)由111()1n n n a na a n +-=++，两边同时减去n a 可知 111()1n n n n a a a a n +---=-+ 进而有1121011(1)(1)()()1(1)!(1)!n n n n n n a a a a a a n nn n +-------=⋅-==-=+++ 从而有1211121(1)(1)(1)(1)!(1)!!!n n n k nn n n k aa a n n n k ------=----=+=++==-∑则1!n n n n ≤++≤=，故收敛半径1R ≥； (，)由逐项求导定理可知11()n nn S x na x∞-='=∑故11111(1)()(1)n n n nn n n n n x S x x na xna xna x ∞∞∞--==='-=-=-∑∑∑[]111011(1)(1)nnn n n n n n n n n a x na x n a na x a x ∞∞∞++====+-=+-+∑∑∑1101()n n n n n n xS x a xa x ∞∞+-====∑∑则[]1111(1)()()(1)n n n n n x S x xS x n ana a x a x ∞+-='--=+--+∑由111()1n n n a na a n +-=++可知11(1)0n n n n a na a +-+--=， 又由于10a =，故(1)()()0x S x xS x '--=解此微分方程可得()1xce S x x-=-又由于0(0)1S a ==，可知1c =，从而()1xe S x x-=-。