第十章 曲线积分与曲面积分(第六部分)曲面积分习题解答一、对面积的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑++dS y x z )342(，其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分． 分析 因为∑：1432=++z y x ，可恒等变形为∑：y x z 3424--=，又因被积函数y x z 342++与∑形式相同，故可利用曲面方程来简化被积函数，即将4342=++y x z 代入，从而简化计算。

解 平面∑方程的为)321(4yx z --=（如图）， ∑在xoy 面上的投影区域xy D ：0,0,132≥≥≤+y x yx ；34,2-=∂∂-=∂∂y z x z ，面积元素 dxdy dxdy y z x z dS 361122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= 从而 ⎰⎰⎰⎰⋅=++∑xyD dxdy dS y x z 3614)342( 61432213614=⋅⋅⋅=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x |)|(，其中∑为1||||||=++z y x .解 由对称性可知，=⎰⎰∑xdS ，由轮换对称性和代入技巧知，⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑=++=dS dS z y x dS y 31|)||||(|31||，再由曲面积分的几何意义知，34238=⋅=⎰⎰∑dS ，所以，334|)|(=+⎰⎰∑dS y x.y二、对坐标的曲面积分1.计算曲面积分⎰⎰∑dydz x 2．其中∑为球面2222R z y x =++在第一卦限部分的上侧。

分析 由于∑不是封闭曲面，且只是对坐标z y ,的曲面积分，故直接计算即可。

解 因∑：222z y R x --=取前侧，且∑在yoz 面上的投影区域为0 ,0 , :222≥≥≤+z y R z y D yz .于是得 ⎰⎰∑dydz x 2dydz z y R yzD ⎰⎰--=)(222⎰⎰⋅-θ=πRrdr r R d 02220 )( 402228141212R r r R Rπ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=. 2. 计算曲面积分⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I ．其中∑是柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧。

分析 本题为计算对坐标的组合积分，但由于∑不是封闭曲面，且其中的三个曲面积分化为二重积分计算又比较容易（因为∑为柱面，在xoy 坐标面上的投影0=dxdy ），故直接计算即可。

解 因∑在xoy 坐标面上的投影0=dxdy ，所以0=⎰⎰∑zdxdy ；又∑在yoz 、zox 坐标面上的投影区域为：30 ,10 :≤≤≤≤z y D yz ； 30 ,10 :≤≤≤≤z x D zx .⎰⎰∑++=ydzdx xdydz zdxdy I⎰⎰⎰⎰∑∑+=ydzdx xdydz⎰⎰⎰⎰-+-=zxyzD D dzdx x dydz y 2211⎰⎰-=3 0 1 0212dz dx x 3412⋅π⋅=π=23.3. 计算曲面积分⎰⎰∑++-+=dxdy z y dzdx z y x dydz xz I )2()(2222．其中∑为上半球体222a y x ≤+，2220y x a z --≤≤的表面外侧。

分析由于 为封闭曲面，所以可采高斯公式计算。

解 本题中，2xz P =，22z y x Q -=，z y R 22+=．积分曲面∑为封闭曲面，设∑所围成的空间闭区域为Ω(如图)，则Ω：222a y x ≤+，2220y x a z --≤≤；或 Ω：a r ≤≤0，20π≤ϕ≤，π≤θ≤20.于是由Gauss 公式，得⎰⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂=dxdydz zR y Q x P I )(⎰⎰⎰Ω++=dxdydz y x z )(222⎰⎰⎰ϕ⋅ϕθ=ππadr r r d d 02220 2 0sin 552a π=. 注 若将本题中的积分曲面∑改为上半球面222y x a z --=的上侧，则由于∑不是封闭曲面，又不是平面块，采用下述方法计算较为简便，现计算如下：补平面块)( ,0 :222a y x z ≤+=∑'取下侧，则∑与∑'构成一封闭曲面，且取外侧（如图所示）。

在封闭曲面∑'+∑上应用Gauss 公式，得⎰⎰∑'+∑++-+dxdy z y dzdx z y xdydz xz )2()(2222⎰⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂=dv z Ry Q x P )(⎰⎰⎰Ω++=dv y x z)(222⎰⎰⎰ϕ⋅ϕθ=ππadr r r d d 0 2220 2 0sin 552a π=.又 ⎰⎰∑'++-+dxdy z y dzdx z y x dydz xz )2()(2222⎰⎰∑'+=dxdy z y )2(2222a dxdy xyD π-=-=⎰⎰.故 ⎰⎰⎰⎰∑'+∑∑'++-+-=dxdy z y dzdx z y x dydz xz I )2()( )(2222)2(5225a a π--π=)5(5232a a +π=.yy4. 计算曲面积分⎰⎰∑+++++=dxdy z z y x f dzdx y z y x f dydz x z y x f I ]),,([]),,(2[]),,([其中) , ,(z y x f 为连续函数，∑是平面1=+-z y x 在第四卦限部分的上侧。

