简单的三角恒等变换[学习目标] 1.能用二倍角公式导出半角公式以及万能公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法，以及进行简单的应用.2.了解两角和与差的正弦、余弦公式导出积化和差、和差化积公式的基本方法．理解方程思想、换元思想在整个变换过程中所起的作用.3.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法，能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一半角公式及其推导(1)2Sα：sinα2＝±1－cos α2；(2)2Cα：cosα2＝±1＋cos α2；(3)2Tα：tanα2＝±1－cos α1＋cos α(无理形式)＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α(有理形式)．思考1 试用cos α表示sinα2、cosα2、tanα2.答案∵cos α＝cos2α2－sin2α2＝1－2sin2α2，∴2sin2α2＝1－cos α，∴sin2α2＝1－cos α2，∴sinα2＝±1－cos α2；∵cos α＝2cos2α2－1，∴cos2α2＝1＋cos α2，∴cosα2＝±1＋cos α2；∵tan2α2＝sin2α2cos2α2＝1－cos α21＋cos α2＝1－cos α1＋cos α，∴tan α2＝±1－cos α1＋cos α.思考2 证明tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.证明 ∵sin α1＋cos α＝2sin α2cosα22cos2α2＝tan α2，∴tan α2＝sin α1＋cos α，同理可证tan α2＝1－cos αsin α.∴tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.知识点二 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ) 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝aa 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．思考1 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2.(1)sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4；(2)sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4； (3)3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6；(4)3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6； (5)sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (6)sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.思考2 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． 答案 a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中sin φ＝ba2＋b2，cos φ＝aa2＋b2)．题型一半角公式的应用例1 已知cos α＝13，α为第四象限角，求sinα2、cosα2、tanα2. 解sinα2＝±1－cos α2＝±1－132＝±33，cosα2＝±1＋cos α2＝±1＋132＝±63，tanα2＝±1－cos α1＋cos α＝±1－131＋13＝±22.∵α为第四象限角，∴α2为第二、四象限角．当α2为第二象限角时，sinα2＝33，cosα2＝－63，tanα2＝－22；当α2为第四象限角时，sinα2＝－33，cosα2＝63，tanα2＝－22.跟踪训练1 已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cosθ2和tanθ2.解∵sin θ＝45，5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin2θ＝－35.由cos θ＝2cos2θ2－1得cos2θ2＝1＋cos θ2＝15.∵5π4<θ2<32π. ∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2cos θ2sin θ22cos2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.题型二 三角恒等式的证明例2 (1)求证：1＋2cos 2θ－cos 2θ＝2.(2)求证：2sin x cos x (sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos xsin x .证明 (1)左边＝1＋2cos 2θ－cos 2θ ＝1＋2×1＋cos 2θ2－cos 2θ＝2＝右边． 所以原等式成立． (2)原式＝2sin x cos x(2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2)(2sin x 2cos x2＋2sin 2x2)＝2sin x cos x 4sin 2x 2(cos 2x 2－sin 2x 2)＝sin x2sin 2x 2＝cos x2sin x 2＝2cos2x22sin x 2cosx 2＝1＋cos x sin x ＝右边．所以原等式成立．跟踪训练2 证明：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝tan x2.证明 左边＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x1＋cos x ＝sin x1＋cos x ＝2sin x 2cosx22cos2x 2 ＝tan x2＝右边．所以原等式成立．题型三 与三角函数性质有关的综合问题 例3 已知函数f (x )＝cos(π3＋x )cos(π3－x )，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)f (x )＝(12cos x －32sin x )(12cos x ＋32sin x )＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8 ＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos(2x ＋π4)， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的取值集合为{x |x ＝k π－π8，k ∈Z }．跟踪训练3 如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？解 设∠AOB ＝α，△OAB 的周长为l ， 则AB ＝R sin α，OB ＝R cos α， ∴l ＝OA ＋AB ＋OB ＝R ＋R sin α＋R cos α ＝R (sin α＋cos α)＋R ＝2R sin(α＋π4)＋R .∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∴l 的最大值为2R ＋R ＝(2＋1)R ， 此时，α＋π4＝π2，即α＝π4，即当α＝π4时，△OAB 的周长最大．构建三角函数模型，解决实际问题例4 如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值．分析 解答本题可设∠PAB ＝θ并用θ表示PR 、PQ .根据S 矩形PQCR ＝PQ ·PR 列出关于θ的函数式，求最大值、最小值．解 如图连接AP ，设∠PAB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ， 则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)， 则sin θcos θ＝t 2－12.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002(t －109)2＋950.故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002)m 2.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±332．下列各式与tan α相等的是( ) A.1－cos 2α1＋cos 2αB.sin α1＋cos αC.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α3．函数f (x )＝2sin x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的最大值等于( )A.12B.32 C ．1 D ．2 4．已知π<α<3π2，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α.5．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B. 1－cos α2 C ．－1＋cos α2D. 1＋cos α22．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π33．已知cos α＝45，α∈(32π，2π)，则sin α2等于( )A ．－1010 B.1010 C.310 3 D ．－354．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期是( )A.π4B.π2 C ．π D ．2π 5．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2二、填空题7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________. 9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10．sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为________．三、解答题11．已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值．12．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值．13．已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4.(1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．当堂检测答案1．答案 A解析 由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．答案 D解析 1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝sin αcos α＝tan α. 3．答案 A 解析 ∵f (x )＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos x 2－cos π3sin x 2 ＝32sin x －sin 2x 2＝32sin x －1－cos x 2 ＝32sin x ＋12cos x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－12. ∴f (x )max ＝12. 4．解 原式＝(sin α2＋cos α2)22|cos α2|－2|sin α2| ＋(sin α2－cos α2)22|cos α2|＋2|sin α2|， ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4， ∴cos α2<0，sin α2>0. ∴原式＝(sin α2＋cos α2)2－2(sin α2＋cos α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2. 5．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos 60°＋5cos(x ＋20°)sin 60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314. 所以f (x )max ＝7.课时精练答案一、选择题1．答案 C2．答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x . 3．答案 B解析 由题意知α2∈(34π，π)， ∴sin α2>0，sin α2＝ 1－cos α2＝1010. 4．答案 B解析 ∵f (x )＝sin 4x ＋1－sin 2x＝sin 4x －sin 2x ＋1＝－sin 2x (1－sin 2x )＋1＝1－sin 2x cos 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14×1－cos 4x 2＝18cos 4x ＋78， ∴T ＝2π4＝π2. 5．答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°·cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，y ＝sin x 在[0，π2]上是递增的．∴a <c <b .6．答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2 ＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12. 二、填空题7．答案 π解析 ∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x ) ＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 8．答案 4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136.∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780. 9．答案 3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(180°－α)＝1－cos(180°－α)sin(180°－α) ＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10．答案 34解析 原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°cos 20°－cos 60°sin 20°) ＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220°＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220° ＝34sin 220°＋34cos 220°＝34. 三、解答题11．解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π6＋cos x sin π6－1 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x －1 ＝3sin 2x ＋2cos 2x －1＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π. (2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3. 于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时， f (x )取得最大值2； 当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时， f (x )取得最小值－1.12．解 ∵sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝－453. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410. 13．解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12， 由tan α＝2得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35， 所以f (α)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2得2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.。