当前位置:文档之家› 极限与连续部分基本概念(20200511213748)

极限与连续部分基本概念(20200511213748)

极限与连续(包含第三章集合映射和函数)
§ 1函数及其特性
基本概念
1. 集合集合的表示方法集合的关系及运算(见书中概念)
2 •映射
3. *函数定义域值域
函数的两要素:定义域对应法则
4. 反函数y=f(x) y= f_1(x)
注意(1)不是任一函数都存在反函数,反函数存在的条件;
(2) 一个函数y=f(x)与它的反函数y= f _1(x)互为反函数;
(3) y=f(x)与y二f'(x)图像关于直线y=x对称;
(4) y = f (x)的定义域即为y二f」(x)值域,而y二f(x)的值域即为y二f
'(X)的定义域。

5. 函数的基本性质
(1)有界性
界是不唯一的;函数的有界性与区间有关(如函数y二丄在区间(1, 2)
x
有界,但在(0, 1)无界);
(2)单调性函数的单调性在后面的导数应用中还会用到
函数的单调性也与区间有关(如函数y二x2在(」:,0)上是减函数,
(0/ )上是增函数);如一函数在某区间是严格增函数(或减函数),则其必有
反函数。

(3)奇偶性(函数要定义在一对称区间上)
偶函数的图像关于y轴对称,奇函数的图像关于坐标原点对称且f(0)=0;判断一函数的奇偶性只需验证f(x)与f(-x)关系.
(4)周期性
f (x)= f (x+T)= f (x+ 灯) k 为整数
三角函数的周期性。

6. 幕函数,指数函数,对数函数
常用的指数函数:y二e x,常用的对数函数:y = In x ;指数函数与对数函
数互为反函数。

7. 基本初等函数
幕函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数统称为基本初等函数。

对于基本初等函数的图形及其基本特性必须熟练掌握。

8. 复合函数
掌握两个(或多个函数)是如何复合构成新函数的(即复合函数是如何复合而成的)。

9. 初等函数
10. 分段函数
分段函数不是两个或多个函数,它是一个函数,只是自变量在不同的取值范围其函数表达式不同。

分段函数在分段点处极限的存在性,连续性,可导性等都是难点。

§ 2数列极限
基本概念
1. 数列极限
数列极限是一常数,是随着数列项数的增加通项的一种变化趋势
2. 数列极限的四则运算
数列极限的四则运算的前提两个数列极限都存在。

§ 3函数极限
一、基本概念
1. 函数极限
自变量的变化趋势共有6种情形:
f (x)在(a,=)上有定义;
f (x)在(- :,a)上有定义;
f (x)在(-,-a)一(a,二)上有定义;
结论:limf(x)=A二lim f(x)= lim f(x) = A X »二x、二X W
曲型:
(a) lim arctan x ,lim arctan x -
XT讼 2 i q 2 (1) lim f (x)二A
XT讼
(2) lim f (x)二A
X T-°O
(3) lim f(x)二A
X T^O
lim a ret axr不存在;
x
(b) l i me* 二:,lim e^ 0
讼XT
lim e X不存在.
X—::
(4)lim f(x)=A f (x)在X o邻域内有定义(X o除外);
XTX O
(5)左极限lim f(x) = A二f(x00);
X0 —
(6)右极限lim f(x) = A 二f (Xt j 0);
XTXo +
左右极限主要用于求分段函数在分段点处的极限。

结论:lim f(x)二A 二lim f(x)二lim f(x)二A
X—. X0 X—. X0 …X》X0 亠
注:函数在某点X0处的极限与函数在该点X0处是否有定义无关,与函数在此点X0取何值也无关(函数在某点X0的极限与此点无关,而与X0周围点有关)。

2. 函数极限的性质
(1)极限是唯一;
(2)若lim f(x)二A,则f (x)在X0邻域内有界,若limf(x)二A,则
X T X0 X TM
f (X)在|x|充分大时是有界的;
(3)若lim f (x)二A • 0 (或<0),则在x°邻域内 f (x)>0 (或<0).
X T X0
3. 函数极限的运算法则
(1)四则运算法则
l i mC二C,其他同数列极限;x r x。

(2)复合函数的极限法则。

4. 两个重要极限

(1) lim(1 丄)x二e, lim(1 x)X二e,( lim(1 -)^e);
X T比x XT0宀血n
变形:
1
lim (1 (x)) (X)二e ;:(x) >0
S!nX=1 ;
(2) lim
XT0 X
7
2
(7) lim -
XTO
— cosx
变形:lim S i^<X )=i
a(xXO a (x)
5. 无穷小量和无穷大量
注:(1)无穷小量是f (x)有极限的特殊情形;
(2) 无穷大量是f (x)没有极限的特殊情形; (3) 无穷小量和无穷大量之间的关系。

6. 无穷小量的性质
(8)若 x —; x 0时,f (x) > a 0,
(x) > b ,则 lim f (x) (x)二 a b 。

XT x 0
注意无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量的应用(如
sinx
lim
x 厂:x
7. 无穷小量的比较
高阶无穷小量,同阶无穷小量,等价无穷小量 在应用这些概念时注意前提必须是无穷小量才能比较, 否则没有任何意义
&无穷小量的替换(代换)
在进行无穷小量替换时只有在乘除时能替换, 在加减时是不能替换的
二、难点
1. 分段函数在分段点处的极限(如何思考);
2. 等价无穷小代换在求极限过程中的灵活应用;
3. 重要极限的准确运用;
4. 一些常用结论
1
1
(1) lim
lim 八;
X 》::X
x-;0 X
(2)
lim e x
= , lim e x = 0 ;
X > ::
X —
tan x - arcsinx _
arctan x
(3) lim
1 lim 1 lim 1
x —;0 X x 「0 X Xr 0 X
⑷问虹凶
XTO
x
(5)
lim —
x —;0
x (6) lim ―=1,
XTO x
』1 + x — 1
特殊地lim 1 x -1 ;
XTO
x
2
常用的等价无穷小(必须熟记)
若0时,x 〜sinx 〜tanx 〜arcsinx 〜arctanx 〜ln(4 x)〜e x- 1 〜------ 1 2
2( 1 x -1) , 1 -cox 〜-x .
§ 4函数的连续性基本概念
1. 函数f (x)在某点X。

连续:lim f(x)二f(x0)(或lim y = 0),它包含三个
X T X。

&T 0
方面(1)函数在此点有定义,(2)函数在此点的极限存在,(3 )极限值等于这点的函数值。

三个条件缺一不可。

函数在某点右连续,在某点左连续;
f (x)在某点X0 连续=f(X0 -0) = f(X0 0) = f(X0)。

2. 函数f (x)在开区间(a,b)连续,在闭区间[a,b]连续。

3■间断点(不连续点):三个条件不能都满足。

间断点分类:
第一类间断点:左右极限f(x。

-0), f(x。

0)都存在,(1)若相等但不等于此
点函数值,称为可去间断点;(2)左右极限不等,称为跳跃间断点;
第二类间断点:非第一类间断点(或左右极限f(x^0), f(x0 0)至少有一个
不存在)。

4. 连续函数的运算性质结论:初等函数在其定义区间上都是连续的。

这个结论为极限的计算带来很大的方便,即要求一连续函数的极限转化为求函数在此点的函数值。

5■闭区间上连续函数的性质
要注意分段函数在分段点处的连续性(由定义去求解) 。

相关主题