分析 由于x z y x f P +=),,(，y z y x f Q +=),,(2，z z y x f R +=),,(，其中) , ,(z y x f 未知，而积分曲面∑为平面块，故可考虑利用两类曲面积分之间的关系，把给定的第二型曲面积分转化为第一型曲面积分计算。

解 ∑（如图所示）在xoy 面上的投影区域01 ,10 :≤≤-≤≤y x x D xy .∑的方向余弦为31cos =α，31cos -=β，31cos =γ，故 ⎰⎰∑++β++α+=z z y x f y z y x f x z y x f I ),,([cos ]),,(2[cos ]),,({[⎰⎰⎰⎰∑∑=+-=dS dS z y x 31)(31 21331===⎰⎰⎰⎰xyxyD D dxdy dxdy . 注 在本题中，若用定义直接计算，由于被积函数中含有未知函数) , ,(z y x f ，那么转化成三个二重积分后，下一步计算二重积分就很难进行了。

一般情况下，若被积函数中含有抽象函数，通常不采用直接计算的方法，而是采用将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分或Gauss 公式的方法来处理。

5． 设)(u f 具有连续导数，计算曲面积分dxdy z z y f y dzdx y z y f z dydz x I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰⎰∑33311其中∑为由22y x z +=和2=z 所围成区域的外侧。

分析 令3x P =，31y z y f z Q +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，31z z y f y R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，由于被积函数含有抽象函数⎪⎭⎫⎝⎛z y f ，如果直接计算很难求出。

考虑到∑为封闭曲面，而且y)(3222z y x zR y Q x P ++=∂∂+∂∂+∂∂， 因此可考虑应用高斯公式计算。

解 令 3x P =，31y z y f z Q +⎪⎭⎫ ⎝⎛=，31z z y f z R +⎪⎭⎫⎝⎛=，则 23x x P =∂∂，2231y z y f z y Q +⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∂∂，2231z z y f z z R +⎪⎭⎫ ⎝⎛'-=∂∂， 应用高斯公式，得⎰⎰⎰Ω∂∂+∂∂+∂∂=dxdydz z R y Q x P I )(⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x )(3222 在柱面坐标系下，Ω：2≤≤ρz ，20≤ρ≤，π≤θ≤20. 计算得⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x I )(3222⎰⎰⎰ρπ+ρρρθ=2222 0 2 0 )(3dz z d d⎰ρρ-ρ-+ρρπ=20 332)31382(6d ⎰ρρ-ρ+ρπ=2 0 43)486(2d20524)54423(2ρ-ρ+ρπ=π=5144.6.计算曲面积分⎰⎰∑++++=23222)(z y x zdxdyydzdx xdydz I ，其中∑为曲面911625122)()(-+-=-y x z )(0≥z 的上侧。

分析 由于23222)(z y x xP ++=，23222)(z y x yQ ++=，23222)(z y x zR ++=，有252222222)(z y x x z y x P ++-+=∂∂，252222222)(z y x y z x y Q ++-+=∂∂，252222222)(z y x z x y z R ++-+=∂∂，从而0=∂∂+∂∂+∂∂zR y Q x P ，故可考虑用高斯公式。

但是曲面不封闭，且三个偏导数在),,(000点不连续，所以，需要补面去掉奇点。

解 补有向曲面0, :22221>=++∑z r z y x ，r 足够小，使1∑完全包含于∑y内，取下侧，补有向曲面0z :2=∑，取位于小圆222 r y x =+与椭圆9)1(16)2(122-+-=y x 之间部分，取下侧，则21∑+∑+∑构成封闭曲面，且方向为外侧。

设由21∑+∑+∑所围成的空间闭区域为Ω. 应用高斯公式，得⎰⎰∑+∑+∑++++2123222)(z y x zdxdyydzdx xdydz 0=∂∂+∂∂+∂∂=⎰⎰⎰Ωdxdydz z R y Q x P )(． 为计算⎰⎰⎰⎰∑∑++=++++113232221)(zdxdyydzdx xdydz r z y x zdxdy ydzdx xdydz ，再补面2223,0:r y x z ≤+=∑，取上侧，用高斯公式⎰⎰⎰⎰⎰Ω'∑+∑-=++dxdydz zdxdy ydzdx xdydz 33132rπ-=．而03=++⎰⎰∑zdxdy ydzdx xdydz ，所以，323311r zdxdy ydzdx xdydz π-=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑+∑∑，π2)(123222-=++++⎰⎰∑z y x zdxdy ydzdx xdydz ．又 0)(223222=++++⎰⎰∑z y x zdxdyydzdx xdydz ， 因此，ππ2)2(0=--=I ．7． 求力k x j z i y F ++=沿有向闭曲线Γ所作的功，其中Γ为平面1=++z y x 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从z 轴正向看去，沿顺时针方向。

解 由已知 ⎰Γ++=xdz zdy ydx W .取∑为平面1=++z y x 的下侧被Γ所围成的部分，按斯托克斯公式，有 2333==-=++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑xyD dxdy dxdy dxdy dzdx dydz W .（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。