试验一 斐波那契数列一、 实验目的与要求1．认识Fibonacci 数列，体验发现其通项公式的过程；2．了解matlab 软件中进行数据显示与数据拟合的方式；3．掌握matlab 软件中plot, polyfit 等函数的基本用法；4．提高对数据进行分析与处理的能力。

二、 问题描述某人养了一对兔，一个月后生育了一对小兔。

假设小兔一个月后就可以长大成熟，而每对成熟的兔每月都将生育一对小兔，且兔子不会死亡。

问：一年后共有多少对兔子？三、 问题分析这个问题，最早由意大利数学家斐波那契(Fibonacci)，于1202年在其著作《珠算原理》中提出。

根据问题的假设，兔子的总数目是如下数列： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…问题的答案就是此数列的第12项，即一年后共有144对兔子。

这个数列通常被称为斐波那契(Fibonacci)数列，研究这个问题就是研究Fibonacci 数列。

把这个问题作更深入的研究，我们会问：第n 个月后，总共有多少对兔子？即Fibonacci 数列的第n 项是多少？这就需要我们探素Fibonacci 数列的通项公式。

根据问题的描述，我们知道第n+2个月后兔子的对数，等于第n+1个月后兔子的对数（表示原来就有的老兔子对数），加上第n 个月后兔子的对数（表示生育出来的新兔子对数）。

这样就得到关于Fibonacci 数列的一个递推公式：21n n n F F F ++=+利用matlab 软件的数据可视化功能将这些数据显示成平面曲线的形式后，我们可以观察到Fibonacci 数列的变化规律；通过matlab 软件的数据拟合功能，我们可以大概知道Fibonacci 数列的函数关系式，结合上面的递推公式，就可以推导出来Fibonacci 数列的通项公式。

四、 背景知识介绍1． 数据的可视化。

将离散的数据：1234,,,,,,n F F F F F ，看成平面坐标系里的点：1234(1,),(2,),(3,),(4,),,(,),n F F F F n F ，利用matlab 软件的plot 函数在平面坐标系里划出一个点列，就可以实现离散数据的可视化。

plot 函数的基本使用格式为：plot(y)，其中参数y 表示竖坐标，即需要显示的数据。

例1 y=1:20;y=y.^3;plot(y)2． 数据的拟合。

数据拟合就是寻找一个目标函数，作为被拟合数据的近似函数关系。

目标函数的类型，可以是多项式、指数函数等。

作数据拟合，首先需要估计目标函数的类型，这一点可以通过数据可视化来观察得到，而一阶多项式是最常见的目标函数，此时称为线性回归。

确定拟合系数的原则是最小二乘法，即所有误差的平方和取最小值。

在matlab 软件中以多项式为目标函数作数据拟合的函数是polyfit ，它的基本使用格式为：polyfit (x,y,n)。

其中(x,y)是被拟合的数据，即平面上的一个点列，而n 是事先确定的多项式的阶数。

例2 x=[1,3,4,5,6,7,8,9,10];y=[10,5,4,2,1,1,2,3,4]; polyfit (x,y,2)结果：20.2676t - 3.6053t + 13.45973． 数列的通项公式。

寻找一个整标函数，使得它在n 处的函数值，等于数列的第n 项的值，这个函数就是数列的通项公式。

4． 黄金分割。

把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比（如下图）。

其比值是一个无理数1)2-÷，取其前三位数字的近似值是0.618。

由于按此比例设计的造型十分协调美观，因此称之为黄金分割。

五、 实验过程本试验将Fibonacci 数列的有限项，看成是待处理的数据。

首先利用matlab 软件的可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其图形类似什么曲线，结论是：指数函数的曲线。

进一步，利用指数函数与对数函数的互逆关系，将原有数据取对数，再观察其曲线形状是否类似直线，以验证原来的观察是否正确。

通过观察到的目标函数，然后利用matlab 软件的数据拟合功能，得到Fibonacci 数列通项公式的近似关系。

最后，从近似关系出发，推导出来Fibonacci 数列的通项公式。

1． 观察数据的大概函数关系。

为了研究Fibonacci 数列的变化规律，我们取此数列的前30项来观察。

利用Matlab 软件的数据可视化功能，将这些数据显示在平面坐标系中，观察其中蕴涵的函数关系。

具体的实现流程为：（1）定义数组fn ；（2）显示数组fn 。

具体的代码如下：function plotfibo(n) %定义函数显示Fibonacci 数列前n 项fn=[1,1]; %将数列的前两项放到数组fn 中for i=3:n %fn 的第3项到第n 项AM:AB=MB:AMfn=[fn,fn(i-2)+fn(i-1)]; %将第i项添加到数组fn中end %循环结束plot(fn) %将装有数列前n项的数组显示出来这个函数的调用方式是：plotfibo(30)，显示出来的图像为图1，经观察，觉得曲线的形状象指数函数的曲线，其数据无限增大。

