Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
空间两点间的距离
设 M1( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点，
M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
z 轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2
x2 c2
z2
1
旋 转 椭
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M( x, y, z) , O(0,0,0) 则 d OM x2 y2 z2 .
例１求点 M1 (4,1, 9) 到点 M2 (10, 1, 6) 的距离．
解： | M1M2 |
( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
起点M
z
0
(
x0
,
y0
,
z0
)，终点M( x, y,
ax x
z)
x0
向量在x轴上的投影
az
•M
a y y y0
M 0•
ax
ay
O
向量在y轴上的投影
y
az z z0
向量在z轴上的投影
x
向量的坐标表达式：
a {ax , a y , az }
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
a {ax , ay , az },
a {ax , ay , az }
特殊地，一向量与其单位向量的关系为
a0
|
a a|
三、曲面与方程
如果空间曲面 S 与三元方程 F(x, y, z) 0有如下关系： (1)曲面 S 上任意一点的坐标都使方程 F(x, y, z) 0成立. (2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程 F(x, y, z) 0,
解: XY 坐标平面的方程是:z 0;
YZ 坐标平面的方程是: x 0; ZX 坐标平面的方程是: y 0.
例4 讨论 z d 的图形.
（二）柱面与旋转曲面
1. 柱面( cylinder )
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C叫 柱面的准线
(directrix) ,动直 线L叫柱面的母 线(generatrix).
则称方程F (x, y, z) 0 叫做曲面S 的方程,曲面 S 为方程 F(x, y, z) 0 的图形.
（一）平面
例2 设 M1(1, 1, 0)与 M2 (2, 0, 2) 是空间两点,求线段 M1M2 的垂直平分面的方程.
解: 设 M(x, y, z) 是垂直平分面上的任意一点,那么
| M1M || MM2 |, 于是
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C( x,0, z)
O x P( x,0,0)
• M(x, y, z)
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
特殊地：OM { x, y, z}
向量的模（大小）：
| a|
a2 x
a2 y
a2 z
向量加减法的坐标表达式
a {ax , ay , az }, b {bx , by , bz },
a
b
{ax
bx
,
ay
by ,
az
bz }
a
b
{a
x
bx ,
ay
by ,
az
bz }
向量与数的乘法的坐标表达式
(4 10)2 (1 1)2 (9 6)2
62 22 32 7.
二、向量
M2
向量(vector)：既有大小又有方向的量.
向量表示：a 或 M1M2
M1
以M1为起点，M2 为终点的有向线段.
向径： 空间直角坐标系中任一点 M与原点 构成的向量 OM .
向量的坐标表示
设有向线段M0M代表向量 a
第七章 空间解析几何简介
一、空间直角坐标系 二、向量 三、曲面与方程
一、空间直角坐标系
三条坐标轴的正方向 符合右手法则.
z 竖轴
(vertical axis)
即以右手握住 z
轴，当右手的四个
原点 o •
手指从 x轴正向以
2
角度转向正向 y 轴
(origin)
y 纵轴
(ordinate axis)
观察柱面的形
成过程:
播放
柱面举例
z
z
y2 2x
o
y
o
x
xHale Waihona Puke 抛物柱面( Cylinder of the second order parabolic )
平面
y
y x
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y而缺z的方程F(x, y) 0，在
空间直角坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱
面，其准线为 xoy面上曲线C .（其他类推）
实 例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 母线// x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面 母线// z轴
x2 2 pz 抛物柱面 母线// y轴
2.旋转曲面(surfaces of revolution )
定义 以一条平面
曲线绕其平面上的
一条直线旋转一周
所成的曲面称为旋
转曲面.
这条定直线叫旋转
曲面的轴(axis)．
横轴 x (abscissa axis)
时，大拇指的指向
就是 z 轴的正向.
空间直角坐标系
( space rectangular coordinates system )
Ⅲ
yOz面 Ⅳ
xOy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z zOx面
o
Ⅴ
空间被分为八个卦限
Ⅱ
yⅠ
Ⅵ
空间的点一一对应有序数组( x, y, z)
特殊点的表示: 坐标轴上的点 P, Q, R, 坐标面上的点 A, B, C, 坐标原点O(0,0,0)
(x 1)2 ( y 1)2 (z 0)2 (x 2)2 ( y 0)2 (z 2)2 2x 2y 4z 6 0
x y 2z 3 0 就是所求垂直平分面的方程.
平面方程:
Ax By Cz D 0, 其中ABC不同时为零。
例3 求 XY ,YZ, ZX 坐标平面的方程.
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例2 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程．
（1）双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2
y2 z2 c2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2
z2 c2
1
曲 面
( hyperboloid )
y2
（2）椭圆
a
2
z2 c2
1绕 y 轴和