b ∫L f ( x, y)ds = ∫a f ( x,ψ ( x) )
1 +ψ ′2( x) dx
• 对光滑曲线弧
∫L f ( x, y)ds
β = ∫α f (r(θ )cosθ , r(θ )sinθ )
r 2(θ ) + r′2(θ ) dθ
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思考与练习
x2 y2 周长为a = 1周长为 , 求 1. 已知椭圆 L : + 4 3
证: 根据定义
= lim ∑ f (ξk ,ηk )∆sk
λ →0 k=1
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n
设各分点对应参数为 点 (ξk ,ηk )对应参数为
∆sk = ∫ttk ϕ′2(t ) +ψ ′2(t ) d t k−1
′ ′ = ϕ′2(τ k ) +ψ ′2(τ k ) ∆tk ,
β = ∫α f (ϕ(t ) ,ψ (t ),ω(t ) ) ϕ′2(t ) +ψ ′2(t ) + ω′2(t ) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: QL : y = x2 ( 0 ≤ x ≤ 1)
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2. L为球面 x2 + y2 + z2 = R2 在第一卦限与三个坐标 为球面 面的交线 , 求其形心 .
R L2 解: 如图所示 , 交线长度为 L3 l = 3∫ L ds = 3 ⋅ 2π R = 3π R R o 1 2 4 y 由对称性 , 形心坐标为 R L1 x 1 z = y = x = ∫ L + L + L x ds l 1 2 3 2 1 = [ ∫ L x ds + ∫ L x ds + ∫ L x ds ]= ∫ L x ds 2 3 l 1 l 1
1 = ∫0 x
1 = ∫0 x
y
1 + 4x dx
2
3 2 1
B(1,1)
y = x2 L
1 = (1 + 4x2 ) 12 1 = ( 5 5 − 1) 12
0
o
1x
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例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 中心角为 称轴的转动惯量I 设线密度 称轴的转动惯量 (设线密度µ = 1). 建立坐标系如图, 解: 建立坐标系如图 则
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一、对弧长的曲线积分的概念
1.引例 1.引例: 曲线形构件的质量 引例 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为 弧段为 为计算此构件的质量, 采用 为计算此构件的质量,
B
Mk (ξk ,ηk ,ζ k ) ∆s k Mk −1
“大化小 常代变 近似和 求极限” 大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 大化小 可得
第十章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 数量值函数的曲线积分 曲线积分 向量值函数在定向曲线上的积分 数量值函数的曲面积分 曲面积分 向量值函数在定向曲面上的积分 曲面域
第十章 第一节 数量值函数的曲线积分
一、第一类曲线积分的概念 二、第一类曲线积分的计算法
= 2π a2ρ a2 + k2
(2) L的质量 m = ∫ L ρ ds = 2π ρ a + k 的质量
2 2
2π ∫ 0 cos t d t
机动
而
= aρ a + k
2
2
=0
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= aρ a
2
2
2 2π sin t d t + k ∫0
2 2π + k ∫ 0 t dt
如果方程为极坐标形式: 如果方程为极坐标形式 L : r = r(θ ) (α ≤ θ ≤ β ), 则
β = ∫α f (r(θ )cosθ , r(θ )sinθ )
r 2(θ ) + r′2(θ ) dθ
推广: 推广 设空间曲线弧的参数方程为 Γ : x = φ(t ), y = ψ (t ) , z = ω(t ) (α ≤ t ≤ β ) 则 ∫ Γ f ( x, y, z)ds
θ sin 2θ α 3
4 0
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例3. 计算
其中L为双纽线 其中 为双纽线
( x2 + y2 ) 2 = a2( x2 − y2 ) ( a > 0)
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
(0 ≤ θ ≤ π ) 4
π
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L1 : r = a cos 2θ
利用对称性 , 得
∫Γ ∑ f (ξk ,ηk ,ζ k )∆sk = f ( x, y, z)ds λ →0
记作
lim
k =1
都存在, 都存在 则称此极限为函数
在曲线
Γ上对弧长的曲线积分, 或第一类曲线积分 上对弧长的曲线积分 或第一类曲线积分. 称为被积函数， Γ 称为被积函数， 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 M = ∫Γ ρ ( x, y, z)ds
(Γ由 组成) 组成
( l 为曲线弧 Γ 的长度 的长度)
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二、对弧长的曲线积分的计算法
转化
基本思路: 基本思路 求曲线积分 定理: 定理
计算定积分
是定义在光滑曲线弧
上的连续函数, 则曲线积分 上的连续函数
且
β f ( x, y) d s = ∫α f [ϕ (t ) ,ψ (t )] ϕ′2(t ) +ψ ′2(t ) d t ∫L
圆Γ的形心 在原点, 在原点 故 X =0
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例6. 计算
其中Γ 其中Γ为球面 x + y
2
2
的交线 + z2 = 9 与平面x + z = 1的交线. 2 1 ( x − 1)2 + 1 y2 = 1 2 4 解 : Γ : 2 , 化为参数方程 x+ z =1 x = 2 cosθ + 1 2 ( 0 ≤ θ ≤ 2π ) Γ : y = 2sinθ z = 1 − 2 cosθ 2 则
2π 2 a + k2 (3a2 + 4π 2k2 ) = 3
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例5. 计算 被平面
其中Γ 其中Γ为球面 所截的圆周. 所截的圆周
解: 由对称性可知 ∫ x2 ds = ∫ y2 ds = ∫ z2 ds Γ Γ Γ
1 ∴ ∫Γ x ds = ∫Γ ( x2 + y2 + z2 )ds 3 1 2 1 2 = ∫Γ a ds = a ⋅2π a 3 3 2 3 = πa 3
y
3
(2xy + 3x2 + 4 y2 )ds ∫L
提示: 提示 利用对称性 ∫L 2xy ds = 0
2 2
−2
o
2x
x y 原式 = 12∫L( + )ds = 12∫L ds = 12a 4 3
分析: 分析 ∫L 2xy ds = ∫L 2xy ds + ∫L下 2xyds 上
= ∫ 2x L
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Mk ∆sk Mk −1
Γ
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积 分为
∫ L f ( x, y)ds = lim ∑ f (ξk ,ηk )∆sk
λ →0 k=1
n
如果 L 是闭曲线 , 则记为 ∫ L f ( x, y)ds . 思考: 思考 (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问∫ Ld s 表示什么 ? (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ≥ 0 , 但定积分中 dx 可能为负 可能为负.
的长度) (3) ∫ Γ ds = l ( l 曲线弧 Γ 的长度
( Γ由Γ , Γ2 组成) 1
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3. 计算 • 对光滑曲线弧
β ∫L f ( x, y)ds = ∫α f [φ (t ),ψ (t )] φ′2(t ) +ψ ′2(t ) d t
• 对光滑曲线弧
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内容小结
1. 定义 ∫L f ( x, y)ds
∫ Γ f ( x, y, z)ds
2. 性质
(1) ∫ Γ[ α f ( x, y, z) + β g( x, y, z) ] ds
+ β ∫L g( x, y, z)ds (α, β 为常数)
(2) ∫ Γ f ( x, y, z)ds = ∫ Γ f ( x, y, z)ds + ∫ Γ f ( x, y, z)ds 1 2
M=
∑
k =1
n
A
机动
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结束
2.定义 . 是空间中一条有限长的光滑曲线, 设 Γ 是空间中一条有限长的光滑曲线 上的一个有界函数, 义在 Γ上的一个有界函数 若通过对 Γ 的任意分割 和对 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” 局部的任意取点 下列“乘积和式极限”
n
(ξk ,ηk ,ζ k )