高二上学期期中考试数学试卷时量：120分钟 总分：150分一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1.为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ ） A.501003 B. 120 C. 150 D. 110032.在ABC ∆中，“ABC ∆是直角三角形”是“0AB AC =”的 （ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花 费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经 检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于 加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量,下列判断正确的是 ( ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号1,2,,⋅⋅⋅ 960，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，落入区间[451,750]的做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为 （ ）A. 7B. 9C. 10D. 155. 下列命题错误的是 ( )A ．对于命题 p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝为x R ∀∈，均有210x x ++≥ B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C ．若p q ∨是假命题，则q p ,均为假命题D ．命题“若2320x x -+=则1x =”是正确的6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(3,0)F ，离心率等于32，则C 的方程为 （ ）A. 2214x -=B. 22145x y -=C. 22125x y -=D. 2212x =7. 已知平面α的一个法向量是(2,2,1)n =--，点(1,3,0)A -在α内，则(2,1,4)P -到α 的距离是 （ ） A 、103B 、8C 、3D 、10 8. 如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中, M 为11A C 与11B D 的交点.若1,,AB AD AA ===a b c ,则下列向量中与BM 相等的向量是 ( )A. 1122-++a b cB. 1122++a b c C ．1122--+a b c D. 1122-+a b c9. 已知点(2,0)A ,抛物线2:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||FM MN 等于 ( )A. 251:2 C. 51:310. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A B 、 两点，若AB 的中点坐标为11-（，），则E 的方程为 （ ）A. 2214536x y +=B. 2213627x y +=C. 2212718x y +=D. 221189x y +=11. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是 （ ） A.45 B. 35 C. 25 D. 1512. 过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P ，作两条直线分别交抛物线于),(11y x A ),(22y x B ．当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，21y y y +的值为 （ ） A.21- B.2- C.2 D.无法确定二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.) 13. 如图是从参加数学知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩 的众数是 .14. 在长为5cm 的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1的概率为 .15.如图所示,二面角l αβ--为60︒, A B ,是棱l 上的点,AC BD ,分别在半平面αβ,内, AC l BD l ⊥⊥,， 且 2AB AC a BD a ===,,则CD 的长为 .16. 已知线段AB 为双曲线2222:1x y C a b-=的实轴,点D 在双曲线上,且34DBA π∠=,若4,AB =42BD =则双曲线C 的离心率是 .三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知命题:,p x R ∃∈使得220x x m -+<,命题:q 方程22112x ym m+=+-表示双曲线.(Ⅰ)写出命题p 的否定形式;(Ⅱ)若命题p 为假,命题q 为真,求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，,,D E F 分别为 棱11,,AB BC AC 的中点. (1)证明//EF 平面1A CD ；(2)求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.频率组距FEC 1B 1A CB19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为,,x y z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级.若4S ≤，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点，离心率为12，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -.(1) 求椭圆的方程；(2)若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足||||AB CD =，求直线l 的方程.21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形,//AB CD ,对角线AC 与BD 交于点O ,3,1,OA OD CD == SO ⊥底面ABCD .(Ⅰ)求证:SA BD ⊥;(Ⅱ)若四棱锥S ABCD -的体积8V =,求二面角A SB C --的平面角的正弦值.OSDCBA22.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线1//l l ，且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E ， （i ）证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ii ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.