第七章 信源编码7-1已知某地天气预报状态分为六种：晴天、多云、阴天、小雨、中雨、大雨。

① 若六种状态等概出现，求每种消息的平均信息量及等长二进制编码的码长N 。

② 若六种状态出现的概率为：晴天—0.6；多云—0.22；阴天—0.1；小雨—0.06；中雨—0.013；大雨—0.007。

试计算消息的平均信息量，若按Huffman 码进行最佳编码，试求各状态编码及平均码长N 。

解: ①每种状态出现的概率为6,...,1,61==i P i因此消息的平均信息量为∑=-===6122/58.26log 1log i ii bit P P I 消息 等长二进制编码的码长N ＝[][]316log 1log 22=+=+L 。

②各种状态出现的概率如题所给，则消息的平均信息量为6212222221log 0.6log 0.60.22log 0.220.1log 0.10.06log 0.060.013log 0.0130.007log 0.0071.63/i i iI P P bit -== = ------ ≈ ∑消息Huffman 编码树如下图所示：由此可以得到各状态编码为：晴—0，多云—10，阴天—110，小雨—1110，中雨—11110， 大雨—11111。

平均码长为：6110.620.2230.140.0650.01350.0071.68i ii N n P == =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =∑—7-2某一离散无记忆信源（DMS ）由8个字母(1,2,,8)i X i =⋅⋅⋅组成，设每个字母出现的概率分别为：0.25，0.20，0.15，0.12，0.10，0.08，0.05，0.05。

试求： ① Huffman 编码时产生的8个不等长码字； ② 平均二进制编码长度N ； ③ 信源的熵，并与N 比较。

解：①采用冒泡法画出Huffman 编码树如下图所示可以得到按概率从大到小8个不等长码字依次为：0100,0101,1110,1111,011,100,00,1087654321========X X X X X X X X②平均二进制编码长度为8120.2520.2030.1530.1240.140.0840.0540.052.83i ii N n P == =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ =∑ ③信源的熵∑=≈-=81279.2log)(i i i P P x H 。

比较：1)()(+<<x H N x H7-3一离散无记忆信源每毫秒输出符号集{A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H}中的一个符号，符号集中各符号出现的概率分别为{0.01，0.03，0.35，0.02，0.15，0.18，0.19，0.07}。

①试求信源的熵； ②进行Huffman 编码；③求平均信源编码输出比特速率；④在有和无信源编码时所需的最小二进制信道比特速率。

解：①信源的熵为821()log 2.44/i ii H x P P bit ==- ≈ ∑符号②Huffman 编码树如下图所示可以得到各符号的Huffman 编码为：A —011111，B —01110，C —00，D —011110，E —010，F —11，G —10，H —0110。

③已知码元速率为31/10B R s -=符号，而码元平均信息量（即信源熵）为() 2.44/H X bit ≈ 符号，因此平均信源编码输出比特速率为3() 2.4410/b B R R H x bit s =⋅=⨯④ 对于信源总共8个符号，无信源编码时，每个符号最少用3bit 表示，因此最小二进制信道比特速率为331'3310/10b R bit s -=⨯=⨯ 有信源编码时，最小二进制信道比特速率为32.4410/b R bit s =⨯ 。

7-4某一DMS 有5种信源符号，每种符号出现的概率均为1/5，试计算以下几种编码情况下的有效性（效率）。

① 每个符号分别进行等长二进制编码； ② 每两个符号组合进行等长二进制编码； ③ 每三个符号组合进行等长二进制编码。

解：编码效率η定义为每符号信息量H(x)与每符号平均编码长度N 的比值。

对于等长编码的扩展编码，编码效率可表示为22log ()1[log ]L H x N L Jη==+ 其中5L =表示符号数，J 表示对连续J 个符号统一编码。

①1,77.4%J η== ②2,92.88%J η== ③3,99.51%J η==7-5已知基带信号为()11cos cos2f t t t ωω=+，对其进行理想抽样，并用理想低通滤波器来接收抽样后信号。

① 试画出基带信号的时间波形和频谱； ② 确定最小抽样频率；③ 画出理想抽样后的信号波形及频谱。

解：①基带信号可表示为1113()2cos()cos()22f t t t ωω=，可将11cos()2t ω视作低频包络，将13cos()2t ω视作高频振荡，作图如下：②142f f f m s =≥。

③基带信号f(t)由两个余弦信号相加构成，因此其频谱为两对离散谱线，如下图所示：7-6已知信号t t x π30cos 4)(=。

①画出用冲激序列对其抽样后的频谱，抽样速率如下： （a ）35样值/秒 （b ）15样值/秒 （c ）10样值/秒②假设进行以上抽样后的信号通过一重建低通滤波器，低通滤波器的传递函数为 )32()(f f H ∏= 求出每种情况下的输出信号。

