定积分中的几何直观方法与不等式的证明摘要：一些高指数的不等式，如果借助算术—几何均值不等式或者通过分解因式再进行放缩的话，一般都要分01p <<与1p >进行讨论证明，往往证明起来很麻烦，若借助数学分析中的定积分来进行证明的话，会大大简化其证明工序，也很简单，灵活的选取合适的初等函数进行定积分，再求和会得到意想不到的效果。

关键词：高指数；不等式；算术—几何均值；定积分；数列1 引言文[1]中给出了一个不等式： 112(11)21ni n n i=+-<<-∑（1n >） （1） 田寅生对（1）进行了指数推广，其结果是 命题1【2】 设p R ∈且0p >，1p ≠，1n >，则有1111111[(1)1]1111npp p k n n p kp p --=+-<<-+---∑ （2）文[2]的证明方法是借助于算术—几何均值不等式，分01p <<与1p >进行讨论证明，读者不难看出，不仅过程繁琐，而且对其证明思路难以把握。

文[3] 中利用微分中值定理给出了它的另一种证法。

文[4]借助定积分的方法，给出了一种很自然的证明【4】：命题1的证明【4】 当0p >，1k ≥时，对于1k x k <<+，有(1)p p p k x k <<+，即111(1)p p pk x k<<+，两边取积分，得111111(1)k k k p ppkkkd x d x d x k x k +++<<+⎰⎰⎰， （3） 即得11111[(1)](1)1p pp pk k k p k--<+-<+- （4） 对（3）两边分别求和，即得1111111[(1)1]1111npp p k n n p k p p --=+-<<-+---∑ （5）命题1得证。

该证明方法简单自然，几何意义直观。

不等式（3）的几何意义是：如图1，以1p y x=为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根据定积分的几何意义，即知上面不等式中三部分分别代表了它们的面积。

（图1）在文[5]中，又把（1）式推广为：命题2【５】 已知{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，则11111221()()nn i n i a a a a a d d a +=-<<-+∑ （6）其证明方法与文[1]本质上是一样的。

本文将借鉴[4]中方法，即利用定积分的几何直观方法，把有关结果作进一步的推广。

２ 主要结果下面借鉴文[4]中定积分的的方法，把命题2推广为定理1 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则1111111111111()()(1)(1)np p p pn n p pi ia a a a d p a d p a ----+=-<<-+--∑ （7） 为证明定理1，先证明下面的引理引理1 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则1111111()(1)p pk k p pk ka a a d p a --++<-<- （8） 证明 因为数列{}n a 是等差数列，且10,0a d >>，所以该数列是一个单调递增的正数列，又因为0>p ，不妨令1+<<k k a x a ，则有p k p p k a x a 1+<<即pk p p k a x a 1111<<+ （9） 对（9）两端在1[,]k k a a +上取积分，有 1111111k k k kk k a a a p p p a a a k kdx dx dx a x a ++++<<⎰⎰⎰ （10）即1111111()1p pk k p pk kd a a d a p a --++<-<- （11） 由（11），即得1111111()(1)p pk kp pk k a a a d p a --++<-<- 定理1的证明 由引理1可得111111()(1)p pk k pk a a a d p --++<-- （12）对（12）式的两边同时求和，得1111111111()(1)n n p pk k pk k k a a a d p ----+==+<--∑∑ 即111111111()(1)np pn ppk ka a aa d p --+=-<--∑ 故有111111111()(1)np pn p pk k a a a d p a --+=<-+-∑ 同理，由11111()(1)p pk kpk a a d p a --+-<- （13） 对式（13）的两边同时求和，可得到1111111()(1)n p pn p i ia a d p a --+=-<-∑故定理1得证。

引理1的证明中几何意义十分明显，参见下面的图2。

（图2）如果注意到函数1()pf x x =（0p >）是下凸函数，利用关于下凸函数图像的下列两条几何性质：性质1 任意两点间的弧段总在这两点连线的上方； 性质2 曲线总在它的任一切线的上方。

