刚体的平面运动 刚体的平面运动刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。

本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。

一、 刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。

平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。

因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。

二、 刚体的定轴转动刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。

（1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =ϕ（2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==ϕω（3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f ===ϕωα （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示速度： r v ⨯=ω （7－1）加速度：v r a a a ⨯+⨯=+=ωαn t （7－2）其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。

三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。

研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。

1、 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。

当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为：θω =， （7－3） θωα == （7－4） 2、 刚体平面运动的运动方程平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为：)(),(),(321t f t f y t f x A A ===ϕ （7－5）其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。

因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平图7－1刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。

本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。

一、 刚体的平移（平动）刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。

平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。

因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。

二、 刚体的定轴转动刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。

（1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =ϕ（2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==ϕω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f===ϕωα （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示速度： r v ⨯=ω （7－1）加速度：v r a a a ⨯+⨯=+=ωαn t （7－2）其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P点的矢径。

三、刚体的平面运动刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。

研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。

1、 刚体平面运动的角速度和角加速度在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。

当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为：θω =， （7－3） θωα == （7－4） 2、 刚体平面运动的运动方程平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为：)(),(),(321t f t f y t f x A A ===ϕ （7－5）其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。

因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平移和绕基点转动的合成，而刚体的平面平移（c ≡ϕ，其中c 为常量）和定轴转动（,,21c y c x A A ==其中21,c c 为常量）又是刚体平面运动的特殊情况。

同一平面运动刚体，若选取得不同的基点，则基点的运动方程会有所不同，图7－1图7－2刚体绕不同基点转过的角度只相差一个常量，因此刚体的角速度和角加速度与基点的选取无关，根据平面运动刚体角速度、角加速度的定义（7－3）式和（7－4）式也可得到这一结论。

3、 平面图形上各点的速度基点法公式：BA A B v v v += （7－6）基点法公式建立了平面图形上任意两点的速度与平面图形角速度的关系。

速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即：[][]AB AB B A v v = （7－7）该定理反映了刚体上任意两点间距离保持不变的性质。

速度瞬心法：只要平面图形的角速度不为零，就必定存在唯一的一点，其速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的速度瞬心，用v c 表示。

平面图形上任一点M 的速度可表示成Mv C M r v ⨯=ω （7－8）其中：M vC r 是从速度瞬心v c 引向M 点的矢径，ω为平面图形的角速度矢量。

4、平面图形上各点的加速度 基点法公式：nt BABA A B a a a a ++= （7－9）其中：)(,ntAB AB r a r a ⨯⨯=⨯=ωωαBA BA 。

基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。

只要平面图形的角速度和角加速度不同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用a C 表示。

3－3 取套筒B 为动点，OA 杆为动系根据点的复合运动速度合成定理r e a v v v +=可得：l v v ω==e 0a 30cos ，l v v v BCB ω332a ===研究AD 杆，应用速度投影定理有：030cos D A v v =，l v D ω334=再取套筒D 为动点，BC 杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理r D BC D v v v +=avevr vA vD vr D v将上式在x 轴上投影有：r D BC D v v v +-=-，l v v v BC D D ω332r -=+-=3－ 4 AB 构件（灰色物体）作平面运动，已知A 点的速度s A O v A /0cm 4510==ωAB 的速度瞬心位于C ，应用速度瞬心法有：rad/s 23==AC v A AB ωBC v AB B ω=，设OB 杆的角速度为ω，则有rad/s415==OB v B ω设P 点是AB 构件上与齿轮I 的接触点，该点的速度：CP v AB P ω=齿轮I 的角速度为：rad/s 61==r v PI ω3－6 AB 杆作平面运动，取A 为基点 根据基点法公式有：BA A B v v v +=将上式在AB 连线上投影，可得,01==B O B v ω因此，041ωω==AB v A AB因为B 点作圆周运动，此时速度为零，因此只有切向加速度（方向如图）。

