上海市闵行区2018届高三二模数学试卷2018.04一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =2.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c +=3.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =4.定义在R 上的函数()21xf x =-的反函数为1()y fx -=，则1(3)f -=5.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为6.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅7.已知向量a 、b的夹角为60°，||1a = ，||2b = ，若(2)()a b xa b +⊥- ，则实数x 的值为8.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||14x y k +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k =10.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是11.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为12.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ，1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.“0xy =”是“0x =且0y =”成立的（）.A 充分非必要条件.B 必要非充分条件C .充要条件.D 既非充分也非必要条件14.如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（）.A 4.B 3C2.D 2-15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（）.A 若30S >，则20180a >.B 若30S <，则20180a <C 若21a a >，则20192018a a >.D 若2111a a >，则20192018a a <16.给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈ ）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值；那么真命题的个数是（）.A 0.B 1C.2D.3三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点.（1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.18.已知函数()cos f x x x ωω=+.（1）当(03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.19.某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20.已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q两点，1sin 3BF O ∠=.（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值；（2）若b =，直线l 的斜率为12，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.21.无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.上海市闵行区区2018届高三二模数学试卷2018.04一.填空题1.双曲线22219x y a -=（0a >）的渐近线方程为320x y ±=，则a =【解析】2a =2.若二元一次方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其解为100x y =⎧⎨=⎩，则12c c +=【解析】12103040c c +=+=3.设m ∈R ，若复数(1)(1)z mi i =++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =【解析】虚部为零，101m m +=⇒=-4.定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -=【解析】1213(3)2x f --=⇒=5.直线l 的参数方程为112x ty t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则l 的一个法向量为【解析】12(1)230y x x y =-+-⇒--=，法向量可以是(2,1)-6.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n N ∈，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅【解析】2352n n nS +=，1lim 2n n nS n a →∞=⋅7.已知向量a 、b的夹角为60°，||1a = ，||2b = ，若(2)()a b xa b +⊥- ，则实数x 的值为【解析】(2)()0(21)803a b xa b x x x +⋅-=⇒+--=⇒=8.若球的表面积为100π，平面α与球心的距离为3，则平面α截球所得的圆面面积为【解析】5R =，4r =，16S π=9.若平面区域的点(,)x y 满足不等式||||1x y +≤（0k >），且z x y =+的最小值为5-，则常数k =【解析】数形结合，可知图像||||14x y k +=经过点(5,0)-，∴5k =10.若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是【解析】分类讨论，当01a <<时，没有最小值，当1a >时，即210x ax -+≤有解，∴02a ∆≥⇒≥，综上，(0,1)[2,)a ∈+∞11.设1234,,,{1,0,2}x x x x ∈-，那么满足12342||||||||4x x x x ≤+++≤的所有有序数对1234(,,,)x x x x 的组数为【解析】①1234||||||||2x x x x +++=，有10组；②1234||||||||3x x x x +++=，有16组；③1234||||||||4x x x x +++=，有19组；综上，共45组12.设*n N ∈，n a 为(4)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，324c t =-，t ∈R ，1222[][][]555n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b c -++的最小值为【解析】52nnn a =-，2[[]155n n n n na n n n ⋅=-=-，22n n nb -=，22()()n n t bc -++的几何意义为点2(,2n nn -()n ∈*N 到点3(,2)4t t -的距离，由图得，最小值即(2,1)到324y x=-的距离，为0.4二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.“0xy =”是“0x =且0y =”成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【解析】B14.如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz-的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（）A.43B.3C.23D.23-【解析】42cos 233||||OC n OC n θ⋅===⋅⋅ ，选C15.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列判断一定正确的是（）A.若30S >，则20180a >B.若30S <，则20180a <C.若21a a >，则20192018a a > D.若2111a a >，则20192018a a <【解析】A 反例，11a =，22a =-，34a =，则20180a <；B 反例，14a =-，22a =，31a =-，则20180a >；C 反例同B 反例，201920180a a <<；故选D16.给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈ ）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值；那么真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【解析】命题1：()()0f x g x ==，x ∈R ；命题2：()()f x g x x ==，(,0)x ∈-∞；命题3：2()()f x g x x ==-，x ∈R ；均为真命题，选D三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、1CC 的中点.（1）求三棱锥E DFC -的体积；（2）求异面直线1A E 与1D F 所成的角的大小.【解析】（1）121233V =⨯⨯=（2）4cos5θ==，所成角为4arccos 518.已知函数()cos f x x x ωω=+.（1）当(03f π-=，且||1ω<，求ω的值；（2）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a =3b c +=，当2ω=，()1f A =时，求bc 的值.【解析】（1）()2sin()6f x x πω=+，()0336f k πωπππ-=⇒-+=，||1ω<，∴12ω=（2）()1f A =⇒3A π=，由余弦定理，2bc =19.某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？【解析】（1）22240(30),110()40(10200),101520(10200),1520t t t F t t t t t t t ⎧-+≤≤⎪=-++<≤⎨⎪-++<≤⎩（2）()5000515F t t ≥⇒≤≤，第5天到第15天20.已知椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>），其左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，O 为坐标原点，过2F 的直线l 交椭圆Γ于P 、Q两点，1sin BF O ∠=.（1）若直线l 垂直于x 轴，求12||||PF PF 的值；（2）若b =，直线l 的斜率为1，则椭圆Γ上是否存在一点E ，使得1F 、E 关于直线l成轴对称？如果存在，求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设直线1:l y =上总存在点M 满足2OP OQ OM +=，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角α.【解析】（1）22231x y b +=，:l x =，23PF =，13PF =，12||5||PF PF =（2）22231x y +=，1:(2)2l y x =-，1(2,0)F -，关于l 对称点216(,)55E --，不在椭圆上（3）设:()l y k x =-，点差得1:3OM l y x k=-，联立1:l y =，得(M -，代入直线l()k =--，∴36b k =--≥，33k =-，5πα=21.无穷数列{}n a （*n N ∈），若存在正整数t ，使得该数列由t 个互不相同的实数组成，且对于任意的正整数n ，12,,,n n n t a a a +++⋅⋅⋅中至少有一个等于n a ，则称数列{}n a 具有性质T ，集合*{|,}n P p p a n N ==∈.（1）若(1)n n a =-，*n N ∈，判断数列{}n a 是否具有性质T ；（2）数列{}n a 具有性质T ，且11a =，43a =，82a =，{1,2,3}P =，求20a 的值；（3）数列{}n a 具有性质T ，对于P 中的任意元素i p ，k i a 为第k 个满足k i i a p =的项，记1k k k b i i +=-（*k N ∈），证明：“数列{}k b 具有性质T ”的充要条件为“数列{}n a 是周期为t 的周期数列，且每个周期均包含t 个不同实数”.【解析】（1）2t =，对任意正整数n ，2n n a a +=恒成立，∴具有性质T （2）分类讨论，得结论，6n ≥，{}n a 有周期性，周期为3，∴2082a a ==（3）略。