2016年高考数学高频考点原创与改编试题一、选择题与填空题创新题原创题或改编题1：已知)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0>x 时，都有2016)()2(-=⋅+x f x f ，且当(]2,0∈x 时，12)(+=x x f ，则=+-)2016()2015(f f （ ）A51344B 51344- C 672 D 672-解：0>x Θ时，.2016)()2(-=+x f x f)(2016)2(x f x f -=+∴ )()2(2016)4(x f x f x f =+-=+∴52016122016)2(2016)4()2016(2-=+-=-==∴f f f ()()()()672122016120163201520151=+==-=-=-f f f f ()()5134420162015=+-∴f f 原创题或改编题2：已知椭圆和双曲线有共同的焦点21,F F ，P 是它们的一个交点，且02160=∠PF F ，记椭圆和双曲线的离心率分别为21,e e ，则211e e 取最大值时，21,e e 的值分别是（ ）A26,22 B 25,21 C6,33 D 3,42解法一：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。
设.||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。
2211212,2a r r a r r =-=+∴ 212211,a a r a a r -=+=在21PF F ∆中：()()()()()02121221221260cos 22a a a a a a a a c -+--++=2221234a a c +=∴()21221222122211323211114e e e e e e a c a c =≥+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴ （当且仅当2131e e =时，取=）由,3321,32112==e e e e 得26,2221==e e 。
∴选A解法二：设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a （21a a >）。
设.||,||2211r PF r PF ==不妨设21r r >。
2211212,2a r r a r r =-=+∴222212212141cr r c a a e e -==∴ 在21PF F ∆中，,60,60,60012021021αα-=∠+=∠∴=∠P F F P F F PF F()00600<<α由正弦定理：()()020160sin 260sin 60sin cr r =-=+αα，()()αα-=+=∴020160sin 34,60sin 34c r c r()()()ααα2sin 33260sin 60sin 341020221=--+=∴e e ∴当045=α时，332|1max 21=e e 此时,326426341c c r +=+⨯= c r 3262-=，22211=∴=∴e c a ，262=e 。
∴选A 原创题或改编题3：已知ABC ∆的重心为G ，内C B A ,,角的对边分别为c b a ,,，若03322=++GC b GB a GA c ，则ABC ∆为（ ） A 等边三角形 B 锐角三角形 C 直角三角形 D 钝角三角形答案：C原创题或改编题4：.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的所有棱的长度之和是（ ） （A ）8+22（B ）12（C ）6+32 （D ）4+42答案：A原创题或改编题5：有一个棱锥的三视图及其尺寸如图所示，则该棱锥侧棱与底面所成角的正弦值为（ ）（A ）45（B ）23417（C ）23（D 317答案：B原创题或改编题6：已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则它的外接球的表面积为_____.答案：12π（二）15题原创题及详解。
原创题或改编题7：若函数()f x 在其图象上存在不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足条件：222212121122||x x y y x y x y +-++的最大值为0，则称()f x 为“柯西函数”， 则下列函数：①1()(0)f x x x x=+> ；② ()ln (03)f x x x =<<；③()f x④()f x =.其中为“柯西函数”的有______(填出所有正确答案的番号)1212||||||||,()x x y y OA OB OA OB O A B y kx y f x +⇔⋅≤⋅⇔⇔==u u u r u u u r u u u r 解：0且能取等号、、三点共线存在过原点的直线与的图象 有两个不同交点①1()(0)f x x x x=+>思考1：用图象 y x y kx ==它以为渐近线，与最多一个交点.1()(0)y kx f x x x x==+>思考2：将代入 ，21)1,k x -=得((1)1(2)1k k ≤>时无解；时,有一个解不合题意.② 00()ln ,y kx f x x x y ==设与的图象的切点为()000001,1,(01(),3)y x x e x x f x x '==∴==∴∈Q 得ln 结合图象得，是,“柯西函数”③221(0)84y x y y =-=≥ 22184y x y kx -==图象是双曲线的上支，给合其渐近线，与它的图象只有一个交点，不合题意。
220,k x y y y y k >=>=±若解方程组，易得时，原因是否还没解，就忽略了的隐含条件：从而（点拔：解方程组必须解所有未知数哟！）④221(0)48x y y y =⇔-=≥ 22184x y x x x -=图象是双曲线在轴上或轴上方的部分在轴上有两个交点，合题意。
原创题或改编题8：若函数()f x 在其定义域的一个子集[,]a b 上存在实数()m a m b <<，使()f x 在m 处的导数()f m '满足()()()()f b f a f m b a '-=-，则称m 是函数()f x 在[,]a b 上的一个“中值点”。
