初二下册第二章一元一次不等式及不等式组一元一次不等式的解法（基础）知识讲解【学习目标】1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；2.能够熟练解一元一次不等式；3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.【要点梳理】要点一、一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，2x50 是一个一元一次不等式．3要点诠释：(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为 1.(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜” 、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不等式的解法1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项；(4) 化为ax b（或ax b）的形式（其中a 0）； (5) 两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集 .要点诠释：（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．（2）解不等式应注意：①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；②移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变．要点三、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．要点诠释：不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立；②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3. 不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示: 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2 ≤6 的解集为x≤8．(2)用数轴表示 : 不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定” ：一是确定“边界点” ，二是确定方向．(1) 确定“边界点” ：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2) 确定“方向” ：对边界点 a 而言， x＞ a 或 x≥ a 向右画；对边界点 a 而言， x＜ a 或 x≤ a 向左画．注意：在表示 a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点．【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些?3 x 8 (4)1 ≥ 2 (5)2x+y≤8(1)3x+5＝0(2)2x+3＞5(3)4x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断，(1) 是等式； (4) 不等式的左边不是整式；(5) 含有两个未知数．【答案与解析】解： (2) 、 (3) 是一元一次不等式．【总结升华】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式2.解不等式： 2(x 1) 3( x 1) 2 ，并把解集在数轴上表示出来．【思路点拨】解不等式时去括号法则与解一元一次方程的去括号法则是一样的．【答案与解析】解：去括号，得：2x 2 3x 3 2移项、合并同类项，得：x 3系数化 1 得：x 3这个不等式的解集在数轴上表示如图：【总结升华】在不等式的两边同乘以( 或除以 ) 负数时，必须改变不等号的方向．举一反三：【变式】不等式2(x+1) ＜ 3x+1 的解集在数轴上表示出来应为().【答案】 C.3. （ 2016?连云港）解不等式，并将解集在数轴上表示出来．