2006-全国数学建模C题易拉罐形状和尺寸的最优设计.易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分析。

结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结构稳定、美观、方便使用等方面的要求。

在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。

针对材料厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单价完全相同，最优设计方案为半径与高的比:1:2R H=（H为圆柱的高，R为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过计算得到半径与高:1:6R H=时，表面积最小。

一般情况下，当顶盖、底部厚度是罐身的b倍时，最优设计方案为:2=。

R H b 在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得出当24+==(h为H h R r圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优；模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO对其进行分析，得出 4.5r→时H h R+≈，0材料最省,即顶部为圆锥时材料最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。

原因是厂商在制作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。

在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理结构更稳定等标准。

通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四体现了硬度方面的要求。

进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的结论更优。

为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。

此时，材料最省。

但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。

因此，将项部和底部设计为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端和底部半径都为2.7。

此时，易拉罐形状和尺寸最优。

如果设计为旋转式拉环，====时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方案。

r h R H2.2,0.75,3.93, 6.86最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验--在数学建模过程必须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥数学软件在优化设计中无可比拟的优势；同时，通过此次数学建模比赛深刻体会到了数学工具在生产实践中的重要作用。

关键词：易拉罐最优设计材料体积 lingo软件文中符号注解R:圆柱半径r:圆台半径H:圆柱高h:圆台高S:易拉罐表面积V:易拉罐体积MIN:最小化为方便在LINGO软件中计算，定义：X1:在软件LINGO中的圆柱半径（R）X2:在软件LINGO中的圆柱高（H）X3:在软件LINGO中的圆台半径（r）X4:在软件LINGO中的圆台高(h)第一问：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们以为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明：如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。

表1：数据测量结果（2）易拉罐整体厚度均相同1、 确定变量和参数：设易拉罐内半径为R ，高为H ，,厚度为a ，体积为V ，其中r 和h 是自变量，所用材料的面积S 是因变量，而V 是固定参数，则S 和V 分别为：()()2222S R a a R a H R H πππ=+⨯++⨯-22332422aR a R a HRa Ha πππππ=++++2V R H π=， 2VH R π=设()2,g R H R H V π=-2、 模型建立：()min ,0,0S r h R H >> (),0g R H =其中S 是目标函数，(),0g R H =是约束条件，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求S 的最小值时，r 和h 的取值是多少4、模型求解因为按照实际测量数据可知ar ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2VH Rπ=，则有 ()()22,2aVS R H R aR Rπ=+求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为R =，则222VH R π=== 因为()344aV S R a R π''=+，则120S a π''=>，所以当R:H=1:2时，是S 最优解5.模型结论在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对面积求导，得到高是半径的两倍，r:h=1:2，此时，模型最优。

（二） 易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型1、假设：（1）易拉罐是正圆柱体（2）易拉罐顶盖、底盖厚度为3a,其它部分厚度为a 2、确定变量和参数：设饮料内半径为R ，高为H ，体积为V ，易拉罐顶盖、 底盖厚度为a,其它部分厚度为b 。

其中r 和h 是自变量，所用材料的体积S 是因变量，而a,b,c 和V 是固定参数。

则S 和V 分别为：()()22223S R a a R a H R H πππ=+⨯++⨯-223261262a R a R a RaH a H πππππ=++++2V R H π=，2VH R π=设()()212V x x π=()2,g R H R H V π=-3、模型建立：()min ,0,0S R H R H >> (),0g R H =其中S 是目标函数，(),0g R H =是约束条件，厚度比例与V 是已知的，即要在体积V 一定的条件下求r 和h 的取值是多少时体积S 最小4、 模型求解因为按照实际测量数据可知aR ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2VH Rπ=，则 226aVS a R Rπ=+求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为R =266VH R π=== 因为()3412aV S R a R π''=+，则480S a π''=>，因此当H=6R 时，S 为最优解观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此我们假设顶与底盖厚度为ab ，壁的厚度为a ，其中b 为比例系数，则()()2222S R a ba R a H R H πππ=+⨯++⨯-22322422abR a bR a b HRa Ha πππππ=++++因为按照实际测量数据可知a R ，所以带2a ，3a 的项可以忽略，且2VH Rπ=，则有 222aVS ab R Rπ=+求()(),S r h r 的最小值，令其导数为零，即()(),0S R H R '=，解得临界点为R =222VH b bR π=== 因为()344aV S R ab R π''=+，则120S ab π''=>，因此当R:H=1:2b 时，S 为最优解5.模型结论在假设易拉罐是正圆柱体，且顶盖、底部的厚度是罐身的三倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过对表面积求导，得到半径与高的比是一比六，R:H=1:6，此时，，观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有一定的联系，因此本题假设顶与底盖厚度为ab ，壁的厚度为a ，其中b 为比例系数，则R:H=1:2b四、模型评价在不考虑厚度的情况下，考虑节约材料前提下得到，底半径r是高度h的一半时，圆柱的表面积最小。

考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下，考虑了材料的厚度，因此，建立顶端是侧壁的三倍厚度（因为此比例有利于罐身受力，便于开盖），高度h是底半径r的6倍时，圆柱的表面积最小。

第一二种模型相较之下，第二种模型更费材料，第一种模型设计更优。

所以，在不受力的情况下，假设易拉罐是一个正圆柱体，当底半径r是高度h的一半时，模型最优。

不过，本文通过实际数据发现，厂商制作易拉罐时，不单单是考虑材料最省，可能还考虑到开盖时所受到的压力，外形美观等因素，由于能力有限暂时无法解释。

第三问：设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。

一、问题描述通常，在现实生活中，本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体，一般都是混合的三维图形。

由于实际生活中，易拉罐是受到外力的影响（如开盖时的拉力，堆放时的压力等等），因此，本文依照生活中的易拉罐，设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。

通过计算和测量，在理论的基础上，建立易拉罐最优设计的模型。

图1二、问题分析本文假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最小）。

由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体，所以本文建立模型时，先假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体。

然后，考虑易拉罐的厚度，在厚度一致时，利用lingo 软件，计算出模型的最优解；通过本文观察发现易拉罐顶盖的厚度是罐身的三倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为a ，其余部分为b ，且a:b=3：1，体积V=355ml 时，同样利用lingo 软件，计算出模型的最优解。

三 模型假设、建立与求解（一）第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型1、假设：（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体（2）易拉罐整体厚度均相同2、确定变量和参数：设易拉罐顶盖、底部半径为R ，正圆柱体高为H ，正圆台高为h,体积为V ，其中R,r,H,h 是自变量，所用材料的体积S 是因变量，而V 是固定参数，则S 和V 分别为：()(222S R r RH R r πππ=++++()22213V R H R Rr r h ππ=+++设()()2221,,,3g R r H h R H R Rr r h V ππ=+++-3、模型建立：()min ,,,0,0,0,0S R r H h R r H h >>>> (),,,0g R r H h =其中S 是目标函数，(),,,0g R r H h =是约束条件，V 是已知的，即要在体积一定的条件下求表面积最小值时，R ，r ，H ，h 的取值各是多少4、模型求解利用LINGO 求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,则()()()()()()()(221321213S x x x x x x πππ=++++()()()()()()()()222112113343V x x x x x x x ππ=+++利用LINGO 计算结果（见附表一），得 H+h=2R=4r 时，S 为最优解5.模型结论在易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体，且厚度均相同的前提下，当体积为固体参数，表面积最小时，利用软件（LINGO ）计算，得到圆台的高与圆拄的高等于两倍圆拄的半径，同时也等于四倍的圆台的半径，H+h=2R=4r ，模型最优。