C． (5, )
D．[5 ， )
【分析】由对数式的真数大于 0 求得函数的定义域，令 t x2 4x 5 ，由外层函数 y lgt 是
其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数 f (x) lg(x2 4x 5) 在 (a, )
上单调递增，需内层函数 t x2 4x 5 在 (a, ) 上单调递增且恒大于 0，转化为 (a ，) (5 ， ) ，即可得到 a 的范围． 【解答】解：由 x2 4x 5 0 ，得 x 1 或 x 5 ． 令 t x2 4x 5 ， 外层函数 y lgt 是其定义域内的增函数， 要使函数 f (x) lg(x2 4x 5) 在 (a, ) 上单调递增，
C．66
D．69
二．填空题（共 6 小题）
16．函数 f (x) 1 lnx 的定义域是 ． x 1
17．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企
业要限期整改．设企业的污水排放量 W
与时间 t
的关系为 W
f
(t )
，用
f
(b) b
f a
(a)
的大小
评价在 [a ， b] 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水
C．
D．
【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．
【解答】解：函数
y
4x 的定义域为实数集 x2 1
R
，关于原点对称，
函数
y
f (x)
4x ，则 x2 1
f
(x)
x
4
2
x
1
f
(x) ，则函数
y
f (x) 为奇函数，故排除 C
，
D，
当 x 0 是， y f (x) 0 ，故排除 B ，
垃圾投放点 2 建在何处才能比建在中点时更加便利？
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2020 年高考数学分类汇编：专题 2 函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共 15 小题）
1．已知函数 f (x) lg(x2 4x 5) 在 (a, ) 上单调递增，则 a 的取值范围是 ( )
A． (2, )
B．[2 ， )
故选： A ．
【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．
3．设பைடு நூலகம்数
f
(x)
x3
1 x3
，则
f
(x)(
)
A．是奇函数，且在 (0, ) 单调递增
B．是奇函数，且在 (0, ) 单调递减
C．是偶函数，且在 (0, ) 单调递增
D．是偶函数，且在 (0, ) 单调递减
【分析】先检验 f (x) 与 f (x) 的关系即可判断奇偶性，然后结合幂函数的性质可判断单调
故选： A ． 【点评】本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于基础试题． 5．函数 y x cos x sin x 在区间 [ ， ] 上的图象可能是 ( )
A．
B．
C．
D．
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．
【解答】解： y f (x) x cos x sin x ， 则 f (x) x cos x sin x f (x) ， f (x) 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 C ， D ，
范围为 ． 21．设 a R ，若存在定义域为 R 的函数 f (x) 同时满足下列两个条件：
（1）对任意的 x0 R ， f (x0 ) 的值为 x0 或 x02 ； （2）关于 x 的方程 f (x) a 无实数解， 则 a 的取值范围是 ． 三．解答题（共 3 小题） 22．已知非空集合 A R ，函数 y f (x) 的定义域为 D ，若对任意 t A 且 x D ，不等式 f (x)f (x t) 恒成立，则称函数 f (x) 具有 A 性质． （1）当 A {1} ，判断 f (x) x 、 g(x) 2x 是否具有 A 性质； （2）当 A (0,1) ， f (x) x 1 ， x [a ， ) ，若 f (x) 具有 A 性质，求 a 的取值范围；
在 R 上单调递增，且 f (x) f ( y) ，结合函数的单调性可得 x ， y 的大小关系，结合选项即
可判断． 方法二：根据条件取 x 1 ， y 0 ，即可排除错误选项． 【解答】解：方法一：由 2x 2y 3x 3y ，可得 2x 3x 2y 3y ， 令 f (x) 2x 3x ，则 f (x) 在 R 上单调递增，且 f (x) f ( y) ，
所以 x y ，即 y x 0 ，由于 y x 1 1， 故 ln( y x 1) ln1 0 ．
方法二：取 x 1 ， y 0 ，满足 2x 2y 3x 3y ，
此时 ln( y x 1) ln2 0 ， ln | x y | ln1 0 ，可排除 BCD ．
x 辆密度．
v
f
(x)
100
135(
1) 3
80 x
,
0
x
40
．
k(x 40) 85, 40x80
（1）若交通流量 v 95 ，求道路密度 x 的取值范围； （2）已知道路密度 x 80 ，交通流量 v 50 ，求车辆密度 q 的最大值．
24．有一条长为 120 米的步行道 OA ， A 是垃圾投放点 1 ，若以 O 为原点， OA 为 x 轴正半
性．
【解答】解：因为
f
(x)
x3
1 x3
，
则
f
(x)
x3
1 x3
f
(x) ，即
f
(x) 为奇函数，
根据幂函数的性质可知，y
x3 在 (0, ) 为增函数，故
y1
1 x3
在 (0, ) 为减函数，y2
1 x3
在 (0, ) 为增函数，
所以当
x
0 时，
f
(x)
x3
1 x3
单调递增，
故选： A ．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题．
)
D． [1 ， 0][1 ， 3]
7．设函数 f (x) ln | 2x 1| ln | 2x 1| ，则 f (x)( )
A．是偶函数，且在 (1 ， ) 单调递增 2
B．是奇函数，且在 ( 1 ， 1 ) 单调递减 22
C．是偶函数，且在 (, 1) 单调递增 2
D．是奇函数，且在 (, 1) 单调递减 2
数增长率 r 与 R0 ，T 近似满足 R0 1 rT ．有学者基于已有数据估计出 R0 3.28 ，T 6 ．据
此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 ( )(ln2 0.69)
A．1.2 天
B．1.8 天
C．2.5 天
D．3.5 天
15． Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立
3．设函数
f
(x)
x3
1 x3
，则
f
(x)(
)
A．是奇函数，且在 (0, ) 单调递增
B．是奇函数，且在 (0, ) 单调递减
C．是偶函数，且在 (0, ) 单调递增
D．是偶函数，且在 (0, ) 单调递减
4．若 2x 2y 3x 3y ，则 (
)
A． ln( y x 1) 0 B． ln( y x 1) 0 C． ln | x y | 0 5．函数 y x cos x sin x 在区间 [ ， ] 上的图象可能是 ( )
排放量与时间的关系如图所示．
第 3页（共 23页）
给出下列四个结论：
①在 [t1 ， t2 ] 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 t2 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 t3 时刻，甲，乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 [0 ， t1] ， [t1 ， t2 ] ， [t2 ， t3 ] 这三段时间中，在 [0 ， t1] 的污水治理能力最强．
D． c a b
12．若 2a log2 a 4b 2log4 b ，则 (
)
A． a 2b
B． a 2b
C． a b2
D． a b2
13．已知函数
f
(x)
x3, x 0, x, x 0
若函数
g(x)
f
(x) | kx2
2x | (k R)
恰有
4
个零点，则 k
的
取值范围是 ( )
x （3）当 A {2 ， m} ， m Z ，若 D 为整数集且具有 A 性质的函数均为常值函数，求所有 符合条件的 m 的值．
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23．在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间， 车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为 v q ， x 为道路密度， q 为车
A． ( ， 1) (2 2 ， ) 2
C． ( ， 0) (0 ， 2 2)
B． ( ， 1) (0 ， 2 2) 2
D． ( ， 0) (2 2 ， )
14．基本再生数 R0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染 者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段， 可以用指数模型： I (t) ert 描述累计感染病例数 I (t) 随时间 t （单位：天）的变化规律，指
B． a b c
C． 1 8
) C． b c a
D． 1 6
D． c a b
11．已知 55 84 ，134 85 ．设 a log5 3 ， b log8 5 ， c log13 8 ，则 (