第五节
第一章
极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
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一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0,
当
时,有
当
时,有
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
可见
f (x)
b
3 lim
lim (a )
x0 x
x0
x
故
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x2 5x 4 12 5 1 4
lim
0
x1 2x 3
2 1 3
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例6 . 求
解:
时, 分母
分子
分子分母同除以 x2 , 则
431 9 1
原式 lim
x
x2
x
5
2
1 x
1 x2
“ 抓大头”
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一般有如下结果：
lim a0 xm a1xm1 am x b0 xn b1xn1 bn
定理 5 . 若lim f (x) A, lim g(x) B , 且 B≠0 , 则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 有 f (x) A , g(x) B , 其中 , 为无穷小
设
A A
1
(B A )
B B B(B ) 无穷小 有界
因此 为无穷小,
提示: 令 (x) f (x) g(x) 利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
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定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
x x0
lim Q(x)
x x0
说明: 若
不能直接用商的运算法则 .
例4.
(x 3)(x 1)
x 1
lim
lim
x3 ( x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x 1 u2 1
u 1
x 1 u 1
∴ 原式 lim(u 1) 2
u 1
方法 2
(x 1)( x 1)
lim
lim( x 1)
x 1
x 1
x1
2
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内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
x x0
lim f [ (x) ] lim f (u) A
x x0
u
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例7. 求
解:
令
u
x3 x2 9
已知
1 lim u
x3
6
( 见 P46 例3 )
∴ 原式 =
6
6
1
6
( 见 P33 例5 )
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例8 . 求
解: 方法 1 令 u x , 则 limu 1, x 1
f (x) A , g(x) B
(其中 , 为无穷小)
于是
f (x) g(x) ( A ) (B )
( A B) ( )
由定理 1 可知 也是无穷小, 再利用极限与无穷小 的关系定理 , 知定理结论成立 .
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推论: 若 lim f (x) A, lim g(x) B, 且 f (x) g(x), 则 A B . ( P45 定理 5 )
因此
22
这说明当
时,
Байду номын сангаас
为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
1
lim
n
n
n2
1
n2 2
1
n2 n
1
( P56 , 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
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取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故
f (u) A , 因此①式成立.
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定理7. 设
且 x 满足
时,
(x) a , 又
则有
lim f [ (x) ]
x x0
说明: 若定理中 lim (x) , 则类似可得
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设
u M
又设 lim 0, 即 0,
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x (x0 , ) 时 , 就有
u u M M
故
即是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
为非负常数 )
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )
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三、 复合函数的极限运算法则
定理7. 设
且 x 满足
时,
(x) a, 又
则有
①
证:
0, 0, 当 0 u a
时, 有 f (u) A
对上述
2 0,当
0 x x0 2 时, 有 (x) a
推论 1 . lim[C f (x)] C lim f (x)
( C 为常数 )
推论 2 . lim[ f (x)]n [ lim f (x) ] n ( n 为正整数 )
例2. 设 n 次多项式
试证
lim Pn (x) Pn (x0 ).
x x0
证: lim Pn (x) x x0
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注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
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3
lim
t0
t3
1 a t
故 因此
lim 3 t 3 1 a 0
t0
1 a 0
a 1
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作业
P49 1 （5），（7），（9），（12），（14） 2 （1），（3） 3 （1）
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备用题 设
求
是多项式 , 且
解: 利用前一极限式可令
f (x) A
g(x) 1 B
1
2
由极限与无穷小关系定B 理, 得 g(x) B
x ( x0 )
(详见P44)
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定理6 . 若 lim xn A, lim yn B , 则有
n
n
(1) lim (xn yn ) A B
n
(2) lim xn yn AB
1
1 1 1
2
x2
解法 2 令 t 1 , 则 t 0
x
原式 = lim 1 1 1 1 lim 1 t 2 1
t0 t
t2
t
t 0
t2
lim
t0
1
1
1 t2 1 2
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4. 试确定常数 a 使
解: 令t1,则
x
0 lim
t0
3 1 1
t3
a
t
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例1. 求
解:
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
sin x y
x
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二、 极限的四则运算法则
定理 3 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B ,则有
证: 因 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由 利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n (n
1)
lim
1 (1
1 )
1
n 2n2
n 2
n2
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3. 求
解法 1
原式 = lim
x
x lim
x2 1 x x
1
n
(3) 当yn 0 且 B 0时, lim xn A n yn B
提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由 定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .