第十七章勾股定理17．1 勾股定理第1课时勾股定理（19-20页）参考答案1．勾股定理a2＋b2＝c22．图形的总面积可以表示为c2＋2×12ab＝c2＋ab，也可以表示为a2＋b2＋2×12ab＝a2＋b2＋ab，∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab，即a2＋b2＝c2.3．C 4.C 5.C 6.C 7.68．(1)∵a2＋b2＝c2，∴a＝c2－b2.∴a＝ 5.(2)设a＝3x，c＝5x，∵a2＋b2＝c2，∴(3x)2＋322＝(5x)2.解得x＝8.∴a＝24，c＝40. 9．(1)∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.(2)∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形．∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°.∴AD＝CD.根据勾股定理，得AD＝ 2.10．D 11.B 12.C 13.13或119 14.3 15.(2)2 01716．在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝14－x.由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2.∴152－x2＝132－(14－x)2.解得x＝9.∴AD＝12.∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.17．“有趣中线”有三种情况：①若“有趣中线”为斜边AB上的中线，直角三角形的斜边的中线等于斜边长的一半，不合题意；②若“有趣中线”为BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立；③若“有趣中线”为另一直角边AC上的中线BD，如图所示，BC＝3，设BD＝2x，则CD＝x.在Rt△CBD中，根据勾股定理，得BD2＝BC2＋CD2，即(2x)2＝(3)2＋x2，解得x ＝1.则△ABC的“有趣中线”的长等于2.第2课时勾股定理的应用（21-22页）参考答案1．D 2.11 5 3.104．在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝CB2－BD2＝252－152＝20(米)．∴CE＝CD＋DE＝20＋1.6＝21.6(米)．答：风筝的高度CE为21.6米．5．C6．略．7．A 8.D 9.A 10.B 11.B 12.C 13.2 14.(4，0) 15.7≤h≤1616．在Rt△APO中，∠APO＝60°，则∠PAO＝30°.∴AP＝2OP＝200 m，AO＝AP2－OP2＝2002－1002＝1003(m)．在Rt△BOP中，∠BPO＝45°，则BO＝OP＝100 m．∴AB＝AO－BO＝1003－100≈73(m)．∴从A到B小车行驶的速度为73÷3≈24.3(m/s)＝87.48 km/h>80 km/h.∴此车超过每小时80千米的限制速度．17．(1)在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16.∴BC＝4 cm.(2)由题意，知BP＝t cm，①当∠APB为直角时，如图1，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，如图2，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2.在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，即52＋[32＋(t－4)2]＝t2.解得t＝254.故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝254.小专题(二) 巧用勾股定理解决折叠与展开问题（23-24页）参考答案1．∵点C′是AB边的中点，AB＝6，∴BC′＝3.由图形折叠的性质，知C′F＝CF＝BC－BF＝9－BF.在Rt△C′BF中，BF2＋BC′2＝C′F2，∴BF2＋9＝(9－BF)2.解得BF＝4.2．∵四边形ABCD是长方形，AD＝8，∴BC＝8.∵△AEF是由△AEB翻折而成，∴BE＝EF＝3，AB ＝AF，△CEF是直角三角形．∴CE＝BC－BE＝8－3＝5.在Rt△CEF中，CF＝CE2－EF2＝52－32＝4.设AB＝x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即(x＋4)2＝x2＋82.解得x＝6.∴AB＝6.3．依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，在Rt△ABE中，AE＝OA＝5，AB＝4.∴BE＝3，从而CE＝2.∴E点坐标为(2，4)．在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.又∵DE＝OD，∴(4－OD)2＋22＝OD2.解得OD＝52.∴D点坐标为(0，52)．4．(1)证明：由折叠的性质，得∠DEF＝∠BEF.∵AB∥DC，∴∠BEF＝∠DFE.∴∠DEF＝∠DFE.∴DE＝DF，即△DEF是等腰三角形．(2)由折叠的性质，得ED＝EB.设BE＝x，则DE＝x，AE＝AB－x＝9－x.在Rt△ADE中，AD＝3，AD2＋AE2＝DE2.∴32＋(9－x)2＝x2.解得x＝5.∴BE＝5.5．AM2＋BN2＝MN2.证明：过点B作BP∥AC交MH延长线于点P，连接NP，∴∠A＝∠PBH，∠PBN＋∠C ＝180°，即∠PBN ＝90°.∵H 是AB 的中点，∴AH ＝BH.在△AMH 和△BPH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠PBH ，AH ＝BH ，∠AHM ＝∠BHP ，∴△AMH ≌△BPH(ASA)．∴AM ＝BP ，MH ＝PH.又∵NH ⊥MP ，∴MN ＝NP.又∵在Rt △BNP 中，BP 2＋BN 2＝NP 2.∴AM 2＋BN 2＝MN 2. 6．C 7.2.608．(1)∵长方体的高为5 cm ，底面长为4 cm ，宽为1 cm ，∴A 2C 2＝42＋12＝17(cm)．∴A 1C 2＝52＋（17）2＝42(cm)．(2)如图1所示，A 2C 1＝52＋52＝52(cm)．如图2所示，A 2C 1＝92＋12＝82(cm)．如图3所示，A 2C 1＝62＋42＝213(cm)．∵52＜213＜82，∴一只蚂蚁从点A 2爬到C 1，爬行的最短路程是52cm.9．(1)如图，由题意可，得CD ＝9 cm ，AD ＝12－4－4＝4(cm)，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝97(cm)．答：蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离为97cm. (2)如图，将杯子侧面展开，作A 关于EQ 的对称点A ′，连接A ′C ，则A ′C 即为最短距离，则A ′D ＝12×18＝9(cm)，CQ ＝12－4＝8(cm)，CD ＝4＋8＝12(cm)．在Rt △A ′DC 中，由勾股定理，得A ′C ＝A ′D 2＋CD 2＝92＋122＝15(cm)．答：蚂蚁吃到蜂蜜所爬行的最短距离为15 cm.17.2 勾股定理的逆定理（25-26页）参考答案1．C2．(1)如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．是假命题． (2)有两个内角相等的三角形是等腰三角形．是真命题． 3．C 4.A 5.B 6.C 7.B 8．(1)是，∠B 是直角． (2)不是．(3)是，∠C 是直角． (4)是，∠A 是直角．9．(1)证明：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，根据勾股定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2，AC 2＝AD 2＋CD 2，又∵AD ＝12，BD ＝16，CD ＝5，∴AB ＝20，AC ＝13.∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AC ＋BD ＋DC ＝20＋13＋16＋5＝54.(2)∵AB ＝20，AC ＝13，BC ＝21，AB 2＋AC 2≠BC 2，∴△ABC 不是直角三角形．10．D 11.C 12.B 13.C 14.5或1315．在△ABC 中，∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，根据勾股定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2＝42＋32＝52.∴AC ＝5 cm.在△ACD 中，∵CD ＝12，AD ＝13，AC ＝5，即有AC 2＋CD 2＝52＋122＝25＋144＝169，AD 2＝132＝169，即AC 2＋CD 2＝AD 2.∴△ACD 是直角三角形，且AD 为斜边，即∠ACD ＝90°.16．(1)连接AC.∵AB ＝BC ＝1，∠B ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2.又∵CD ＝3，DA ＝1，∴AC 2＋DA 2＝CD 2.∴△ADC 为直角三角形，∠DAC ＝90°.∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝135°.(2)∵S △ABC ＝12AB ·BC ＝12，S △ADC ＝12AD ·AC ＝22，∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝1＋22.17．∵c ＋a ＝2b ，c －a ＝12b ，∴(c ＋a)(c －a)＝2b ·12b.∴c 2－a 2＝b 2，即a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形．章末复习(二) 勾股定理参考答案1．D 2.D3.2 4.D 5.D 6.5 正北7.7 8.和等于0的两个数互为相反数9.互补的两个角是同旁内角假10.B 11.D 12.C 13.B 14.直角三角形15.8 16.1017．在Rt△ABC中，已知AB＝2.5 m，BC＝0.7 m，则AC＝ 2.52－0.72＝2.4(m)．∵AC＝AA1＋CA1，∴CA1＝2 m．∵在Rt△A1B1C中，AB＝A1B1，且A1B1为斜边，∴CB1＝A1B21－A1C2＝ 2.52－22＝1.5(m)．∴BB1＝CB1－CB＝1.5－0.7＝0.8(m)．答：梯子底部B将外移0.8 m.18．∵BD＝CD＝2，∴BC＝22＋22＝2 2.∴设AB＝x，则AC＝2x.∴x2＋(22)2＝(2x)2.∴x2＋8＝4x2.∴x2＝83.∴x＝263.∴AC＝2AB＝436.19．在Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－30°＝60°.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°.∴∠ACD＝30°.在Rt△ACD中，AC＝a，∴AD＝12a.由勾股定理，得CD＝a2－（12a）2＝3a2.同理，得FC＝3a4，CH＝33a8.在Rt△HCI中，∠I＝30°，∴HI＝2HC＝33a4.由勾股定理，得CI＝（33a4）2－（33a8）2＝9a8.∴CI的长为9a8.单元测试(二) 勾股定理参考答案1．C 2.B 3.C 4.C 5.C 6.D 7.D 8.B 9.如果3a＝3b，那么a＝b 10.5 2 11.9012.3213.18 14.1015．(1)在△BCD中，∵CD⊥AB，∴BD2＋CD2＝BC2.∴CD2＝BC2－BD2＝152－92＝144.∴CD＝12.(2)在△ACD中，∵CD⊥AB，∴CD2＋AD2＝AC2.∴AD2＝AC2－CD2＝202－122＝256.∴AD＝16.∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25.(3)∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，∴AB2＝BC2＋AC2.∴△ABC是直角三角形．16．在Rt△ABC中，AB＝4 m，设BC＝x m，则AC＝(8－x)m.由勾股定理，得BC2＝AC2＋AB2，即x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5.如果下次旗杆从D处刮断，设着地点为E，则DE＝BC＋CD＝5＋1.25＝6.25(m)，AD＝AC－CD＝3－1.25＝1.75(m)．在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE2＝DE2－AD2＝6.252－1.752＝36，∴AE＝6 m．∴杆脚周围6 m范围内有被砸伤的危险．17．∵四边形ABCD是长方形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝90°.由折叠可知，∠D＝∠D′，CD＝CD′.∴∠B＝∠D′，AB＝CD′.又∠AEB＝∠CED′，∴△ABE≌△CD′E.∴AE＝CE.设BE＝x，则AE＝CE＝4－x.∴32＋x2＝(4－x)2.解得x＝78.∴BE＝78.18．(1) 6 2 PA2＋PB2＝PQ2① 6 2(提示：过C作CH⊥AB于H，则CH＝AH＝HB＝1＋32＝2＋62，∴PH＝AH－AP＝2＋62－2＝6－22，PC＝PH2＋CH2＝（6－22）2＋（6＋22）2＝2)②PA2＋PB2＝PQ2(理由：PA2＝2，PB2＝6，PQ2＝2PC2＝8，∴PA2＋PB2＝PQ2)．(2)过点C作CD⊥AB，垂足为点D.∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，∴CD＝AD＝DB.∵PA2＝(AD＋PD)2＝(DC＋PD)2＝DC2＋2DC·PD＋PD2，PB2＝(PD－BD)2＝(PD－DC)2＝DC2－2DC·PD＋PD2，∴PA2＋PB2＝2DC2＋2PD2.∵在Rt△PCD中，由勾股定理，得PC2＝DC2＋PD2，∴PA2＋PB2＝2PC2.∵△CPQ为等腰直角三角形，∴2PC2＝PQ2.∴PA2＋PB2＝PQ2.。