《信号与系统A（1）》课程自学报告实施报告题目：连续非周期信号频谱分析及Matlab实现学号：姓名：任课教师：联系方式：第一部分. 理论自学内容阐述（一） 系统物理可实现性、佩利-维纳准则通过之前的学习我们知道，理想低通滤波器在物理上是不可能实现的，但是我们却可以做出传输特性接近理想特性的网络。
如下图是一个低通滤波器，其中 R =√RC图1-1 一个低通滤波网络则其网络传递函数为：（式1-1）引入符号 ωc =1√LC，则（式1-1）改为：其中)(1t v CRL )(2t v --++()()()R L LC C RL C R V V H ωωωωωωωωj 11 j 11j j 11j j j 212+-=+++==()()()ωϕωωωωωωωωωωωj 222e j 3j 33j 11j H H c c cc c c =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=２＋２２２＝()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2c c 2c 22c 1arctan 11j ωωωωωϕωωωωωH 求出其冲激响应为：h (t )=2ωc √3e−ωc 2sin （√3ωct ）画出波形图及频谱图如下：图1-2 h(t)的波形图幅度特性 相位特性图1-3 幅度特性和相位特性可以看出这些曲线与理想低通滤波器有相似之处，但是同时也有不同之处。
这个电路的幅度特性不可能出现零值，冲激响应的起始时刻在t=0处。
那么究竟什么样的系统数学模型可以在物理上实现呢？就时间域特性而言，一个物理可实现网络的冲激响应h(t)在t<0时必须为0。
那么由于理想低通滤波器不是一个因果系统，所以它是不可能在物理上实现的。
从频域特性来看，|H(jw)|要满足平方可积条件。
佩利和维纳证明了对于幅度函数|H(jw)|物理可实现的必要条件是这就是佩利—维纳准则。
佩利—维纳准则只从幅度特性上提出要求，而在相位特性方面却没有给出约束，因此该准则只是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
其实只要我们找到一个满足该准则的|H(jw)|，就一定可以找到适当的相位函数φ（w ）与它一起构成一个物理可实现的系统函数。
几点说明：①佩利—维纳准则要求可实现的幅度特性其总的衰减不能过于迅速； ②对于物理可实现系统，可以允许H(jw)特性在某些不连续的频率点上为零，但不允许在一个有限频带内为零。
按此原理，理想低通，理想带通，理想带阻等理想滤波器都是不可实现的。
③佩利-维纳准则是系统物理可实现的必要条件，而不是充分条件。
（二） 调制与解调在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往需要进行调制和解调。
1.调制①定义：将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段上的过程。
②分类：按载波：正弦型信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波按连续性：模拟（连续）调制数字调制模拟调制是数字调制的基础。
∞<+⎰∞∞ωωωd 1)(j ln －2H③说明：我们可以利用傅里叶变换的某些性质说明搬移信号频谱的原理。
由公式载波信号（如cos(w0t)）与调制信号(g(t))乘积的傅立叶变换等于二者分别的傅里叶变换卷积除以2π，则可以得到信号的频谱被搬移到载频w0附近。
（a）图2-1 调制原理方框图及其频谱2．解调①定义：将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。
②说明：下图是实现解调的一种原理方框图，这里，cos(w0t)信号是接收端的本地载波信号，它与发送端的载波同频同相。
f(t)与cos(w0t)相乘的结果使频谱F（w）向左、右分别移动±w0（并乘以系数1/2）,得到G0（w）,然后再利用一个低通滤波器（带宽大于wm,小于2w0-wm）,滤去在频率为2w0附近的分量，即可取出g(t),完成解调。
