2）当刚好能连续传动时
εα= [z1(tanαa1-tanα′)+z2 (tanαa2 - tanα′)] /(2π)
= [19(tan31.77°-tanα′) +42 (tan26.23°-tanα′)] /(2π) =1 解得：α′=23.229° a′= a cosα/ cosα′= m ( z1+z2) cosα/(2cosα′) =5×( 19+42) cos20°/ (2cos23.229°) =155.945(mm) r1′= r1 cosα/ cosα′= m z1cosα/(2cosα′) =5×19cos20°/ (2cos23.229°) =48.573(mm) r2′= a′- r1′= 155.945 - 48.573 = 107.372(mm)
3）计算几何尺寸 分度圆分离系数：y = (a′-a) / m = 1 齿顶高变动系数：ζ= x1 + x2 - y =0.249 齿 顶 高： ha1 = ha2 = ( ha* + x - ζ ) m= 13.755(mm) 齿 根 高： hf1 = hf2 = ( ha* + c* - x) m = 6.255(mm) 分 度 圆 直 径： d1 = d2 = m z1 = 120 (mm) 齿 顶 圆 直 径： da1= da2= d1 +2ha1= 147.51 (mm) 齿 根 圆 直 径： df1= df2= d1 - 2hf1= 107.49 (mm) 基 圆 直 径： db1 = db2 = d1 cosα= 112.763(mm) 分 度 圆 齿 厚： s1= s2 = (π/2 + 2 x tanα) m = 20.254 (mm)
解：1）
作O1N1⊥啮合线，量得α= 20°；
量得r1 =72 ， r2 =108，pb =23.5 ， ha =8， hf =10
由pb= πm cosα得m =7.96，
取标准值m =8； 由r1 = m z1/2，得z1 =18； 由r2 = m z2/2，得z2 =27； 由ha= ha*m，得ha* = 1； 由hf = (ha*+ c*) m ，得c* =0.25。 2）如图 3）如图 4）量得B1B2 = 38， pb =23.5 εα = B1B2 / pb =1.62
由df ≥db ，有：
z′≥2(ha*+2 c*) / (1 - cosα) =41.45（不能圆整） ∴ 当齿根圆与基圆重合时，z′=41.45； 当 z ≥ 42时，齿根圆大于基圆。
10-5 已知一对渐开线标准外啮合圆柱齿轮传动，其模数 m=10mm， 压力角α=20°，中心距a=350mm，传动比i12 =9/5，试计算这 对齿轮传动的几何尺寸。 解：1）确定两轮的齿数 a = m ( z1+z2 ) /2 = 10 ( z1+z2 ) /2 =350 i12= z2 / z1 = 9/5 联立解得： z1 = 25 z2 = 45
4）检验重合度及齿顶厚 αa1 = αa2 = arccos(db1/da1 ) = arccos(112.763/ 147. 51) = 40.13° εα= [z1(tanαa1-tanα′)+z2 (tanαa2 - tanα′)] /(2π) = 1.0297 ≥1 sa1 = sa2 = s(ra1/r1)-2ra1(invαa1-invα)= 6.059 ≥ 0.25m =2.5 故可用。
10-9 已知一对外啮合变位齿轮传动，z1 = z2 = 12， m=10mm， α= 20° ，m=5mm，ha* = 1 ， a′= 130mm，试设计这对齿轮传动， 并验算重合度及齿顶厚（ sa 应大于0.25m，取x1 = x2 ）。 解：1）确定传动类型
a = m ( z1+z2 ) /2 = 10 ( 12+12 ) /2 =120 < a′= 130mm
故此传动应为 正 传动。 2）确定两轮变位系数 α′ = arccos(a cosα/ a′) = arccos(120 cos20°/ 130) = 29.83° x1 + x2 = (z1+z2) (invα′-invα) / (2tanα) = (12+12) (inv29.83° -inv20°) / (2tan20°) =1.249 取x = x1 = x2 = 0.6245，xmin = ha* (zmin- z) / zmin =1×(17 -12)/17=0.294 x≥ xmin
10-11 设已知一对斜齿轮传动，z1 =20， z2 = 40， mn = 8mm， αn= 20°，han* = 1 ，cn* = 0.25， B = 30mm，并初取β=15°，试 求该传动的中心距a（a值应圆整为个位数为0或5，并相应重 算螺旋角β）、几何尺寸、当量齿数和重合度。
解：1）计算中心距
