·24· 设计与研究 机械 2009年第2期 总第36卷
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收稿日期：2008－10－09 作者简介：王红军（1981－），男，硕士研究生，主要研究方向为疲劳可靠性设计；徐人平（1949－），男，博士，博士生导师，主要研究方向为疲劳可靠性设计。
常用a -N 曲线拟合方法的比较
王红军，徐人平
（昆明理工大学 机电工程学院，云南 昆明 650093）
摘要：在疲劳裂纹扩展研究中，a -N 曲线拟合精度对裂纹扩展速率的研究具有决定性的影响。
本研究采用我国自行研制的高强度合金钢GC4钢材的疲劳试验数据，将试验数据导入MATLAB 软件中，通过编写程序或利用其拟合工具箱得出不同方法所得到的a -N 曲线，然后分析这些方法拟合的误差平方和，得出具有最小误差平方和且具有统一公式的方法（即为所求的最佳拟合曲线）。
这种方法不仅适用于求GC4钢材的a -N 曲线，而且可用于其它材料的a -N 曲线。
关键词：裂纹扩展；a -N 曲线；曲线拟合
中图分类号：TP391 文献标识码：A 文章编号：1006－0316 (2009) 02－0024－02
Comparison of common used a-N curve fitting method
WANG Hong-jun ，XU Ren-ping
（Kunming university of science and technology ，Kunming 650093，China ）
Abstract ：In the study of fatigue crack growth, a-N curve fitting accuracy has a decisive impact in the crack growth rate studies. In this study, we use our country self-developed high-strength alloy steel GC4 fatigue test data, we import the test data into MATLAB and can be get the curves of a-N through programming or using the fit toolbox of MATLAB, and then analyze the fitting square error of those methods. The method （which is seeking the best fitting curve ）which has the least square error and the unified formula can be got. This method not only applies to seek the a-N of GC4 steel, but also can be used for seeking the a-N curve of other materials.
Key words ：fatigue crack growth ；a -N curve ；curve fitting
工程构件的破坏形式主要有三种：磨损、腐蚀和断裂。
磨损和腐蚀进行得很缓慢，一般可通过定期检查、修理、更换来解决。
而断裂是突发性的，往往造成灾难性的设备事故或人身事故。
造成断裂的原因很多有，有过载低应力脆断、疲劳等。
据国外统计，机械零件的破坏50%~90%为疲劳破坏。
钢结构节点和材料的疲劳性能研究中，一般采用断裂力学方法，应用Paris 公式建立裂纹扩展速率d a /d N 和裂纹尖端应力强度因子∆K 之间的关系，即：
d ()d m a
C K N
=∆ 式中：C 和m 为材料的裂纹扩展参数，可用实验的方法获得。
由Paris 公式可见，在疲劳研究中裂纹扩展速率
是非常重要的指标。
为了得到裂纹扩展速率，生成裂纹长度对时间的数据必须处理成d a /d N ，不同的处理方法，常常导致裂纹扩展的分散性，从而影响作为应力强度因子∆K 函数的d a /d N 的统计分散性。
为了使裂纹扩展的分散性尽可能小，必须提高拟合a -N 曲线的精度。
目前拟合a -N 曲线的方法有很多种，如增量多项式局部拟合法，三参数幂函数拟合法，正交多项式拟合法等。
如何从这些方法中取得最佳拟合方法尤为重要，本文利用MATLAB 对几种常用的拟合方法进行检验，得到最佳拟合方法。
1 常用的a -N 曲线拟合方法
由图1可以看出a -N 数据点大致的分布情况，由数据点的分布规律从而找出较为合适的数学曲线进行拟合，根据其分布情况，比较常用的拟合方法
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有一下四种：
（1）多项式拟合法
2012...n a p p N p N pn N =+×+×++× 多项式次数越高，其拟合精度越高，但多项式次数超过某个值时，会出现龙格现象，因此本例采用三次多项式进行拟合。
图1 a -N 数据点的分布
（2）三参数幂函数法
0()N a a αβ=−
式中：a 0为裂纹扩展的初始值；α，β为待定常数。
（3）指数法
0()T a a c N N B e ⋅−=+⋅
式中：N c 为临界循环次数；a 0为裂纹扩展的初始值；B 、T 为待定常数。
（4）三次样条曲线法
3
3
11()()3!n
j
j j j j j S N b N c N N ===+−∑∑
满足条件：()i i S N a =。
衡量a -N 曲线拟合精度的高低，一般使用实际点和拟合曲线的误差的平方和，如果误差平方和越小，表示拟合精度越高。
误差平方和S ：^
1
()i
n
i i S a a ==−∑
式中：i a 为原始数据，^
i
a 为拟合曲线在i N 处的值。
2 应用实例
本文采用我国自行研制的无镍低合金超高强度GC4钢，试件号：435，C-T 取样，取样方式：L-T ，形状（B*W ）：20*80。
实验数据见表1所示。
本文在MATLAB 中，利用上述方法对a ，N 数据点进行拟合，其拟合后的图形如图2。
图中，点线为三次多项式拟合曲线，拟合多项式为：
1439243.43510 2.70810 2.2471026.82
a N N N −−−=××−××+××+ 点划线为三参数幂函数拟合曲线，其公式为：
9 1.9355.2141029.11a N −=××+ 实线为指数函数拟合法，其公式为：
6
5
5.23810
38.20510
27.31 4.75210N
N
a e e −−××−××=×+××
虚线为样条函数拟合的a -N 曲线。
上述拟合方法的误差平方和见表2
表1 GC4（棒材）裂纹扩展的实验数据
图2 a -N 数据拟合曲线 表2 拟合方法的误差平方和
3 结论
由表2可以看出，样条函数进行拟合的精度最佳，但样条函数表达式比较复杂，并且需要设置边界条件，而指数函数虽然拟合精度不如样条函数高，但其有确定的表达式，而且拟合比较方便，所以此组数据利用指数函数进行拟合为最佳拟合方法。
参考文献：
[1]李舜酩，编著. 机械疲劳与可靠性设计[M]. 北京：科学出版社，2006.
[2]陈杰，编著. matlab 宝典[M]. 北京：电子工业出版社，2008. [3]高镇同，主编. 疲劳应用统计学[M]. 北京：国防工业出版社，1986. [4]傅惠民，高镇同. a-N （a-t ）曲线三参数幂函数拟合法[J]. 航空学报，1989，（12）.
[5]王沫然，编著. Matlab 与科学计算（第二版）[M] .北京：电子出版社，2003.
寿命N ×10（次）73 149 217 277 340 395 445 裂纹长度a (min)28.35 29.35 30.35 31.30 32.30 33.30 34.30寿命N ×10（次）496 545 585 627 665 689 733 裂纹长度a (min)35.30 36.30 37.25 38.25 39.25 40.20 41.25寿命N ×10（次）763 788 813 837 856 869 880 裂纹长度a (min)
42.20 43.20 44.20 45.25 46.25 47.20 48.10
拟合方法 三次 多项式 幂 函数 指数
函数 样条函
数
误差平方和（SSE ）
0.9666 3.9109 0.2761
0.0357
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9×104
N （次数）
50
45 40 35 30
25
a /m m 1 2 3 4 5 6 7×104
N （次数）
5045403530
a /m m a VS N
三次多项式 三参数幂函数指数函数 三次样条函数。