数学试卷答案时量：120分钟 总分：150分 命题人：一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1. 为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩，计划采用系统抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则每个学生被抽到的概率为 （ A ） A. 501003 B. 120 C. 150 D. 110032.在ABC ∆中， “ABC ∆是直角三角形”是“0AB AC =”的 （ B ） A ．充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件3.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,收集数据如右.经检验,这组样本数据具有线性相关关系,那么对于加工零件的个数x 与加工时间y 这两个变量,下列判断正确的是 ( B ) A. 成正相关,其回归直线经过点(30,75) B. 成正相关,其回归直线经过点(30,76) C. 成负相关,其回归直线经过点(30,76) D. 成负相关,其回归直线经过点(30,75)4. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,,⋅⋅⋅960，抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的 人做问卷A ，落入区间[451,750]的做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷B 的人数为 （ C ）A. 7B. 9C. 10D. 155. 下列命题错误的是 ( D )A ．对于命题 p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝为x R ∀∈，均有210x x ++≥ B ．“2>x ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C ．若p q ∨是假命题，则q p ,均为假命题D ．命题“若2320x x -+=则1x =”是正确的6.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(3,0)F ，离心率等于32，则C 的方程（ B ）A. 2214x -=B. 22145x y -=C. 22125x y -=D. 2212x =7. 已知平面α的一个法向量是(2,2,1)n =--，点(1,3,0)A -在α内，则(2,1,4)P -到α的距离是 （ A ） A 、103C 、3 B 、8 A 、10 8. 如图所示,在平行六面体1111ABCD A B C D -中, M 为11A C 与11B D 的交点.若1,,AB AD AA ===a b c ,则下列向量中与BM 相等的向量是 ( A )A. 1122-++a b cB. 1122++a b c C ．1122--+a b c D. 1122-+a b c9. 已知点(2,0)A ,抛物线2:4C x y =的焦点为F ,射线FA 与抛物线C 相交于点M ,与其准线相交于点N ,则||:||FM MN 等于 ( C )A. 2:51:2 C. 51:310. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交E 于A B 、两点，若AB 的中点坐标为11-（，），则E 的方程为 （ D ）A. 2214536x y +=B. 2213627x y +=C. 2212718x y +=D. 221189x y +=11. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从0~9中任选一个.某人在银行自助提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是 （ C ） A. 45 B. 35 C. 25 D. 1512. 过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P ，作两条直线分别交抛物 线于),(11y x A ),(22y x B ．当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则21y y y +的值为（ B ）A.21-B.2-C.2D.无法确定 二．填空题( 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 将答案填入答卷指定位置.)13. 如图是从参加低碳生活知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方图，则这些同学成绩的众数是75 .14.在长为5cm 的绳子上剪一刀，两段长度都不小于1的概率为 0.6 .15.如图所示,二面角l αβ--为60︒, A B ,是棱l 上的点, AC BD ,分别在半平面αβ,内, AC l BD l ⊥⊥,， 且2AB AC a BD a ===,,则CD 的长为 2a .16. 已知线段AB 为双曲线2222:1x y C a b-=的实轴,点D 在双曲线上,且34DBA π∠=,若4,AB =42BD =则双曲线C 的离心率是 62.三．解答题（本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）已知命题:,p x R ∃∈使得220x x m -+<,命题:q 方程22112x ym m+=+-表示双曲线.(Ⅰ)写出命题p 的否定形式;(Ⅱ)若命题p 为假,命题q 为真,求实数m 的取值范围. 【解】(Ⅰ)命题p 的否定形式::p x R ⌝∀∈,都有220x x m -+≥.………………………………………………………5分(Ⅱ)由p 为假,即p ⌝为真,所以440m ∆=-≤,即1m ≥; 又命题q 为真,则有(1)(2)0m m +-<,即1m <-或2m >;所以p 假、q 真时,2m >,即求.………………………………………………………10分频率组距18.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1A A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点.(1)证明//EF 平面1A CD ；(2)求直线BC 与平面1A CD 所成角的正弦值.解析：（1）连接ED ,易知1//A F ED 且1A F ED =，所以1A FED 是平行四边形，所以1//FE A D ，又FE 在平面1A CD 外，所以//EF 平面1A CD ； …………………6分 （2）5…………………12分19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为,,x y z ，用综合指标S x y z =++评价该产品的等级.若4S ≤，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S 都等于4”，求事件B 发生的概率. 