根据加速度基点法公式n t BA BAA B aaa a ++=将上式在AB 连线上投影，可得n60cos BA A B aa a +=-，r a B 25.2ω-= 201231ωα-==B O a B B O （瞬时针）3－7 齿轮II 作平面运动，取A 为基点有A vB vP vCAB ωI ωB vBA vA vA aB at BAan BAatnt BABA A B a a a a ++=nt 1BABA a a a a ++=将上式在x 投影有：n1cos BAa a a -=-β由此求得：212n 2cos 2r a a r a BAII βω+==再将基点法公式在y 轴上投影有： 2t2sin r a a II BA αβ==，由此求得22sin r a II βα=再研究齿轮II 上的圆心，取A 为基点n t n t 2222A O A O A O O a a a a a ++=+将上式在y 轴上投影有2sin 2t t 22βαa r a a II AO O ===，由此解得：)(2sin 2121t221r r a r r a OO O +=+=βα再将基点法公式在x 轴上投影有：n 1n 22A O O a a a -=- 由此解得：2cos 1n 2a a a O -=β， 又因为221n212)(O OO r r a ω+=由此可得：)(2cos 21121r r a a O O +-±=βω3－9 卷筒作平面运动，C 为速度瞬心，其上D 点的速度为v ，卷筒的角速度为：r R v DC v -==ω角加速度为：r R a r R v -=-== ωα卷筒O 点的速度为：r R vRR v O -==ωO 点作直线运动，其加速度为：r R aRr R R v va O O -=-==研究卷筒，取O 为基点，求B 点的加速度。

n0t B BO O B a a a a ++=将其分别在x,y 轴上投影n t BO By BOO Bx aa aa a -=+=422222)(4)(v r R a r R Ra a a By Bx B +--=+=同理，取O 为基点，求C 点的加速度。

n0t C CO O C a a a a ++=将其分别在x,y 轴上投影n t 0COCy CO O Cx a a a a a ==-=22)(r R Rv a a CyC -==3－10 图示瞬时，AB 杆瞬时平移，因此有：m /s 2===OA v v A B ωAB 杆的角速度：0=AB ω圆盘作平面运动，速度瞬心在P 点，圆盘的 的角速度为：m/s 4==r v BB ω圆盘上C 点的速度为：m/s 22==PC v B C ωAB 杆上的A 、B 两点均作圆周运动，取A 为基点根据基点法公式有t n t BA A BB B aa a a a +=+=将上式在x 轴上投影可得：0t =-Ba 因此：22nm/s 8===r v a a BBB由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：r v B B =ω将其对时间求导有：r a r v B B B t== ω，Oan CO aOt COaCBt BOan BO aαB ωt BAatBaA an BaA vB vB ωPC vvaar aea K a由于0t=B a ，所以圆盘的角加速度0==B B ωα 。

圆盘作平面运动，取B 为基点，根据基点法公式有：n n t CBB CBCBB C a a aaa a +=++=22n2n m/s 28)()(=+=CB B C a a a3－13 滑块C 的速度及其加速度就是DC 杆的速度和加速度。

AB 杆作平面运动，其速度瞬心为P ， AB 杆的角速度为：rad/s 1==AP v AAB ω杆上C 点的速度为：m /s 2.0==PC v AB C ω取AB 杆为动系，套筒C 为动点，根据点的复合运动速度合成定理有： r e a v v v +=其中：C v v =e ，根据几何关系可求得：m/s 153r a ==v vAB 杆作平面运动，其A 点加速度为零，B 点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知nt n t BABA BA BA A B a a a a a a +=++=由该式可求得2nm/s 8.030sin ==BAB a a由于A 点的加速度为零，AB 杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB 杆中点的加速度为： 2m/s 4.05.0==B C a a再取AB 杆为动系，套筒C 为动点，根据复合运动加速度合成定理有：K r e a a a a a ++=其中：a K 表示科氏加速度；牵连加速度就是AB 杆上C 点的加速度，即：2e m/s 4.0=a将上述公式在垂直于AB 杆的轴上投影有：K 0e 0a 30cos 30cos a a a +=科氏加速度r K 2v a AB ω=，由上式可求得：2a m/s 32=aBCB an BC aevr vavB atBAan BAaCa3-14：取圆盘中心1O 为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为直线平移。