2017-2018学年吉林省长春外国语学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（2017•泰州）2的算术平方根是（）A．±√2B．√2C．−√2D．2 2．（2015•衡阳）下列计算正确的是（）A．a+a＝2a B．b3•b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．（a5）2＝a7 3．（2015•贵港）下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4＝（a+2）2D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）4．（2017秋•南关区校级期末）数学老师给出如下数据1，2，2，3，2，关于这组数据的正确说法是（）A．众数是2B．极差是3C．中位数是1D．平均数是4 5．（2017秋•南关区校级期末）如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则∠CAD度数为（）A．85°B．65°C．40°D．30°6．（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10B．8C．10D．6或12 7．（2013•长春模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长为（）A．6B．7C．8D．108．（2017春•定安县期末）在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形二、填空题（每小题3分，共18分）9．（2017秋•南关区校级期末）﹣21a2b3c÷3ab＝．10．（2015秋•端州区期末）若5x﹣3y﹣2＝0，则105x÷103y＝．11．（2017秋•南关区校级期末）在平行四边形ABCD中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C ＝．12．（2018•惠州一模）已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为．13．（2006•浙江）甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水．从甲、乙罐装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：S甲2＝4.8，S乙2＝3.6．那么罐装的矿泉水质量比较稳定．14．（2012•铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值．三、解答题（共78分）15．（6分）（2017秋•南关区校级期末）计算：3−(π−3)0（1）√25−√8（2）（5x+1）（﹣2x+3）16．（6分）（2017秋•南关区校级期末）将下列各式因式分解：（1）2a2﹣6a（2）9（a+b）2﹣6（a+b）+1．17．（6分）（2017秋•南关区校级期末）先化简，后求值：已知：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a），其中a=−1 2．18．（7分）（2018春•乐亭县期末）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB＝a，DE＝b（a＞b）．（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．19．（7分）（2019•徐州一模）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是人，并将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有人达标；（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？20．（7分）（2017秋•南关区校级期末）定义概念：如图，在直角三角形ABC中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=角α的对边斜边=BCAB，根据上述角的正弦的概念，解答下列问题：在Rt△ABC中，（1）当AC＝12，AB＝13时，求sinα的值；（2）当α＝30°，AB＝20时，则BC＝．21．（8分）（2017秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．22．（9分）（2016•来宾）如图，在正方形ABCD中，点E（与点B、C不重合）是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．（1）求证：△ABE≌△EGF；（2）若AB＝2，S△ABE＝2S△ECF，求BE．23．（10分）（2017秋•南关区校级期末）如图，分别以△ABC的两边AB和AC为边向外作正方形ANMB和正方形ACDE，NC、BE交于点P．探究：试判断BE和CN的位置关系和数量关系，并说明理由．应用：Q是线段BC的中点，若BC＝6，则PQ＝．24．