【思路点拨】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把x 的系数化为 1 即可．【答案与解析】解：去分母，得：1+x＜ 3x ﹣ 3，移项，得： x﹣ 3x＜﹣ 3﹣ 1，合并同类项，得：﹣2x＜﹣ 4，系数化为1，得： x＞ 2，将解集表示在数轴上如图：【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．去分母时，不要漏乘不含分母的项．举一反三：【变式】若 y1 x 13, y2 2x 5 1,问x取何值时，y1y2．5 4【答案】解：∵ y1 x 13, y2 2x 5 1, 5 4若 y1 y2，则有x1 3 2x 5 15 4即 x 101 6∴当x 101y2．时， y164. 关于 x 的不等式2x-a ≤ -1 的解集为 x≤-1 ，则 a 的值是 _________．【思路点拨】首先把 a 作为已知数求出不等式的解集，然后根据不等式的解集为x≤ -1 即可得到关于 a 的方程，解方程即可求解．【答案】－１【解析】由已知得：a 1 a 1x ，由 1 ，得 a 1 ．2 2【总结升华】解不等式要依据不等式的基本性质，注意移项要改变符号．举一反三：【变式 1】如果关于x 的不等式 (a+1)x ＜a+1 的解集是x＞ l ，则 a 的取值范围是 ________．【答案】 a 1 .【变式 2】求不等式1+≥2﹣的非正整数解．【答案】解： 1+≥2﹣6+3（ x+1）≥ 12﹣ 2（ x+7）6+3x+3≥12﹣ 2x﹣ 143x+2x≥12﹣ 14﹣ 6﹣35x≥﹣ 11x≥﹣ 2所以非正整数解为0，﹣ 1，﹣ 2．类型三、不等式的解及解集5.对于不等式 4x+7(x-2) ＞ 8 不是它的解的是 ( ).A．5 B．4C．3D．2【思路点拨】根据不等式解的定义作答．【答案】 D【解析】解：当 x＝5 时， 4x+7(x-2)＝41＞8，当x＝4 时，4x+7(x-2) ＝30＞8，当x＝3 时，4x+7(x-2) ＝19＞8，当 x＝2 时， 4x+7(x-2) ＝8．故知 x＝ 2 不是原不等式的解．【总结升华】不等式的解的定义与方程的解的定义是类似的，其判定方法是相同的．6. 不等式 x＞ 1 在数轴上表示正确的是().【思路点拨】根据不等式的解集在数轴上表示出来的方法画数轴即可．【答案】 C【解析】解：∵不等式x＞ 1∴在数轴上表示为:故选 C ．【总结升华】用数轴表示解集时，应注意两点：一是“边界点” ，如果边界点包含于解集，则用实心圆点；二是“方向” ，相对于边界而言，大于向右，小于向左，同时还应善于逆向思维，通过读数轴写出对应不等式的解集．举一反三：【变式】如图，在数轴上表示的解集对应的是( )．A ．－ 2＜ x ＜ 4 B. － 2＜ x ≤4 C. －2≤ x ＜ 4 D.－ 2≤x ≤ 4【答案】 B. 【巩固练习】 一、选择题1．下列各式中，是一元一次不等式的是（） .A.5+4 ＞8B.2x － 1C.2x ≤ 5D. 1－ 3x ≥ 0x2．已知 a ＞ b ，则下列不等式正确的是 ( ).A ． -3a ＞ -3bB ．ab3 3C ． 3-a ＞ 3-b D． a-3 ＞ b-33. 下列说法中，正确的是 ( ).A ． x ＝3 是不等式 2x ＞ 1 的解B ． x ＝ 3 是不等式 2x ＞ 1 的唯一解C ． x ＝3 不是不等式 2x ＞1 的解D ． x ＝ 3 是不等式2x ＞ 1 的解集4. 在下列解不等式的过程中，错误的一步是（）A ．去分母得 5（2+x ）＞ 3（ 2x ﹣ 1）B ．去括号得 10+5x ＞6x ﹣ 3C ．移项得 5x ﹣6x ＞﹣ 3﹣10D．系数化为 1 得 x ＞3 5. 不等式 4 3x 2x 6的非负整数解有（ ） .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4 个6. （ 2016?六盘水）不等式 3x+2 ＜ 2x+3 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪条基本性质：(1)如果 x+2＞ 5，那么 x_______3 ；根据是 _______．(2) 如果3 a1，那么 a_______ 4；根据是 ________．