2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析一、选择题1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3. D.4.2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点A.⎪⎭⎫⎝⎛2,2ππ B.()2,0C.()2,πD.⎪⎭⎫⎝⎛-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x ⎰+∞-0B.dx xe x ⎰+∞-02C.dx x x⎰+∞+021arctanD.dx x x ⎰+∞+0214.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,4 5.已知积分区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=2πy x |y ,x D ）（，dxdy y x I D ⎰⎰+=221，dxdy y x I D⎰⎰+=222sin，(dxdy y x I D)cos 1223⎰⎰+-=，试比较321,,I I I 的大小A.123I I I <<B.321I I I <<C.312I I I <<D.132I I I <<6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续，请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是0)()()(lim2=--→a x x g x f ax 的什么条件A.充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件7.设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是A.0B.1C.2D.38.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++B.232221y y y -+C.232221y y y --D.232221y y y ---二、填空题 9.2lim(2)x xx x →∞+=10.曲线sin 1cos x t t y t=-⎧⎨=-⎩在32t π=对应点处切线在y 轴上的截距为11.设函数()f u 可导，2()y z yf x=，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂12. 设函数ln cos 6y x x π=≤≤（0）的弧长为 13. 已知函数2sin ()xtt f x xdt t=⎰，则10()f x dx =⎰14.已知矩阵110021*******034A -⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪-- ⎪⎝⎭，ij A 表示A 中(,)i j 元的代数余子式，则1112A A -=三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)()(x f x 'f16.（本题满分10分） 求不定积分.dx x x x x ⎰++-+)1()1(6322 17.（本题满分10分）)(x y y =是微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）设平面区域{})x (y y ,x y ,D≤≤≤≤=021x ）（，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.18.（本题满分10分） 已知平面区域D 满足()(){}4322yyx|y ,x ≤+，求.dxdy yx yx D⎰⎰++2219.（本题满分10分）x x f S ,N n x n sin e )(-+=∈是的图像与x 轴所谓图形的面积，求n S ，并求.S n n ∞→lim 20.（本题满分11分）已知函数)(y ,x u 满足,yux u y u x u 033222222=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂求b ,a 的值，使得在变换by ax y ,x v y ,x u +=)e ()(下，上述等式可化为)(y ,x v 不含一阶偏导数的等式.21.（本题满分11分）已知函数),(y x f 在[]1,0上具有二阶导数，且⎰===11)(,1)1(,0)0(dx x f f f ，证明：（1）存在)1,0(∈ξ，使得0)('=ξf ； （2）存在)1,0(∈η，使得2)(''-<ξf . 22.（本题满分11分）已知向量组（Ⅰ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4111α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4012α，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=32123a α，（Ⅱ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=3111a β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a 1202β，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=33123a β，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求a 的取值，并将β用321,,ααα线性表示. 23.（本题满分11分）已知矩阵相似与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=y B x A 0001001220022122 （1）求y x ,，（2）求可逆矩阵,P 使得B AP P =-12019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学二）1.C2.C3.D4.D5.A6.C7.A8.C9. 24e10. 223+π 11. z 12. 3ln 21 13.)11(cos 41- 14. 4-15.解：当0x >时，()()()()()22ln 2ln 22ln 2=2ln 2xx xx xx f x xeex x x '''===++.当0x <时，()()()e 1e e 1e x x x xf x x x x ''=+=+=+.当=0x 时，()01f =，()22ln 000112ln 0lim lim lim x x x x x x x e x xf x x x ++++→→→--'====-∞，()00110lim lim 1x xx x xe f e x---→→+-'===. 故()()()22ln 2 0=1e 0x xx x x f x x x ⎧+>⎪'⎨+<⎪⎩. 令()=0f x '，得112,1x e x -==-.（1）当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减， 当()()()1,0,x e f x f x -'∈∞>，+单调递增，故()211=ef ee -⎛⎫ ⎪⎝⎭为极小值. （2）当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 当()()()10,,0,x e f x f x -'∈<单调递减，故()0=1f 为极大值.（3）当()()(),1,0,x f x f x '∈-∞-<单调递减， 当()()()0,0,x f x f x '∈>-1，单调递增， 故()11=1f e ---+为极小值.16.17. 18. 19.20.解：()(),,ax byu x y v x y e+=2222222222ax byaxby ax byax by ax by ax by ax by ax byax by ax by ax by ax byu v e ave x xu v e bve y yu v v v e a e a e a ve x x x x u v v v e b e b e b ve y y y y++++++++++++∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂，带入得430340a b +=⎧⎨-=⎩，解得3434a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.21.22.解：（1）当210a -≠，即1a ≠±时，()()123123,,3,,,3r r αααβββ==，此时两个向量组必然等价，且3123=+βααα-.（2）当=1a 时，()123123111101,,,,,011022000000αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎣⎦此时两个向量组等价，()()3123=232+k k k βααα-++-.（3）当=1a -时，()123123111101,,,,,011022000220αααβββ⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 此时两个向量组不等价.23.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。