（12分）（2017秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC ＝5，AB＝4√2，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿射线CD以每秒1个单位长度的速度运动．设运动的时间为t秒．（1）BC＝．（2）MC＝．（用t表示）（3）求t为何值时，四边形AMCD为平行四边形．（4）直接写出t为何值时，△AND为直角三角形．2017-2018学年吉林省长春外国语学校八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（2017•泰州）2的算术平方根是（）A．±√2B．√2C．−√2D．2【解答】解：2的算术平方根是√2，故选：B．2．（2015•衡阳）下列计算正确的是（）A．a+a＝2a B．b3•b3＝2b3C．a3÷a＝a3D．（a5）2＝a7【解答】解：A、a+a＝2a，故本选项正确；B、b3•b3＝b3+3＝b6，故本选项错误；C、a3÷a＝a3﹣1＝a2，故本选项错误；D、（a5）2＝a5×2＝a10，故本选项错误．故选：A．3．（2015•贵港）下列因式分解错误的是（）A．2a﹣2b＝2（a﹣b）B．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）C．a2+4a﹣4＝（a+2）2D．﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2）【解答】解：A、2a﹣2b＝2（a﹣b），正确；B、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），正确；C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；D、﹣x2﹣x+2＝﹣（x﹣1）（x+2），正确；故选：C．4．（2017秋•南关区校级期末）数学老师给出如下数据1，2，2，3，2，关于这组数据的正确说法是（）A．众数是2B．极差是3C．中位数是1D．平均数是4【解答】解：A、众数是2，故A选项正确；B、极差是3﹣1＝2，故B选项错误；C、将数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，中位数是2，故C选项错误；D、平均数是（1+2+2+2+2）÷5=95，故D选项错误；，故选：A．5．（2017秋•南关区校级期末）如图，△ABC≌△CDA，∠BAC＝85°，∠B＝65°，则∠CAD度数为（）A．85°B．65°C．40°D．30°【解答】解：∵∠BAC＝85°，∠B＝65°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B，＝180°﹣85°﹣65°，＝180°﹣150°，＝30°．故选：D．6．（2015•荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10B．8C．10D．6或12【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10，综上所述，它的周长是10．故选：C．7．（2013•长春模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，AC的垂直平分线交AD于E，则△CDE的周长为（）A．6B．7C．8D．10【解答】解：∵AC的垂直平分线交AD于E，∴AE＝EC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝3，AD＝BC＝4，∴EC+DE＝4，∴△CDE的周长为3+4＝7，故选：B．8．（2017春•定安县期末）在△ABC中，点E、D、F分别在AB、BC、AC上且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD⊥BC，那么四边形AEDF是菱形D．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形【解答】解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；又有∠BAC＝90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；如果AD平分∠BAC，那么∠EAD＝∠F AD，又有DF∥BA，可得∠EAD＝∠ADF，∴∠F AD＝∠ADF，∴AF＝FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，故D 正确；故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（2017秋•南关区校级期末）﹣21a2b3c÷3ab＝﹣7ab2c．【解答】解：﹣21a2b3c÷3ab＝﹣7ab2c．故答案为﹣7ab2c．10．（2015秋•端州区期末）若5x﹣3y﹣2＝0，则105x÷103y＝100．【解答】解：∵5x﹣3y﹣2＝0，∴5x﹣3y＝2，∴105x÷103y＝105x﹣3y＝102＝100．11．（2017秋•南关区校级期末）在平行四边形ABCD中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝120°．