（a）图2-2 同步解调原理方框图及其频谱第二部分. 案例陈述及实现方案（一）案例背景在当今，信号系统是一门针对信号分析和系统分析的学科。
信号又分为离散信号和连续信号。
根据对连续信号的分析导出了对线性系统的分析方法：时域分析、频域分析、复频域分析，进而导出了对离散信号的分析方法。
在系统分析的方法中，有运用到很多数学变换和计算：傅里叶变换、拉普拉斯变换，还有级数的运用等等。
频谱分析在数字信号的处理中用途十分广泛，比如如滤波、检测等方面都需要离散傅里叶运算。
信号的傅里叶变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应关系，可以借助离散傅里叶来分析信号。
如果连续信号数学解析式已知，非周期信号的频谱就可以根据傅里叶变换的定义进行解析计算。
而在实际应用中，大多数信号不存在数学解析式，这样它们的频谱就无法利用傅里叶分析公式直接计算，这时就需采用数值方法进行近似计算，从而达到分析频谱的目的。
而在进行数字计算时，我们需要对计算的连续变量进行离散化。
由于连续非周期信号 x(t)的频谱函数 X(jω) 是连续函数，因此，需要对其进行离散化处理，从而得到 x[n] ，此时才能近似地分析相应的频谱。
通过建立序列 x[n] 的离散傅里叶变换 X[m] 与连续非周期信号x(t) 的傅里叶变换X(jω) 之间的关系，可以利用离散傅里叶对连续非周期信号频谱进行近似分析。
（二）案例功能及指标在上述近似分析过程中一般将会出现三种现象：①频谱混叠：由傅里叶计算得出的频谱是信号 x(t) 的频谱 X(jω) 周期化的抽样值，如果抽样频率不满足抽样定理，在连续信号离散化时，就会出现信号频谱的混叠，这种现象被称为频谱混叠。
②频率泄漏：对连续非周期信号的采样序列 x[n] 进行离散傅里叶运算时，时间长度总是取有限值，在将信号截短的过程中，就会出现分散的扩展谱线的现象，被称为频率泄漏。
③栅栏现象：由离散傅里叶变换得到的频谱X[m] 只能是连续非周期信号频谱X(jω) 上的有限离散频点采样，由于 X[m] 是离散序列，因而无法反映抽样点之间的具体细节，这种现象称为栅栏现象。
这些现象与应用中信号和离散傅里叶变换的参数选择有关。
频率混叠与连续信号的时域抽样间隔有关，频率泄漏与信号的时域及窗型有关，栅栏现象与离散傅里叶变换的点数有关。
在大多数情况下，一般已知待分析连续信号的最高频率，以及离散傅里叶变换分析的频率分辨率的目标值。
下面根据信号的傅里叶变换的理论，讨论利用离散傅里叶变换进行谱分析的参数（抽样频率、持续时间、样点数等）选择的原则。
首先确定信号抽样频率 fs，fs应满足时域抽样定理，即 fs ≥2fm，其中 fm为待分析的连续信号的最高频率，抽样间隔T应满足：T=1fn⁄≤1（2fm)⁄（1）紧接着确定抽样信号的长度 N ，N 应满足频率分辨率Δf 的要求，即N≥cfn∆f⁄（2）矩形窗时取 c=1，Hamming窗时取 c=2 。
根据谱线间隔Δfd确定离散傅里叶变换的点数L ，即：L≥fs∆fd⁄（3）L 一般取满足式（3）的2的整数幂次。
下面所描述的两个案例将分别讨论近似过程中可能出现的问题及其解决方法。
[案例 1]已知一连续信号为x(t)=cos(2πf0t)+cos(2πf1t)，其中f0=100 Hz，f1=130 Hz。
现以频率fs=600 Hz对该信号进行抽样，试利用离散傅里叶变换分析其频谱。
分析思路及步骤：由于抽样频率fs大于信号x(t)的最高频率f1的2倍，故抽样过程没有造成混叠，抽样后的序列为x[n]=x(t)|t=nT cos(2πf0t)+cos(2πf1t)。
由于 x[n] 为无限长序列，可采用矩形窗对其进行加窗截短处理。
为了能够分辨这两个间隔为Δf=f1-f0=30 Hz的相邻谱峰，由式（2）可得矩形窗的长度N 应满足N ≥20。
现应用Matlab软件进行频谱分析。
分别取 N=10和 N= 20时，由离散傅里叶变换计算出的频谱做对比。
