函数的周期性
张磊
一函数周期性的定义
1 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称y=f(x)为周期函数,T为一个周期.
2 周期的一个性质
若T是y=f(x)的周期,则kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期.
二周期函数的常见结论
1 f(x+a)=−f(x)⟹ f(x)是周期函数,周期T=2a
证明:用x+a替换f(x+a)=−f(x)中的x可得f(x+2a)=−f(x+a) ,又因为f(x+a)=−f(x),所以f(x+2a)= f(x).即f(x)是周期函数,周期T=2a
2 f(x+a)=± (b为常数)⟹ f(x)是周期函数,周期T=2a
证明:仿照上述方法. (略)
3 周期性与对称性的关系(注意,奇偶性是特殊的对称性)
由双对称性可推导出函数的周期性.(联系三角函数对称性与周期性的关系,很自然的推导出函数的周期性)
例⑴若函数f(x)既关于x=a对称,又关于x=b对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2.
证:依题∴ ,用x−2b替代x可得) ,∴函数f(x)是周期函数,其周期T=2.
读者仿照该例自己下面结论
⑵若函数f(x)既关于x=a对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=4.
⑶若函数f(x)既关于点(a ,0)对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2.
⑷若函数f(x)偶函数,且关于x=a对称, 则函数f(x)是周期函数,其周期T=2a
⑸若函数f(x)奇函数,且关于x=a对称, 则函数f(x)是周期函数,其周期T=4a
说明:⑷是⑴的特殊情况.因为偶函数关于y轴对称,即关于x=0对称,所以函数f(x)既关于x=a对称,又关于x=0对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2
⑸是⑵的特殊情况.因为奇函数关于原点对称,即关于(0 ,0)对称,所以函数f(x)既关于x=a对称,又关于点(0 ,0)对称,则函数f(x)是周期函数,其周期T=4.
4 其他
⑴若f(x+a)= ,则函数f(x)是周期函数,其周期T=4a.
⑵若f(x+a)= ,则函数f(x)是周期函数,其周期T=2a.
⑶若f(x+a)= ,则函数f(x)是周期函数,其周期T=3a.
⑷若f(x)+f(x+a)+ ⋯+f(x+ka)= f(x) f(x+a) f(x+ka) , 则函数f(x)是周期函数,其周期T=(k+1)a.
证:因为f(x)+f(x+a)+ ⋯+f(x+ka)=f(x)f(x+a)⋯f(x+ka) ,所以f(x+a)+ ⋯+f(x+ka)+f[x+(k+1)a] = f(x+a) f(x+2a) ⋯f[x+(k+1)a]. 两式相减得,
f[x+(k+1)a]− f(x) = f(x+a) f(x+2a)⋯ f(x+ka){ f[x+(k+1)a]− f(x)}.由已知可得f(x+a) f(x+2a)⋯ f(x+ka)≠0 ,∴f[x+(k+1)a]− f(x)=0即
f[x+(k+1)a]= f(x) ,所以函数f(x)是周期函数,其周期T=(k+1)a.
专项练习A组
1(12山东)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时,
f(x)=−;当-1≤x<3时, f(x)=x.则f(1)+f(2)+ ⋯+f(2012)= ( )
A 335
B 338
C 1678
D 2012
2(09山东)定义在R上的函数f(x)满足:
f(x)= ,则f(2009)的值为 ( )
A −1
B 0
C 1
D 2
提示:由f(x)=得
f(x+1)= f(x)−=,所以f(x+3)= −f(x),由性质1得,T=6,所以f(2009)=f(-1)==1
3(08湖北)已知f(x)定义在R上的奇函数,且满足f(x+4)= f(x) ,当
x∈(0 ,2)时, f(x)=2时,则f(7)= ( )
A −2
B 2
C −98 D98
4 (12江苏)设f(x)定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x) ,其中a ,b∈R.若f(=f(),则a+3b=____
B组
1 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=− f(x) ,则f(6)=____.
2 f(x)满足f(x+2)= ,且f(1)=−5 ,则f[f(x)]=______.
3 f(x)定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在(0 ,6)内的解的个数最小值是_____
4 函数f(x)是奇函数,它关于直线x=对称,在区间[2 ,3]上f(x)=−+4,求得x∈[1 ,2]时,f(x)的解析式.
解析:∵函数f(x)是奇函数且关于直线x=对称,
∴f(x)是周期函数,且T=4()=2,
设x∈[1 ,2],则−x∈[−2 ,−1],∴4−x∈[2 ,3],代人得,
∴f(4−x)= −+4=−+4
∵f(4−x)=f(−x)=− f(x),
∴当x∈[1 ,2]时, f(x)=−4
5 设函数f(x)在(−∞ ,+∞)上有f(2−x)=f(2+x),f(7−x)=f(7+x).
且在闭区间[0 ,7]上只有f(1)=f(3)=0.
⑴判断y=f(x)奇偶性.
⑵试求方程f(x)=0在区间[−2005 ,2005]上的根的个数,并证明你的结论.
解析:依题意可知,函数f(x)是周期函数,周期T=2(7−2)=10,
⑴假设函数f(x)是奇函数,则由f(0)=0得,x=0也是方程f(x)=0的根,这与f(x)在区间[0 ,7]上只有两个根=1 ,=3相矛盾,所以函数f(x)不是奇函数;假设函数f(x)是偶函数,则f(-3)=f(3)=0,因为函数f(x)是周期函数, T=10, f(-3)=f(7)=0, 所以x=7是方程f(x)=0的根,这与f(x)在区间[0 ,7]上只有两个根=1 ,=3相矛盾.所以函数f(x)是非奇非偶函数.
⑵依题意f(8)=f(6)≠0,f(9)=f(5)≠0,f(10)=f(4)≠0,所以函数f(x)在区间[0 ,10]内只有两个根,由函数的周期性可知在区间[10 ,20]内,f(11)=f(1)=0,f(13)=f(3)=0共有两个根.同理,在[0 ,2005]内共有402个根,在[-2005 ,0]内共有400个根,所以在区间[−2005 ,2005]上有802个根.。