解析：（1）123454,4,6,3,4,S S S S S =====6789105,4,5,3,5S S S S S =====0.6p = …………………………5分（2）①该样本中一等品中，随机抽取2件产品的所以可能结果为1214{,},{,},A A A A1517192425272945{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A A A 47{,},A A 49575979{,},{,},{,},{,}.A A A A A A A A …………………………8分②这批样品中综合指标为4有1257,,,A A A A ，则事件B 发生的可能结果为12{,},A A 1517252757{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A 共6种，62()155P B == ……………12分 B 1FC 1A 1C EBDA20.（本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点，离心率为12，左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -. (1) 求椭圆的方程；(2)若直线1:2l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D两点，且满足||||4AB CD =，求直线l 的方程. 解答：（1）根据题意，b =……………………1分又离心率12e ==，所以2a =…………………………………………………3分所以椭圆的方程为22143x y += ……………………………………………………5分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线l 与椭圆的方程可得2230x mx m -+-=，21212,3x x m x x m +==- ………………………………………6分因此12|||AB x x =-=………………………………7分根据垂径定理，可得，||CD ==8分由已知||||AB CD =4=…………………………………10分解得m =l的方程为12y x =-±………………………………12分21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥S ABCD -的底面ABCD 为等腰梯形,//AB CD ,对角线AC 与BD 交于点O,3,1,OA OD CD === SO ⊥底面ABCD .(Ⅰ)求证:SA BD ⊥;(Ⅱ)若四棱锥S ABCD -的体积8V =,求二面角A SB C --的平面角的正弦值.【解】(Ⅰ)证明 在等腰梯形ABCD 中,知1OD OC ==,又CD =所以222OD OC CD +=,故90DOC ∠=, 即BD AC ⊥,又SO ⊥底面ABCD ,得BD SO ⊥, 且SOAC O =,所以BD ⊥面SAC ,即BD SA ⊥.………………………………………5分(Ⅱ)由1144822ABCD S AC BD =⋅=⨯⨯=梯形, 于是183ABCD V S SO ==⨯⨯梯形,得3SO =.法一 由,,OS OA OB 两两垂直,故以O 为原点, 分别以,,OA OB OS 为,,x y z 轴建系如图;则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(1,0,0),O A B C S -, (3,0,3),(0,3,3),(1,0,3)SA SB SC =-=-=--, 设平面ASB 的法向量为1(,,)x y z =n ,则由110,0SA SB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得330,330x z y z -=⎧⎨-=⎩,令1z =,得1x y ==,即1(1,1,1)=n同理可得平面SBC 的一个法向量为2(3,1,1)=-n ,设二面角A SB C --的平面角为θ,则12|cos ||cos ,|θ=<>==n n ,故sin θ==分法二 过点O 作OH SB ⊥于点H ,连接,AH CH ,则 由,,AC BD AC SO SOBD O ⊥⊥=知AC ⊥面SBD ,所以,BD AH BD CH ⊥⊥(三垂线定理) 所以AHC ∠为二面角A SB C --的平面角.由等面积知2OS OB OH SB ⋅==,故AH ==CH ==由余弦定理有222cos 2AH CH AC AHC AH CH +-∠=⋅,即sin AHC ∠即求.22.（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为抛物线C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （1）求抛物线C 的方程；（2）若直线1//l l ，且1l 和抛物线C 有且只有一个公共点E ， （i ）证明：直线AE 过定点，并求出定点坐标；（ii ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由. 解析：：(1)由题意知(,0)2pF 当点A 的横坐标为3时，不妨设设A ，则A点的纵坐标为)2p - (2))2p =-，2p = （18p =舍去） 所以抛物线C 的方程为24y x = …………………4分(2)①证明：由(1)知(1,0)F ．设()0000()(0)(0)0D D A x y x y D x x ≠>，，，因为FA FD =，则0|1|1D x x =－＋， 由0D x >得02D x x =＋，故0(20)D x ＋，． 故直线AB 的斜率02AB y k =-…………5分 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02y y x b =-+， 代入抛物线方程得200880by y y y +-=， 由题意20064320b y y ∆=+=，得02b y =- ………………6分 设()E E E x y ，，则04E y y =-，204E x y =. 当204y ≠时，0000220002044444E AEE y y y y y k y x x y y +-===---， 可得直线AE 的方程为000204()4y y y x x y -=--， ………………7分 由2004y x =，整理可得0204(1)4y y x y =--， 直线AE 恒过点F (1，0)．当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ．所以直线AE 过定点(1,0)F ………………8分 ②由①知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以000011(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++. 设直线AE 的方程为1x my =+， 因为点00(,)A x y )在直线AE 上， 故001x m y -=. ………………9分设11(,)B x y ．直线AB 的方程为000()2y y y x x -=--，由00y ≠，得0022x y x y =-++ 代入抛物线方程得2008840y y x y +--=，所以0108y y y +=-， 可求得1008y y y =--，10044x x x =++. ………………10分所以点B 到直线AE 的距离为0048|4()1|x m y d ++++-===则ABE ∆的面积00112162S x x =⨯++≥ 当且仅当001x x =，即01x =时，等号成立． 所以ABE ∆的面积的最小值为16. ……………12分。