9．ACD
10．AD
11．ABD
12．BCD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
（1）求 B ； （2）若 a = 2 ，且 △ABC 为锐角三角形，求 △ABC 的面积 S 的取值范围．
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19．（本小题满分 12 分）
如图，侧棱与底面垂直的四棱柱 ABCD − A1B1C1D1 的底面 ABCD 是平行四边形，
uuur uuur uuur uuur AM = 2MA1 ， CN = 2NC1 ．
22．（本小题满分 12 分）
（1）若 ∀x ∈ R ， a„ex − x 恒成立，求实数 a 的最大值 a0 ；
（2）在（1）的条件下，求证：函数
f
(x)
=
ex x
+
cos x
+
a0 x
在区间 (−π
， 0)
内存在唯
一的极大值点 x0 ，且 f (x0 ) > 2x0 .
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2020 届高三模拟考试
数学试题参考答案及评分标准
2020．4
一、 单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
CABD DBAC
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
绘制了饼图（如图），则下列说法正确的是
A. 第一季度居民人均每月消费支出约为 1 633 元 B. 第一季度居民人均收入为 4 900 元 C. 第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费
支出最多
D. 第一季度居民在居住项目的人均消费支出 为 1 029 元
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10．如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCD − A1B1C1D1 内灌进一些水，固定容器一边 AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论：
6．已知 a
>
b
>
0
，若 loga
b
+
logb
a
=
5 2
，
ab
=
ba
，则
a b
=
A． 2
B． 2
C． 2 2
D． 4
7．函数 f (x) = 6cos x 的图象大致为 2x − sin x
y
y
y
y
O
x
A.
O
x
O
O
x
x
B.
C.
D.
8．已知点 P(m, n) 是函数 y = −x2 − 2x 图象上的动点，则 | 4m + 3n − 21| 的最小值是
成绩时，将 A 至 E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到 91～
100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30 八个分数区间，
得到考生的等级成绩．
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举例说明：某同学化学学科原始分为 65 分，该学科 C＋等级的原始分分布区间为 58～
秘密★启用前
2020 届高三模拟考试
数学试题
2020．4
本试卷分第Ⅰ卷和第 II 卷两部分．满分 150 分．考试用时 120 分钟．考试结束后，将 本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如
为
， C 的离心率为
．（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
16．三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AA1 ⊥ 平面 ABC ， AA1 = 4 ， △ABC 是边长为 2 3 的正三
角形，D1 是线段 B1C1 的中点，点 D 是线段 A1D1 上的动点，则三棱锥 D − ABC 外接球
的表面积的取值集合为
A． (−1, 0)
B． (−1, + ∞)
C． R
D． (−∞, 0)
2．已知 i 是虚数单位，i − 1是关于 x 的方程 x2 + px + q = 0( p, q ∈ R) 的一个根，则 p + q =
A． 4
B． −4
C． 2
3．“ cosθ < 0 ”是 “θ 为第二或第三象限角”的
D． −2
已知{an} 是公差为 2 的等差数列，其前 n 项和为 Sn ，
．
（1）求 an ；
（2）设 bn
=
( 3 )n 4
⋅ an
，是否存在 k
∈ N∗
，使得 bk
>
27 8
？若存在，求出 k
的值；
若不存在，说明理由．
18．（本小题满分 12 分） 在 △ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，且 a − b cosC = 3 c sin B ．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．2013 年 5 月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，
破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现
存在无穷多差小于 7000 万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值
n 的最大值是 5
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． (x − 1 )6 的展开式中二项式系数最大的项的系数为
．（用数字作答）
x
uuuur uuuur
14．在平行四边形 ABCD 中， AB = 3 ， AD = 2 ，点 M 满足 DM = 2MC ，点 N 满足
uuur CN
频率
个选考科目进行测试，某校高一年级 2 000 人， 0.036 组距
根据该校高一学生的物理原始成绩制成频率分
布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以
认为该校高一学生的物理原始成绩 X 服从正态
0.022
分布 N (µ,σ 2 ) (σ > 0) ，用这 2 000 名学生的
平均物理成绩 x 作为 µ 的估计值，用这 2 000 名学生的物理成绩的方差 s2 作为σ 2 的估计值． 0.008
为 A ， B ，且当 k = 1 时，| AF | + | BF | = 5 ． （1）求 C 的方程；
（2）直线 l2 与 C 相切于点 P ，且 l2 P l1 ，若 △PAB 的面积为 4 ，求 k ．
21．（本小题满分 12 分）
某省 2020 年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由 3 门统一高考科目
3 记线段 PA, PB 的长分别为 m,n ，则
A．若 PA, PB 的斜率分别为 k1, k2 ，则 k1k2 = −3
B． mn > 1 2
C． 4m + n 的最小值为 3
D． | AB| 的最小值为 3 2
12．对 ∀x ∈ R ，[x] 表示不超过 x 的最大整数．十八世纪， y = [x] 被“数学王子”高斯采
（2）①求 x ， s2 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
②由①中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于 84 分的人数为 Z ，求 E(Z) ． 附：若 X ～ N (µ, σ 2 ) (σ > 0) ，则 P(µ − σ < X„ µ + σ ) = 0.682 7 ，
P(µ − 2σ < X„ µ + 2σ ) = 0.954 5 ， P(µ − 3σ < X„ µ + 3σ ) = 0.997 3 ．
（1）求证： AN P 平面 MB1D1 ； （2）若 AB = 2AD = 2 ， ∠BAD = 60° ， AA1 = 3 ， 求 NB1 与平面 MB1D1 所成角的大小．
D1 A1
M
C1 B1
N
D
C
20．（本小题满分 12 分）
A
B
已知抛物线 C ： x2 = 2 py ( p > 0) 的焦点为 F ，直线 l1 ： y = kx +1 (k > 0) 与 C 的交点
D． 1 5
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5．已知函数
f
(x)
=
sin(2x
−
π )
，则下列结论正确的是
3
A． f (x) 的最小正周期为 2π
B． f (x) 的图象关于点 ( π ,0) 对称 3
C． f (x) 在 ( π ,11π) 上单调递增 2 12
D． 5π 是 f (x) 的一个极值点 12
成绩和自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为 750 分．
其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考
试科目是从物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 科中选择 3 门作为选考科目，语
文、数学、外语三科各占 150 分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接
的素数对．孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题中的第 8 个，可以这
样描述：存在无穷多个素数 p ，使得 p + 2 是素数，素数对 ( p, p + 2) 称为孪生素数．在
不超过16 的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为
A． 1 10
B． 4 21
C． 4 15
A． 25
B． 21
C． 20
D． 4
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有