[案例 2]已知一连续信号为x(t)=cos(2πf0t)+0.15cos(2πf1t)，其中f0=50Hz，f1=100 Hz。
现以频率fs=400 Hz 对该信号进行抽样，试利用离散傅里叶变换分析其频谱。
分析思路及步骤：采样频率满足抽样定理，所以采样后的频谱不会产生混叠现象，但由于信号y(t) 中存在一个较弱的频率分量 f1，若采用矩形窗函数加窗，则由于其旁瓣泄漏较大，很难检测出信号 y(t) 幅度较小的频率分量 f1，因而采用Hamming窗函数，以此解决频率泄漏现象。
第三部分. 案例成果阐述及代码[案例 1]已知一连续信号为x(t)=cos(2πf0t)+cos(2πf1t)，其中f0=100 Hz，f1=130 Hz。
现以频率 fs=600 Hz对该信号进行抽样，试利用DFT分析其频谱。
实现代码如下：N1=10N2=20L=512f0=100f1=130fs=600T=1/fsws=2*pi*fst1=(0:N1-1)*Tt2=(0:N2-1)*Tx1=cos(2*pi*f0*t1)+cos(2*pi*f1*t1)x2=cos(2*pi*f0*t2)+cos(2*pi*f1*t2)X1=fftshift(fft(x1,L))X2=fftshift(fft(x2,L))w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi)subplot(2,1,1)plot(w,abs(X1));ylabel('幅度谱'):xlabel('频率/Hz') subplot(2,1,2)plot(w,abs(X2));ylabel('幅度谱');xlabel('频率/Hz')在matlab中执行该代码得到如下所示的图形：（可执行代码文件见附件 exp1）（a）信号样本点数N=10（b）信号样本点数N=20分析：由于 N =10不满足式（2），所以由上图（a）几乎分辨不出信号中两个频率分量。
而由上图（b）可见，当信号的长度满足式（2）时，可清晰地分辨出信号中的两个不同频率分量。
[案例 2]已知一连续信号为x(t)=cos(2πf0t)+0.15cos(2πf1t)，其中f0=50Hz，f1=100 Hz。
现以频率fs=400 Hz 对该信号进行抽样，试利用离散傅里叶变换分析其频谱。
实现代码如下：N1=30N2=50;L=512;f1=50,f2=100;fs=600;T=1/fs;ws=2*pi*fs;t1=(0:N1-1)*T;t2=(0:N2-1)*T;y1=cos(2*pi*f1*t1)+0.15*cos(2*pi*f2*t1);y2=cos(2*pi*f1*t2)+0.15*cos(2*pi*f2*t2);wh1=(hamming(N1))';y11=y1.*wh1;wh2=(hamming(N2))';y22=y2.*wh2;Y1=fftshift(fft(y1,L));Y2=fftshift(fft(y2,L));Y11=fftshift(fft(y11,L));Y22=fftshift(fft(y22,L));w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);subplot(2,2,1)plot(w,abs(Y1));ylabel('幅度谱');xlabel('频率/Hz');subplot(2,2,2)plot(w,abs(Y11));ylabel('幅度谱');xlabel('频率/Hz');subplot(2,2,3)plot(w,abs(Y2));ylabel('幅度谱');xlabel('频率/Hz');subplot(2,2,4)plot(w,abs(Y22));ylabel('幅度谱');xlabel('频率/Hz');在matlab中执行该代码，得到如下图形：（可执行代码文件见附件 exp2）（a）矩形窗N=30 （b）矩形窗N=50（c）Hamming 窗N=30 （d）Hamming 窗N=50分析：图（a）、图（c）与图（b）、图（d）相比，Hamming窗以增加主瓣宽度来降低旁瓣能量，检测出较弱的频率分量 f1。