4 3(3) 如果 2 x3，那么 x________9 ；根据是 ________．32(4) 如果 x-3 ＜ -1 ，那么 x_______2；根据是 ________．8. 若 a ＞ 0，则关于 x 的不等式 ax ＞ b 的解集是 ________；若a ＜ 0，则关于 x 的不等式以 ax ＞b 的解集是 _______．59. 不等式 x﹣4≤的解集是．10. 不等式 4x 6 7x 12 的非负整数解为．11. （ 2017?新城区校级模拟）不等式﹣x+2＞ 0 的最大正整数解是．12.若 m＞ 5，试用 m表示出不等式 (5 － m)x＞ 1－ m的解集______．三、解答题13．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．（ 1） 5x﹣ 12＜ 2（ 4x﹣ 3）；（2）≥﹣1．14． a 取什么值时，代数式3－2a 的值：(1) 大于 1？(2)等于1？(3) 小于 1？15． y 取什么值时，代数式2y－ 3 的值：(1)大于 5y－ 3 的值？(2)不大于 5y－3 的值？16．求不等式64－ 11x＞ 4 的正整数解．【答案与解析】一、选择题1.【答案】 C；【解析】考查一元一次不等式的概念；2.【答案】 D；【解析】考查一元一次不等式的性质；3.【答案】 A ；4.【答案】 D；【解析】解：去分母得， 5（ 2+x）＞ 3（ 2x﹣1）去括号得， 10+5x ＞ 6x﹣ 3，移项得， 5x﹣ 6x ＞﹣ 3﹣ 10，合并同类项得，﹣x＞﹣ 13，系数化为 1 得， x＜ 13，故 D 错误．故选 D．5.【答案】 C；【解析】先求得解集为x 2 ，所以非负整数解为：0,1,2 ；6.【答案】 D；【解析】解：3x+2 ＜ 2x+3 移项及合并同类项，得x＜ 1，故选 D．二、填空题7.【答案】(1)＞，不等式基本性质1；(2)＞，不等式基本性质3；(3)＜，不等式基本性质2； (4) ＜，不等式基本性质 1；8. 【答案】b， xb x ；a a【解析】不等式两边同除以一个正数，不等号不变；不等式两边同除以一个负数，不等号改变方向 .9.【答案】 x≥﹣ 2；【解析】解： x﹣4≤3（ x﹣4）≤ 4x﹣ 103x ﹣12≤4x﹣ 103x ﹣4x≤﹣ 10+12﹣x≤2x≥﹣ 2．故答案为： x≥﹣ 2．10．【答案】 0， 1， 2；【解析】解不等式得x 211.【答案】 5．【解析】解：﹣x+2 ＞ 0，移项，得：﹣x＞﹣ 2，系数化为1，得： x＜ 6，故不等式﹣x+2 ＞0 的最大正整数解是5．12.【答案】 x m 1．m 51 m m 1【解析】∵ m 5 ，∴ 5 m0，所以(5－m)x＞1－m，可得： x5 m m 5三、解答题13.【解析】解：（ 1）去括号得： 5x﹣ 12＜8x﹣ 6，5x﹣ 8x＜﹣ 6+12，﹣3x＜ 6，x＞﹣ 2，在数轴上表示不等式的解集为：；（2）去分母得：3（3x﹣ 2）≥ 5（ 2x+1）﹣ 15，9x﹣6≥10x+5﹣ 15，9x﹣10x≥﹣ 15+5+6，﹣x≥﹣ 4，x≤4，在数轴上表示不等式的解集为：．14. 【解析】解： (1) 由 3-2a ＞ 1，得 a ＜ 1；(2) 由 3-2a ＝ 1，得 a =1 ； (3) 由 3-2a ＜ 1，得 a ＞ 1．15. 【解析】解： (1) 由 2y-3 ＞ 5y-3 ，得 y ＜0；(2) 由 2y-3 ≤ 5y-3 ，得 y ≥ 0．16. 【解析】解：先解不等式的解集为x ＜60,11所以正整数解为 1，2， 3， 4， 5．拓展：【典型例题】类型一、一元一次不等式的概念1．下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？ （1） x（ 2）11 （ 3） x2 2（ 4） xy 3（ 5） x1x【思路点拨】根据一元一次不等式的定义判断． 【答案与解析】解： (1) 是一元一次不等式． （ 2）（ 3） (4)(5) 不是一元一次不等式，因为： （2）中分母中含有字母，（3）未知数的最高次数不是 1 次，（4）不等式左边含有两个未知数， （ 5）不是不等式，是一元一次方程．【总结升华】 一元一次不等式的定义主要由三部分组成： ①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是 1，三个条件缺一不可．