那么可以对引理1中的不等式（8）进一步精细化，得到定理2 设{}n a 为等差数列且10a >，公差0d >，0p >，1p ≠，1n >，则1111111111111()()2(1)2p p pk k k p p p pk k k k d a a a a p d p a a a ---+++++<-<--- （14） 证明 因为1()p f x x=（0p >）是下凸函数，由上述两条性质，得 11111()()()'()()()()()k k k k k k k k kf a f a f a f a x a f x f a x a a a +++++-+-<<+--即得111111111111()()p pp k k k k k p p p k k k k a a a x a x a a p x a a a -+++++---<<+-- （15）对（15）两端在1[,]k k a a +上积分，得（14）成立。

定理2证明的几何意义，可参考下面图3。

（图3）推论1 当0p >，1k ≥时，有111111111(1)[(1)][](1)(1)2(1)p p p p p p pk k k k p k k k ---++<+-<--+-+ 该结果显然比（4）式更为精细。

３ 应用例子例1【１】 试求1111231000,000x =++++的整数部分[]x ． 解 由（1）式，得1999210000012<<-x于是可以判断19981999x <<，故[]1998x =。

例2【１】 试求[50]x 的值，式中11110,00010,0011,000,000x =+++． 解 由命题1，可得18001800.02x <<所以[50]9000x =。

例3 设3331111232010x =++++ ，求不超过x 的最大整数[]x ． 解 对本问题，如果运用命题1或命题2将无法计算，我们运用定理1便会迎刃而解，201011pk x k ==∑（31=p ），令数列}{n a 的通项公式为n a n=，31=p ，2010=n ， 由定理1，可得11113311(20111)201011111133x --⎛⎫-<<-+ ⎪⎝⎭-- 即4.2384.237<<x所以[]238=x 。

例4 设3333222211112729312003s =++++，求s 的近似值（绝对误差不超过0.06）．解 记数列{}n a 是以271=a 为首项，公差2=d 的等差数列，那99411pk ks a ==∑，这里23p =，由定理1，得 22221111333323111(200527)(200327)222(1)2(1)2733s -----<<-+--即14.512s 14.454<<由绝对误差不超过0.06，而14.512-14.454=0.058<0.06，故s 可以取14.454到14.512任何一个数即可，不妨取s=14.49。

4 其它应用在文[6]中，作者给出了二次根式的一个不等式： 命题3【６】 设0,,0≥>y x p ,则y x p p y p x p +++≥+++ （16）当且仅当x=0或y=0时，（1）的等号成立。

原证比较简短，但我们更关心的是不等式（16）是如何得到的，换言之，这类不等式具有什么样的几何意义？考虑函数tx f 21)(=与yt t g +=21)(，x p t p +≤≤，则由()()t f t g ≤，得()()⎰⎰++≤xp pxp pdt t f dt t g即p x p y p y x p -+≤+-++ （17）由于不等式（16）与（17）等价，而不等式（17）具有鲜明的几何意义，它的左右两端分别代表两个曲边梯形的面积 （如图4）（图4）事实上，许多重要不等式都具有类似的几何意义，如不等式 x x xx<+<+)1ln(1 （0x >） （18） 就可以利用()⎰⎰⎰≤+≤+xxx dt dt t dt t 000211111（19） 来认识其几何意义。

由此可知，通过对一些简单的不等式积分，可能获得另一个不是十分明显的不等式。

下面例子选自《高等数学附册·学习辅导与习题选解》一书，我们将用利用定积分的几何直观方法进行新的证明，并改进其结果。

命题4【7】 设0p >，证明10111p pdx p x<<++⎰ （20） 文献[7]关于不等式（20）的证明思路是：1011111p p x dx p p =-=-++⎰111000(1)1111ppp p p dx x x dx dx x x x =-=-+++⎰⎰⎰而1p p p x x x≤+，故有11001p pp x dx x dx x <+⎰⎰，因此 1100111pppx x dx dx x -<-+⎰⎰由此可知（20）式左侧的不等式成立，至于（20）式右侧的不等式，那是显然的。

另证 因为1()1f x x=+（[0,1]x ∈）是下凸函数，函数()f x 在(0,1)点的切线方程为1y x =-，根据下凸函数的几何性质，有1111x x-<<+ （21） 当[0,1]x ∈，0p >时，有[0,1]p x ∈，将（21）中的x 换成p x ，得 1111p px x -<<+ （22） 再对（22）两端在[0,1]上积分，立得结论成立。