则下列命题： ①函数2()3ln f x x x x =-+在1[,3]4上恰有两个“中值点”；②函数321()ln 23x f x x =-在[5,5]-上恰有两个“中值点”； ③函数321()3f x x x =-在[0,]b 上恰有两个“中值点”，则实数b 的取值范围是3(,3)2； ④函数321()3f x x x b =-+在[0,]b 上恰有一个“中值点”，则实数b 的取值范围是3(0,][3,)2+∞U 其中正确的有________(填出所有正确答案的番号)． 2解： 设(,(),(,())A a f a B b f b ，则()()()()f b f a f m b a '-=-()()()f b f a f m b a-'⇔=-()AB f m k '⇔=①求导，结合图象，正确。
②2()2x f x x '=-=0，有三个解（教材结论），图象有三个极值点，由图象得②错③22()(0)1()2,,03f b f f x x x b b b -'=-=--设2212222221,20(0,),31(0)032()013()2,,3332144403x x x x b b b g b b g b b b g x x x b b b b b b --+=⎧=-+>⎪⎪⎪=->⎪=--+<<⎨⎪>⎪⎪∆=+->⎪⎩由已知得为方程在上两个不同根令则 ④321()3f x x x b =-+可由3213y x x =-上下平移得，不影响“中值点”的个数；由③的解答过程知，它不可能有三个及其以上的“中值点”， 由图象得，连续函数至少有1个“中值点”，④实际就是③的否定. ④正确.综上，填①③④原创题或改编题9：.已知点P 为棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的表面上除点A 外的任意一点，作以A 为圆心，P 到A 的距离r 为半径的球面与正方体的表面相交，设交线为m ，定义函数()c r 为m 的长度，则下列命题：① 当r ∈时，m 在侧面11BCC B 上的部分在以B 为圆心的圆上； ②(1)2c π=；③ (36c =；④函数()c r 在上是增函数，()c r 在上是减函数. 其中正确的有________(填出所有正确答案的番号)．3解：① 当r ∈时，P 可在侧面11BCC B 上，这时AB ⊥Q侧面11BCC B AB BP BP ∴⊥∴=，，②当1r =时，P 点的轨迹是以A 为圆心以1 为半径在三个面1111,,ABB A ABCD ADD A 上圆心角为2π的圆弧，3(1)3122f ππ=⋅⋅=，所以②错③当3r =时，在面11B C CB 内点B 到圆弧的距离为3，此圆弧的长为32π=6同样在面1111A B C D , 11DCC D .又当P 在侧棱1BB 上时，,63PAB AP π∠==； 同理P 在侧棱11A B 上时1,6PAA π∠=在面11ABB A 内P 点的轨迹均是以A 为圆心，以3为半径的中心角为16π的圆弧，弧长为1639π⋅=，同理，在平面ABCD ,11ADD A 内的弧长也为9所以(3()3696c =+=，所以③正确.④当r =P 在面11B C CB 内的轨迹是以B 为圆心，1为半径的圆弧，长为2π，同理在面1111A B C D ,11DCC D 内的弧长也为2π，所以32c π=由②知3(1)3122c c ππ=⋅⋅==，所以④错误。
综上，填① ③二、 三角函数1.原创题或改编题：在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22sin sin()sin()cos()sin 12A BA B A B A B C -+--+-=, (Ⅰ)求A ;(Ⅱ)若6c =，b =点D 在BC 边上，2BD DC =，求AD 的长.原创题或改编题解析：【答案】(Ⅰ)34A π= (Ⅱ)2AD = 【解析】略2.原创题或改编题：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2sin 2)2cos(12CB A +=++π （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2b =，ABC ∆的面积S =a 的值。
原创题或改编题解析：答案：（Ⅰ） 3π=A （Ⅱ）3. 原创题或改编题：三、数列1.原创题或改编题：1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已2.原创题或改编题： 已知正项数列{n a }的前项和为n S ，且对任意n N ∈，都有1n S +，1n a +，4成等比数列. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和n T ，并证明16n T <.原创题或改编题解析：（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11646n -+四、概率 （理科）1.原创题或改编题：某市进行中学生排球比赛，以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中学甲球队每一局赢中学乙球队的概率为35.已知比赛中，第一局中学乙球队先胜一局，在这个条件下，（Ⅰ）求中学甲取胜的概率；（Ⅱ）设决赛中比赛总的局数为ξ，求ξ的分布列及ξE .（两问均用分数作答） 【解】（Ⅰ）解：中学甲取胜的情况有两种：中学甲连胜三局;②中学甲在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢.……………………2分故中学甲取胜的概率为32233332()C ()5555p =+⨯⨯ …………………………………………………4分27162297.125625625=+=故所求概率为297.625………………………………………………………………5分（Ⅱ）比赛局数,ξ则224(3)();525P ξ===132335122(4)();5555125P C ξ==⨯⨯⨯+=12223333327054222(5)()().555555625125P C C ξ==⨯⨯⨯+⨯⨯==………………8分的分布列为:……………………10分1255341255451255142543=⨯+⨯+⨯=ξE .……………………………………………12分 2.原创题或改编题：据有关调查统计，2015年某大城市私家车平均每天增加36辆，公交车也增长过快，造成交通拥堵现象日益严重，现有A 、B 、C 三辆车从同一地点出发，开往甲、乙、丙三地，已知A 、B 、C 这三辆车在驶往目的地的过程中，出现堵车的概率依次为51，51，31，且每辆车是否被堵互不影响。