椭圆的标准方程与几何性质
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
典例在线
（1）已知椭圆24x +2
2
y =1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|－|PF 2|=2，则12PF F △的面积是
A B ．2
C ．
D
（2）已知F 1，F 2分别是椭圆E :22x a +221y b =(0a b >>)的左、右焦点，点(1)在椭圆
上，且点(1-，0)到直线PF 2P (1-，4-)，则椭圆的标准方程为
A ．x 2
+2
4
y =1
B ．24x +y 2
=1
C ．x 2
+2
2
y =1
D ．22
x +y 2
=1
（3）已知椭圆22x a +2
2y b
=1(0a b >>)的左、右焦点分别为F 1(c -，0)，F 2(c ，0)，若椭圆上
存在点P ，使1221
sin sin a c
PF F PF F ∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为
A ．(01-)
B ．，1)
C ．(0)
D ．1-，1)
【参考答案】（1）A ；（2）D ；（3）D ．
【试题解析】（1）由椭圆的方程可知a =2，c ，且|PF 1|+|PF 2|=2a =4，又|PF 1|－|PF 2|=2，
所以|PF 1|=3，|PF 2|=1．又|F 1F 2|=2c =|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2
，即12PF F △为直
角三角形，所以12122||11
12
|2|PF F S F F PF =
=⨯=△．故选A ．
（3）根据正弦定理得
2112
21
sin sin PF PF PF F PF F ∠∠=
，又
1221
sin sin a c
PF F PF F ∠∠=可得
21
a c PF PF =，即12
PF c
PF a
=
=e
，
所
以
|PF 1|=e|PF 2|
．
又
|PF 1|+|PF 2|=e|PF 2|+|PF 2|=|PF 2|·(e+1)=2a ，所以|PF 2|=
21
a
e +．因为a －c <|PF 2|<a+c ，所以a －c <21a e +<a+c ，所以1－21c a e <+<1+c a ，所以1－e <21e +<1+e ，即2
(1)(1)2
2(1)01
e e e e +-<⎧⎪<+⎨⎪<<⎩
，
－1<e <1．故选D ．
【名师点睛】（1）椭圆定义的集合语言:1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
（2）求椭圆的方程有两种方法：①定义法；②待定系数法．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为
221mx ny =+(0,0m n >>且)m n ≠．
（3）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了．
（4）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两
种方法：①求出a ，c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b a c =－转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 或2e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）． 学霸推荐
1．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆
的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ
[,]126
α∈，则该椭圆的离心率e 的取值范围为
A ．
B ．
C ．-
D ．-
2．已知椭圆C ：22x a +221y b =(0a b >>)，椭圆短轴的一个端点与两个焦点
构成的三角形的面积为2．直线l :y =kx+m (m ≠0)与椭圆相交于不同的A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）若线段AB 中点的横坐标为
2
m
，求k 的值．
1．【答案】C 【解析】如图，
因为AF BF ⊥，所以点F 在以AB 为直径的圆上，则OA OB OF c ===．根据图形的对称性知，2AF BF a +=．又ABF α∠=，所以
cos sin AF BF AB AB αα+=⋅+⋅=2(sin cos )c αα+2a =，因此
1sin cos c e a αα=
==+ππ[,]126α∈
，所以e ∈-．故选C ．
（2）联立直线l 的方程与椭圆的方程得22
142
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，代入消元得(2k 2+1)x 2+4kmx+(2m 2
－4)=0．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=2421km k -+，x 1x 2=22
24
21
m k -+． 由题意知，x 1+x 2=
2421km k -+=m ，因为m ≠0，所以2
421
k
k -+=1，即2k 2+4k+1=0，
解得1k =--
1-+。