类型二、解一元一次不等式2. 求不等式﹣ ≤ 的非负整数解，并把它的解在数轴上表示出来．【思路点拨】首先应对不等式的左右代数式化简， 使得分子、 分母上的小数化成整数， 然后根据不等式的性质 2 去掉分母等进行求解不等式，再在解集中求出符合条件的非负整数．【答案与解析】解：原不等式可化为：﹣ ≤ 去分母，得 6（ 4x ﹣10）﹣ 15（ 5﹣ x ）≤ 10（ 3﹣ 2x ）去括号，得 24x ﹣ 60﹣75+15x ≤30﹣ 20x移项，得24x+15x+20x≤30+60+75合并同类项，得59x≤165把系数化为1，得 x≤，解集 x≤的非负整数解是：0， 1， 2，数轴表示是：【总结升华】本题主要考查了不等式的解法，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．举一反三：【变式 1】解不等式：【答案】3 [ 2 (x1) 2] x 22 3 4解：去括号，得x1 3 x2 43 x移项、合并同类项得： 6系数化 1，得x 84故原不等式的解集是x 8 .【变式 2】代数式的值不大于的值，求 x 的范围．【答案】解：根据题意得：解不等式≤，去分母得： 6﹣ 3（ 3x﹣ 1）≤ 2（ 1﹣ 2x），去括号得： 6﹣9x+3≤2﹣ 4x，移项得： 4x﹣9x≤2﹣ 6﹣ 3，合并同类项得：﹣ 5x≤﹣7，解得： x≥．3.m 为何值时，关于x 的方程：【思路点拨】从概念出发，解出方程（用【答案与解析】解： x-12m+2=6x-15m+35x=3m-1 x 6m 1 5m 11？6x 的解大于3 2m表示 x），然后解不等式．x 3m 1 5由 3m 1 1 5解得 m＞ 2【总结升华】此题亦可用x 表示 m，然后根据 x 的范围运用不等式基本性质推导出m的范围．举一反三：【变式】已知关于2x m 2 xm 是正整数，则 m ．x 方程x 的解是非负数，3 3【答案】 1 或 2.4. （ 2016?杭州模拟）若关于x， y 的二元一次方程组的解满足 x﹣ y＞﹣ 3.5，求出满足条件的m 的所有正整数解．【思路点拨】先解出方程组再解不等式．【答案与解析】解：由方程组的两个方程相减得：x﹣ y= ﹣0.5m ﹣ 2∴﹣ 0.5m﹣ 2＞﹣ 3.5，∴m＜ 3，∴满足条件的m 的所有正整数解为m=1， m=2．【总结升华】本题考查了巧解二元一次方程组，有时根据具体问题，可以不必解出x , y 的具体值．能得出关于m 的不等式是解此题的关键．类型二、不等式的解及解集5. 若关于x的不等式x a只有三个正整数解，求 a 的取值范围.【思路点拨】首先根据题意确定三个正整数解，然后再确定 a 的范围．【答案】 3 a 4 .【解析】解：∵不等式x a 只有三个正整数解，∴三个正整数解为：1， 2， 3，∴3 a 4 ，【总结升华】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好三个正整数解．举一反三：【变式】已知x a 的解集中的最大整数为3，则a的取值范围是．【答案】 3 a 4 .类型四、逆用不等式的解集6. 若关于x的不等式mx n 的解集为 x 3，则关于 x 的不等式5( 2m n)x m 5n 0 的解集．10【思路点拨】先根据第一个不等式确定m, n 的关系或符号，再代入第二个不等式进行求解．【答案】 x 10. 7【解析】解：由 mx n 的解集为x 3 可知得： m 0 ，n3 ，即 n 3 m5 m 5 5 将上式代入 (2m n) x m 5n 0 ，化简整理得：7mx 2m ，又 m 010 5.所以 x7【总结升华】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定m0 ．【巩固练习】一、选择题1．已知关于 x 的不等式( m 1)x|m| 0 是一元一次不等式，那么m的值是 ( ).A． m＝1 B ．m＝± 1 C ． m＝-1 D ．不能确定2．由m n 得到 ma2 na2，则a应该满足的条件是（） .A． a＞ 0 B ． a＜ 0 C ． a≠ 0 D ． a 为任意实数3．已知y1 2 x 5 ， y2 2x 3 ，如果 y1 y2，则x的取值范围是（） .A． x＞ 2 B ． x＜ 2 C ． x＞ -2 D ． x＜ -24．