可以改变参数n的值，反复观察。

图1 n=30 图2 n=50图3 n=500 图4 n=10002．进一步验证上一步得到的结论。

经过上一步的观察，觉得这些数据应该是指数函数的形式。

为了进一步验证这个结论是否正确，可以利用指数函数与对数函数的互逆关系。

如果这些数据确实是指数函数的形式，则经过取对数后应该是一个线性关系，即一阶多项式，从图形上看应该象一条直线。

因此，再利用Matlab软件的数据可视化功能，将这些数据取对数后显示在平面坐标系中，观察它是否象一条直线。

具体的实现流程为：（1）定义数组fn；（2）数组fn取对数；（3）显示数组fn。

具体的代码如下：function plotlnfibo(n) %显示取对数后的前n项fn=[1,1]; %将数列的前两项放到数组fn中for i=3:n %fn的第3项到第n项fn=[fn,fn(i-2)+fn(i-1)]; %将第i项添加到数组fn中end %循环结束fn=log(fn) %将原来的数据取对数plot(fn) %将装有数列前n 项的数组显示出来这个函数的调用方式是：plotlnfibo(30)，显示出来的图像为图5，经观察，觉得它确实象一条直线。

可以改变参数n 的值，反复观察。

图5 n=30 图6 n=50图7 n=500 图8 n=10003． 获得数据的近似关系式。

经过以上第一步的观察，确定Fibonacci 数列的数据是指数函数的关系，第二步验证了第一步得到的结论，因此我们认为Fibonacci 数列的数据关系就是指数函数，取对数后就是线性函数，即一阶多项式。

利用Matlab 软件的数据拟合功能，通过取对数后的数据，用一阶多项式拟合出它的函数关系式，可以得到Fibonacci 数列通项公式的一个近似表达式。

具体的实现流程为：（1）定义数组fn ；（2）数组fn 取对数；（3）用一阶多项式拟合数组fn 。

具体的代码如下：function fitlnfibo(n) %根据取对数后的数据，拟合出线性表达式fn=[1,1]; %将数列的前两项放到数组fn 中for i=3:n %fn 的第3项到第n 项fn=[fn,fn(i-2)+fn(i-1)]; %将第i 项添加到数组fn 中end %循环结束xn=1:n; %定义横坐标fn=log(fn) %将原来的数据取对数polyfit(xn,fn,1) %拟合装有数列前n项的数组这个函数的调用方式是：fitlnfibo(30)，运行后返回结果是：0.4799，-0.7768。

这两个数据就是一阶多项式的系数，即：F≈-log()0.7768+0.4799nn为了提高精度，可以加大n的值。

取n＝1000时得到：F≈-log()0.8039+0.4812nn从上面的表达式，可以得到数列通项公式的近似：nF≈⨯0.4476 1.6180n4．观察拟合数据与原始数据的吻合程度。

经过第三步的拟合，得到了Fibonacci数列近似的通项公式，为了观察其吻合程度，我们将Fibonacci数列的拟合数据与原始数据的图形显示出来，进行对比观察。

具体的实现流程为：（1）定义数组fn1,fn2；（2）显示数组fn1,fn2。

具体的代码如下：function plotfibo2(n) %显示拟合数据与原始数据的前n项fn1=[]; %装拟合数据的数组for i=1:n %fn1的第1项到第n项fn1=[fn1,0.4476*1.618^i]; %将第i项添加到数组fn1中endfn2=[1,1]; %装原始数据的数组，前两项放到数组fn2中for i=3:n %fn2的第3项到第n项fn2=[fn2,fn2(i-2)+fn2(i-1)]; %将第i项添加到数组fn2中endx=1:n;plot(x,fn1,x,fn2,'r*') %显示, fn1―兰线，fn2－红星这个函数的调用方式是：fitlnfibo2(20)，显示出来的图像为图9，或fitlnfibo2(50)，显示出来的图像为图10。

图9 n=20 图10 n=505． 推导Fibonacci 数列的通项公式(1)。

通过以上的观察和分析，我们知道Fibonacci 数列的数据大概是指数函数的关系。

因此，我们猜测它的通项公式具有形式：n n F k r =⨯。

将这个表达式代入递推公式21n n n F F F ++=+中，得到：21n n n k r k r k r ++⨯=⨯+⨯。

经过简化得到：21r r =+这是一个一元二次的代数方程，其两个根形式如下：(12r =±÷考虑到Fibonacci 数列的数据无限增大，我们取(12r =+÷，于是得到通项公式如下：[(12]n n F k =⨯+÷上面的公式对吗？我们可以来验证。

取n=1和n=2代入上面的公式中计算，显然得不到121,1F F ==，因此它不是Fibonacci 数列的通项公式。

但这个公式并非一无是处，我们可以来考虑这个公式与Fibonacci 数列到底相差多少。

因此，我们引入以下一个数列：[(12]n n n T F k =-⨯+÷可以验证，这个新的数列也满足同样的递推公式：21n n n T T T ++=+，因此我们猜测它同样是指数函数的形式，可以假设其表达式为：n n T r λ=⨯，代入递推公式后，同样可以得到：21r r =+。

这里的r 显然不同于上面的r ，故这个r 取值为：(12r =-÷，从而得到：[(12]n T λ=⨯÷。