10-6 已知一对标准外啮合直齿圆柱齿轮传动，α=20°，m=5mm， z1 = 19，z2 = 42，试求该传动的实际啮合线B1B2的长度及重合 度εα。如果将中心距a加大直到刚好能连续传动（εα=19 ），试 求此种情况下传动的啮合角α′、中心距a′、两轮节圆半径r1′及 r2′、顶隙c′及周向侧隙cn′。 解：1）求B1B2及εα db1 = m z1 cosα= 5×19 cos20°=89.27 db2 = m z2 cosα= 5×42 cos20°=197.34 da1= m(z1+2ha*) = 5×(19+2×1) = 105 da2= m(z2+2ha*) = 5×(42+2×1) = 220 αa1 =arccos(db1/da1 ) = arccos(89.27/ 105) =31.77° αa2 =arccos(db2/da2 ) = arccos(197.34/ 220) =26.23° εα= [z1(tanαa1-tanα′)+z2 (tanαa2 - tanα′)] /(2π) α′= α = [19(tan31.77°-tan20°) +42 (tan26.23°-tan20°)] /(2π) =1.63 B1B2 =εα pb = εα πm cosα= 1.63×π×5× cos20°=24.06
c′ = a′- a + c = 155.945 – 152.5 + 0.25 × 5 = 4.695(mm)
cn′= p ′-(s1′+ s2′) = 2a′(invα′-invα) = 2 × 155.945 (inv23.229°-inv20°)
= 2.767(mm)
10-7 图示为以μl = 1mm/mm绘制 的一对渐开线标准齿轮传动，设 轮1为原动件，轮2为从动件，两 轮的转向如图所示，现要求：
法、端面齿距：pn =πmn =25.14(mm)
3）计算重合度
pt =πmn / cosβ =26.19(mm)当
量 齿 数： zv1 = z1 / cos 3β=22.61 zv2 = z2 / cos 3β=45.21 αt =arctan(tanαn / cosβ) = arctan(tan20°/ cos16.26°) =20.764° αat1 = arccos(db1/da1 ) = arccos(155.84/182.67 ) =31.447° αat2 = arccos(db2/da2 ) = arccos(311.69/349.33 ) =26.843° εα= [z1(tanαat1-tanαt )+z2 (tanαat2 – tanαt )] /(2π) =[20(tan31.447°-tan20.764°)+40(tan26.843°–tan20.764°)]/(2π) =1.59 εβ=B sinβ/πmn = 30 sin16.26°/8π=0.332
3）求当s a =0时的ra′
令sa=s(ra′/r)-2ra′ ×(invαa′-invα)= 0 ∴ invαa′= s/2r + invα =0.09344 ∴ αa′= 35.48° ra′= rb / cosαa′ =75.175/ cos 35.48° =92.32(mm)
10-3 试问渐开线标准齿轮的齿根圆与基圆重合时，其齿数z′应为多 少？又当齿数大于以上求得的齿数时，基圆与齿根圆哪个大？ 解： db = d cosα= m z′cosα df = d -2 hf=(z′-2ha*-2 c*)m
da2= 349.33(mm) df2= 313.33(mm) db2= 311.69(mm)
齿顶、根高：ha= han*mn = 8 (mm) 法、端面齿厚：sn=πmn/2=12.57(mm)
hf = (han*+ cn*) mn = 10(mm) st=πmn/(2cosβ) =13.09(mm)
2）计算两轮的几何尺寸
分度圆直径：d1 = m z1 = 250 齿顶圆直径：da1= m(z1+2ha*) = 270 基 圆直径：db1= m z1 cosα=234.92 齿 全 齿 齿顶、根高：ha= ha*m = 10 距：p =πm =10π=31.416 d2 = m z2 = 450 da2= m(z2+2ha*) = 470 db2= m z2 cosα=422.86 hf = (ha*+ c*) m = 12.5
10-2 设有一渐开线标准齿轮 z=20，m=8mm，α=20°，ha* =1，试 求：1)其齿廓曲线在分度圆及齿顶圆上的曲率半径ρ、ρa 及齿顶圆压 力角αa ；2)齿顶圆齿厚 s a 及基圆齿厚 s b ；3）若齿顶变尖( s a =0)时， 齿顶圆半径 ra′又应为多少？并完成图示各尺寸的标注。 解：1）求ρ、αa 、ρa d = m z =8×20=160(mm) da= d +2 ha=(z+2ha*)m=(20+2×1)×8= 176(mm) db= d cosα= 160cos20°= 160×0.9397= 150.35(mm) ρ= rb tanα= 75.175 tan20°= 75.175×0.3640= 27.36(mm) αa =arccos( rb/ra )= arccos( 75.175/88 ) = arccos0.8543=31.32° ρa = rb tanαa =75.175tan31.32°= 75.175×0.6085=45.74(mm) 2）求s a 及s b sa=s(ra/r)-2ra(invαa-invα)= 8π/2×88/80-176×(inv31.32°-inv20°) = 5.55(mm) inv31.32°= tan31.32°-31.32°×π/180=0.6085–0.5466=0.0619 inv20°= tan20°-20°×π/180=0.3640 –0.3491=0.0149 sb=s(rb/r)-2rb(0-invα)= cosα(s+mz invα) =14.05(mm)