广义特征值问题： (K 2M )φ 0
X Rn
φ 有非零解的充要条件： K 2M 0
0
K 0
K为奇异矩阵是零固有频率存在的充要条件，满足此条件时系 统的刚度矩阵 K 是半正定的
0
Kφ 0
当半正定系统按刚体振型运动时，不发生弹性变形，因此不产 生弹性恢复力
2020年10月23日 3
《振动力学》
xN3
mv
3
sin
3t
xN4 0
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
xN1 m vt
xN2 0
xN3
mv
3
s
in
3t
xN4 0
X N [xN1
xN 2
xN 3
xN 4 ]T mv[t
0
1
3
sin
3t
0]T
物理空间响应：
t
1
3
sin3t
X ΦN X N
v
t
1
3
sin3t
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
设 φ(1)为与 1 0 对应的刚体位移模态 正交性条件 φ(i)T Mφ( j) 0 (i j) 要求：
φ(1)T Mφ(i) 0 (i 2 ~ n)
φ(i) (i 2 ~ n) ：除刚体位移之外的其它模态
设 xpi (i 2 ~ n) 为与 φ(i) (i 2 ~ n) 所对应的主坐标
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
假定系统中 1 0 相应的主坐标方程： mp1xp1 k p1xp1 0
xp1 0
x p1 at b 由初始条件决定 表明此主振动为随时间匀速增大的刚体位移 系统的刚体自由度可以利用模态的正交性条件消除
2020年10月23日 4
《振动力学》
2
t
1
3
sin3t
2020年10月23日
t
1
3
sin3t
10
《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
解：
方法二：利用约束条件
k
k
k
m
m
m
m
m 0 0 0 x1 1 1 0 0 x1
0
0
0
m 0 0
0 m 0
0
0
m
x2 xx43
k
1
0
0
2 1 0
5 《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
例：四自由度系统
k
k
k
m
m
m
m
初始条件：
X 0 [0 0 0 0]T
求系统响应
X 0 [v 0 0 v]T
2020年10月23日 6
《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
k
k
k
m
m
m
m
X 0 [0 0 0 0]T X 0 [v 0 0 v]T
2020年10月23日 8
《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
X N ΛX N 0 xNi i2 xNi 0 (i 1 ~ 4)
X N (0) ΦN1X 0 [0 0 0 0]T
X N (0) ΦN1X 0 m v[1 0 1 0]T
12 0
2 2
(2
2) k m
1 2 1
0
x2
0
1
1
x3 x4
奇异
x1 x2 x3 x4 0
1 1
1
1
Φ 1 1 2
1
1
2
1 (1 2) 1 (1 2)
1
1
1
1
x1 x2 x3 x4
代入方程，整理： m 0 0 x2 3 0 1 x2
0
m
0
x3
k
1
2
1
x3
0
0 0 mx4 0 1 1x4
解：方法一
动力方程 : 固有频率 :
m 0 0 0 x1 1 1 0 0 x1
0
0
0
m 0 0
0 m 0
0
0
m
x2 x3 x4
k
1
0
0
2 1 0
1 2 1
0
x2
0
1
1
x3 x4
奇异矩阵
MX KX 0
12 0
2 2
(2
2020年10月23日
《振动力学》
2) k m
2 3
2
k m
2 4
(2
2) k m
7
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
模态矩阵 ：
正则模态：
1 1
1
1
Φ 1 1 2
1
1
2
1 (1 2) 1 (1 2)
1
1
1
1
令：X ΦN X N
正则模态方程： X N ΛX N 0
ΦN
1 1 1 m 1 1
消去了一个 系统自由度
2020年10月23日 《振动力学》
非奇异
φ(1)T MX 011
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
m 0 0 x2 3 0 1 x2
0
m
0
x3
k
1
（2）多自由度系统的自由振动 刚度矩阵半正定，K 0 ，系统 为半正定系统，存在 f ( t ) = a t + b 的刚体模态
k1
k2
m1
m2
m3
k
I1
I2
2020年10月23日 零固有频率的情形 2 《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
n 自由度系统： MX KX 0
多自由度系统振动
多自由度系统振动
• 多自由度系统的动力学方程 • 多自由度系统的自由振动 • 频率方程的零根和重根情形 • 多自由度系统的受迫振动 • 有阻尼的多自由度系统
2020年10月23日 1
《振动力学》
多自由度系统振动 / 频率方程的零根和重根情形
• 频率方程的零根和重根情形
回顾： （1）两个例子 系统存在刚体运动，柔度矩阵 F 不存在，刚度矩阵奇异
2 3
2k m2 4源自(2 2) k m
（1）i 1 时 1 0 xN1 0
xN1 at b m vt
xN1(0) 0 xN1(0) m v a m v b 0
（2）i 1 时
xNi
xNi (0) cosit
xNi (0)
i
sin it,
i 2,3,4
xN2 0
2020年10月23日 《振动力学》
X N [xN1
1
1
2 2
1
2 2
1 2
1
1
2
2 2
2 2
(1
2)
1
(1
2)
2 2
2 2
1
1
1
2 2
2 2
xN 2 xN 3 xN 4 ]T
xNi i2 xNi 0 (i 1 ~ 4)
模态初始条件： X N (0) ΦN1X 0 [0 0 0 0]T X N (0) ΦN1X 0 m v[1 0 1 0]T
右乘 x pi ： φ(1)T Mφ(i) xpi 0 (i 2 ~ n)
n
令： X φ(i) xpi 系统消除刚体位移后的自由振动 i2
可得约束条件：
φ(1)T MX 0
利用此约束条件可消去系统的一个自由度，得到不含刚 体位202移0年的10月缩23减日 系统，缩减系统的刚度矩阵是非奇异的