当抽样信号中存在混叠时，指出输出信号中哪些是混叠成分，哪些是所希望的信号成分。

解：t t x π30cos 4)(=，信号角频率030/rad s ωπ= ，信号频率015f Hz = 。

（a ）抽样频率35s f Hz = ，根据奈奎斯特抽样定理，可以得到抽样后的信号的频谱()s X ω如下图所示：再经过重建低通滤波器()H f ，得到输出信号为1()4[(215)(215)(220)(220)]Y ωπδωπδωπδωπδωπ=-⨯++⨯+-⨯++⨯1()4cos(30)4cos(40)y t t t ππ=+混叠成分希望信号成分（b ）抽样频率15s f Hz = ，根据奈奎斯特抽样定理，可以得到抽样后的信号的频谱()s X ω如下图所示：再经过重建低通滤波器()H f ，得到输出信号为2()4[2()2(215)(215)2(230)2(230)]Y ωπδωδωπδωπδωπδωπ=+-⨯++⨯+-⨯++⨯2()48cos(30)c 8os(60)y t t t ππ=++混叠成分混叠成分希望信号成分（c ）抽样频率10s f Hz = ，根据奈奎斯特抽样定理，可以得到抽样后的信号的频谱()s X ω如下图所示：再经过重建低通滤波器()H f ，得到输出信号为3()4[2(52)2(52)(215)(215)(225)(225)]Y ωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπ=-⨯++⨯+-⨯++⨯ +-⨯++⨯3()8cos(10)4cos(30)4cos(50)y t t t t πππ=++混叠成分混叠成分希望信号成分7-7已知信号f(t)的最高截止频率为m f ，若用图E7.1所示的q(t)对f(t)进行自然抽样，q(t)是周期为1/2m T f =的周期三角波。

试确定已抽样信号的频谱表示式，并画出其示意图。

图E7.1解： ()[()]Q q t ω=ℑ2222[()]()()()22s s s n n n Sa n San TT ωτωτππττδωωδωω∞∞=-∞=-∞=⋅-=-∑∑ 其中1s f T=，令2s m f f =，则22s s m f ωπω==。

则已抽样信号频谱∑∞-∞=-==n mms n F n Sa TQ F F )2()()(*)(21)(2ωωτωτωωπω。

作图如下7-8已知低通信号最高频率为H f ，若用高度为1、宽度为τ、周期为Hf 21的周期性三角脉冲对其进行自然取样。

①画出已抽样信号的波形图；②求已抽样信号的频谱，并画出频率草图（低通信号及其频谱的形状可自己假设）； ③若改为用周期性冲激函数进行抽样，重复步骤①、②，并比较两者在波形和频谱上的差别。

解：① 低通信号()f t 、周期三角脉冲信号()N S t 及已抽样信号()N f t 的时域波形分别如下所示② 三角脉冲及其频谱可表示为2()()()24p t P Sa τωτωℑ←−→=，则周期三角脉冲信号及其频谱可表示为1()()2N k HS t p t k f ∞=-∞=-⋅∑200()()()4N H n n S Sa n ωτωωτδωω∞=-∞=⋅-∑，其中02221/2H H T f ππωω=== 因此已抽样信号的频谱为20021()()()2()()4()(2)2N N H n H H H n F F S n f Sa F n n f Sa F n ωωωπωττωωωττωω∞=-∞∞=-∞=* =- ==-∑∑作出频谱草图如下所示：③ 周期性冲激函数可表示为002222()()|(2)H T HnnTn n TTπωωππδωδωωδωω===-=-∑∑可以做出低通信号()f t 、周期性冲激函数()T t δ及已抽样信号()f t δ的时域波形分别如下所示周期性冲激函数的频谱为11()()()()(2)2(2)2T H H H n nF F F n f F n T δωωδωωδωωωωπ=*=*-=-∑∑ 作出频谱草图如下所示：比较：时域：一系列三角窄脉冲和一系列冲激函数。

频域：抽样信号有一)·(2Sa 包络和抽样信号包络为一水平直线。

7-9①画出用4 kHz 的速率对频率为1 kHz 的正弦波进行自然抽样所获得的PAM 信号的波形； ②若要获得平顶PAM 波形，重复步骤①。

解：频率为1 kHz 的正弦波()sin(2000)f t t π=和抽样脉冲串()N S t 的波形如下图所示：自然抽烟信号和平定抽样信号如下图所示：7-10已知信号的频谱如图E7.2所示，对其进行理想抽样。

① 若用理想低通滤波器接收，试确定抽样频率；② 若采用RC 滤波器接收，要求抑制寄生频谱并且具有2kHz 的过滤带，试确定抽样 频率。

图E7.2解：①由于信号最高频率为4m f kHz = ，因此理想抽样频率为28s m f f kHz ==。

②RC 滤波器结构如图E3.2所示，其传输函数为221|()|1()H RC ωω=+ 以其3dB 带宽作为RC 滤波器的带宽，在其两侧取2kHz 的过渡带。

如下图所示：可以得到抽样频率最小为40002000400010s f kHz =++=7-11模拟语音信号的频谱如下图E7.3所示，以10kHz 的速率对这一波形进行抽样，抽样脉冲宽度τ=50μs 。