设 a， b 是常数，不等式+ ＞ 0 的解集为 x＜，则关于 x 的不等式 bx-a ＜ 0 的解集是（）A． x＞ B ．x＜ - C ． x＞ - D ．x＜5．（ 2016?南充）不等式＞﹣ 1 的正整数解的个数是（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个6. 关于x的不等式2x a 2 的解集如图所示，则a的值是（）.A．0 B．2 C ．-2 D．-4二、填空题7．（ 2016?绍兴）不等式＞+2 的解是．8．若不等式（3m-2） x＜ 7 的解集为x＞，则m的值为．9．比较大小：3a2 3b2 6 ________ 2a2 4b2 1.10．已知 -4 是不等式ax 5 的解集中的一个值，则 a 的范围为________. 11．若关于 x 的不等式3x a 0 只有六个正整数解，则 a 应满足 ________.12. 已知x a的解集中的最小整数为 2 ，则a的取值范围是.三、解答题13．若 m、n 为有理数，解关于 x 的不等式2＞ n．( － m－ 1)x14.当 x 为何值时，代数式 - x+3 的值比 6x-3 的值大．10 k k( x 5)15. 当2(k 3) 时，求关于 x 的不等式x k 的解集．3 416.已知 A＝ 2x2＋ 3x＋ 2， B＝ 2x2－ 4x－ 5，试比较 A 与 B 的大小．【答案与解析】一、选择题1.【答案】 C；【解析】m 1, m 1 0 ，所以 m1；2. 【答案】 C；【解析】由 m n 得到 ma2 na2 ，不等式两边同乘以a2 ，不等号方向没变，所以a2 0,即 a 0 ；3. 【答案】 B；【解析】 y1 y2，即2x 5 2x 3 ，解得： x 2 .4.【答案】 B；【解析】解：解不等式+ ＞ 0，移项得：＞ -，∵解集为x＜，∴ - =，且a＜0．∴b= -5a ＞ 0， =- ．解不等式bx-a ＜ 0，移项得： bx＜ a，两边同时除以 b 得： x＜，即 x＜ - ．故选 B．5.【答案】 D ．【解析】解：去分母得：3（x+1）＞ 2（2x+2 ）﹣ 6，去括号得： 3x+3 ＞ 4x+4﹣ 6，移项得： 3x﹣ 4x＞ 4﹣ 6﹣ 3，合并同类项得：﹣x＞﹣ 5，系数化为 1 得： x＜ 5，故不等式的正整数解有1、2、3、4 这 4个.6. 【答案】 A；【解析】因为不等式2x a 2a 2的解集为 x ，再观察数轴上表示的解集为a 22 0x1 ，因此1，解得 a2二、填空题【解析】去分母，得：3（ 3x+13）＞ 4x+24 ，去括号，得： 9x+39 ＞4x+24 ，移项，得： 9x﹣ 4x ＞24﹣ 39，合并同类项，得：5x＞﹣ 15，系数化为1，得： x＞﹣ 3，故答案为： x＞﹣ 3．8.【答案】 - ；【解析】解：∵（3m-2）x＜ 7 的解集为x＞，∴x＞，∴=- ，解得 m=- ．故答案为： - ．9. 【答案】＞；【解析】 (3a 2 3b 2 6) (2 a 2 4b 2 1) a 2 b 25 0 ，所以 3a 2 3b 2 6 2a 2 4b 2 1 .10．【答案】 5；a45【解析】将 -4 代入得：4a5 ，所以 a.411. 【答案】 18 a 21；aa【解析】由已知得： x ， 67，即 18 a21.3 312. 【答案】 3 a2【解析】画出数轴分析得出正确答案.三、解答题13. 【解析】解： Q m 21 0, ∴ m2 1 0.2＞ n ，∴ ( － m －1)x两边同除以负数（－ m 2－ 1）得： xn 1n .nm 2 m 2 1∴原不等式的解集为：x.m 2114. 【解析】解：由题意得， -x+3＞ 6x-3 ，去分母得， -x+18 ＞ 6（ 6x-3 ）， 去括号得， -x+18 ＞ 36x-18 ， 移项得， -x-36x ＞ -18-18 ， 合并同类项， -37x ＞-36 ，把 x 的系数化为 1 得， x ＜．因此，当＜时，代数式 - x+3 的值比 6x-3 的值大．15. 【解析】解： 2(k10 k3)36k -18＜10-kk ＜4k (x 5)k 4xkx-5k ＞4x-4k( k 4) x ＞ kx＜k．k 416.【解析】解： A B 7x 7,当 x 1时， A B ；当 x 1时， A B ；当 x 1时， A B.。