【解答】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B＝180°，又有∠A﹣∠B＝60°，把这两个式子相加相减即可求出∠A＝∠C＝120°，故答案为：120°．12．（2018•惠州一模）已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为24．【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别是6和8，∴这个菱形的面积为6×8÷2＝24故答案为2413．（2006•浙江）甲、乙两台机器分别罐装每瓶质量为500克的矿泉水．从甲、乙罐装的矿泉水中分别随机抽取了30瓶，测算得它们实际质量的方差是：S甲2＝4.8，S乙2＝3.6．那么乙罐装的矿泉水质量比较稳定．【解答】解：因为4.8＞3.6，所以S甲2＞S乙2，所以乙罐装的矿泉水质量比较稳定．故填乙．14．（2012•铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值√2．【解答】解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCD ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD ， ∵AO ⊥OB ， ∴∠AOB ＝90°，∴∠COA +∠AOD ＝90°，∠AOD +∠DOB ＝90°， ∴∠COA ＝∠DOB ， ∵在△COA 和△DOB 中 {∠OCA =∠ODB OC =OD ∠AOC =∠DOB， ∴△COA ≌△DOB （ASA ）， ∴OA ＝OB ， ∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形，由勾股定理得：AB =√OA 2+OB 2=√2OA ， 要使AB 最小，只要OA 取最小值即可， 根据垂线段最短，OA ⊥CD 时，OA 最小， ∵正方形CDEF ， ∴FC ⊥CD ，OD ＝OF ， ∴CA ＝DA ， ∴OA =12CF ＝1，即AB=√2，故答案为：√2．三、解答题（共78分）15．（6分）（2017秋•南关区校级期末）计算：（1）√25−√83−(π−3)0（2）（5x+1）（﹣2x+3）【解答】解：（1）原式＝5﹣2﹣1＝2；（2）（5x+1）（﹣2x+3）＝﹣10x2+15x﹣2x+3＝﹣10x2+13x+3．16．（6分）（2017秋•南关区校级期末）将下列各式因式分解：（1）2a2﹣6a（2）9（a+b）2﹣6（a+b）+1．【解答】解：（1）原式＝2a（a﹣3）；（2）原式＝[3（a+b）﹣1]2＝（3a+3b﹣1）2．17．（6分）（2017秋•南关区校级期末）先化简，后求值：已知：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a），其中a=−1 2．【解答】解：a（a﹣4）+（1﹣a）（1+a）＝a2﹣4a+1﹣a2＝﹣4a+1，当a=−12时，原式＝﹣4a+1＝3．18．（7分）（2018春•乐亭县期末）如图，四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形，设AB＝a，DE＝b（a＞b）．（1）写出AG的长度（用含字母a，b的代数式表示）；（2）观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能获得一个因式分解公式，请将这个公式写出来；（3）如果正方形ABCD的边长比正方形DEFG的边长多16cm，它们的面积相差960cm2，试利用（2）中的公式，求a，b的值．【解答】解：（1）AG＝a﹣b；（2）能．a2﹣b2或a•（a﹣b）+b•（a﹣b）；a2﹣b2＝a•（a﹣b）+b•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（3）由题意，得a﹣b＝16①，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝960，∴a+b＝60②，由①、②方程组解得a＝38，b＝22．故a的长为38cm，b的长为22cm19．（7分）（2019•徐州一模）我校对全校学生进传统文化礼仪知识测试，为了了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，现将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：（1）本次随机抽取的人数是120人，并将以上两幅统计图补充完整；（2）若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则我校被抽取的学生中有96人达标；（3）若我校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？【解答】解：（1）根据题意得：24÷20%＝120（人），则“优秀”人数为120﹣（24+36）＝60（人），“一般”占的百分比为36120×100%＝30%，补全统计图，如图所示：（2）根据题意得：36+60＝96（人），则达标的人数为96人；（3）根据题意得：96120×1200＝960（人），则全校达标的学生有960人．故答案为：（1）120；（2）96人．20．（7分）（2017秋•南关区校级期末）定义概念：如图，在直角三角形ABC中，锐角α的对边与斜边的比叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα=角α的对边斜边=BCAB，根据上述角的正弦的概念，解答下列问题：在Rt△ABC中，（1）当AC＝12，AB＝13时，求sinα的值；（2）当α＝30°，AB＝20时，则BC＝10．【解答】解：（1）∵AC＝12，AB＝13，∠BCA＝90°，∴BC＝5，∴sinα=BCAB=513；（2）∵AB＝20，∠BCA＝90°，α＝30°，∴BC＝10；故答案为：10．21．（8分）（2017秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．【解答】证明：∵AB ∥CD 且AB ＝CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∠ABD ＝∠BDC ，∵∠BAC ＝∠BDC ，∴∠ABD ＝∠BAC ，∴OA ＝OB ，∴AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形．22．（9分）（2016•来宾）如图，在正方形ABCD 中，点E （与点B 、C 不重合）是BC 边上一点，将线段EA 绕点E 顺时针旋转90°到EF ，过点F 作BC 的垂线交BC 的延长线于点G ，连接CF ．（1）求证：△ABE ≌△EGF ；（2）若AB ＝2，S △ABE ＝2S △ECF ，求BE ．【解答】（1）证明：∵EF ⊥AE ，∴∠AEB +∠GEF ＝90°，又∵∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠GEF ＝∠BAE ，又∵FG ⊥BC ，∴∠ABE ＝∠EGF ＝90°，在△ABE 与△EGF 中，{∠ABE =∠EGF ∠BAE =∠GEF AE =EF，∴△ABE ≌△EGF （AAS ）；（2）解：∵△ABE ≌△EGF ，AB ＝2，∴AB ＝EG ＝2，S △ABE ＝S △EGF ，∵S △ABE ＝2S △ECF ，∴S EGF ＝2S △ECF ，∴EC ＝CG ＝1，∵四边形ABCD 是正方形，∵BC ＝AB ＝2，∴BE ＝2﹣1＝1． 23．（10分）（2017秋•南关区校级期末）如图，分别以△ABC 的两边AB 和AC 为边向外作正方形ANMB 和正方形ACDE ，NC 、BE 交于点P ．探究：试判断BE 和CN 的位置关系和数量关系，并说明理由．应用：Q 是线段BC 的中点，若BC ＝6，则PQ ＝ 3 ．【解答】解：CN ＝BE ，BE ⊥NC ，理由如下：∵四边形ANMB 和四边形ACDE 都是正方形，∴AN ＝AB ，AC ＝AE ，∠NAB ＝∠CAE ＝90°，∴∠NAB +∠BAC ＝∠CAE +∠BAC ，∴∠NAC ＝∠BAE ．在△ANC 和△ABE 中，{AN =AB ∠NAC =∠BAE AC =AE，∴△ANC≌△ABE（SAS），∴CN＝BE，设CN交AB于H，交BE于P，∵△ANC≌△ABE，∴∠ABE＝∠ANC，∵∠PHB＝∠AHN，∴∠HPB＝∠HAP＝90°，∴BE⊥NC．∵四边形NABM是正方形，∴∠NAB＝90°，∴∠ANC+∠AHN＝90°，∵∠BHP＝∠AHN，∠ANC＝∠ABE，∴∠ABP+∠BHP＝90°，∴∠BPC＝∠ABP+∠BHP＝90°，∵Q为BC中点，BC＝6，∴PQ=12BC＝3，故答案为：324．（12分）（2017秋•南关区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，DC ＝5，AB＝4√2，∠B＝45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿射线CD以每秒1个单位长度的速度运动．设运动的时间为t秒．（1）BC＝10．（2）MC＝10﹣2t．（用t表示）（3）求t为何值时，四边形AMCD为平行四边形．（4）直接写出t为何值时，△AND为直角三角形．【解答】解：（1）如图1，作AE⊥BC于点E、DF⊥BC于点F，则∠AEF＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF，∵AD∥BC，∴四边形AEFD为矩形，则AD＝EF＝3，∵AB＝4√2、∠B＝45°，∴AE＝BE＝DF＝4，则FC=√CD2−DF2=√52−42=3，∴BC＝BE+EF+FC＝4+3+3＝10，故答案为：10；（2）∵BM＝2t，BC＝10，∴MC＝10﹣2t，故答案为：10﹣2t；（3）∵AD∥BC，∴当AD＝MC，即3＝10﹣2t时，四边形ADCM为平行四边形，解得t=7 2，即当t=72时，四边形ADCM为平行四边形；（4）如图2，当∠AND＝90°时，∵S△ACD=12AD•DF=12CD•AN，即12×3×4=12×5×AN，∴AN=12 5，由CN＝CD+DN可得t＝5+95=345；如图3，当∠NAD＝90°时，∵∠AEF＝90°，AD∥BC，∴∠EAD＝90°，∴∠NAD+∠EAD＝180°，∴点N、A、E三点共线，∵AD∥BC，∴△NAD∽△NEC，∴AD EC =ND NC ，即36=ND ND+5， 解得：DN ＝5， ∴NC ＝10，∴t ＝10．综上t =345或t ＝10时，△AND 为直角三角形．。