第五讲 函数的单调性与最值
知识回顾
1.增函数与减函数：
对于函数f(x)定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值x1，x2，若当x1＜x2 时，都有 （1）f(x1)＜f(x2)，则称函数f(x)在区 间D上是增函数. （2）f(x1)＞f(x2)，则称函数f(x)在区 间D上是减函数.
2.单调性与单调区间：
第四讲 习题讲解
探究：设集合M＝{1，2}，映射f：M→M 满足f[f(x)]＝f(x)，则这样的映射共有多 少个？如果集合为M= {1，2，3…，n}呢？
已知定义域为R上的函数f (x)满足 f [ f (x) - x2 x] f (x) x2 x (1)若f (2) 3,求f (1)；又若f (0) a, 求f (a) (2)设有且仅有一个实数x0,使得f (x0 ) x0 求f (x)的解析式.
5.在单调区间上，增函数的图象是上升的， 减函数的图象是下降的，这是函数单调性的 几何意义.
6.对于函数f(x)定义域I内某个区间D上的任 意两个自变量的值x1，x2(x1≠x2)，则
（1） f (x1) f (x2 ) 0 f(x)在区间D上
x1 x2
是增函数； （2） f (x1) f (x2 ) 0 f(x)在区间D上
基础自测
1、A 2、C 3、1 2 2 4、2 2
5、 , 5
题型一、判断函数的单调性
例1、(1)f (x) x a (a b 0) xb
(2)
f
(x)
1 x
log2
1 1
x x
例2、已知f (x) ex a a ex
a 0, y f (x)为R上的偶函数。
求y f (x)单调区间.
例4 已知定义在R上的函数f(x)满足: 对任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋ f(b)－1，且当x＞0时f(x)＞1.
若f(4)＝5，解不等式 f (3x2 x 2) 3
题型二、已知函数的单调区间求解析式 中参数的取值范围
P21例2及变式2
题型三、函数单调性的应用
已知函数f (x) x x2
(1)判断函数f (x)在区间0， 的单调性
并加以证明 (2)求函数f (x)的值域.
已知函数6 . x2
设命题p： x0∈[0，1]，f(x0)≤g(x0)，
若p为真命题，求实数a的取值范围.
设命题q： x0∈[0，1]，f(x0)≤g(x0)，
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或 减函数，则称函数f(x)在这一区间具有 （严格的）单调性，区间D叫做函数f(x) 的单调区间.
3.复合函数的单调性：
若函数f(x)和g(x)的单调性相同，则 f[g(x)]为增函数；若函数f(x)和g(x)的 单调性相反，则f[g(x)]为减函数.
4.函数的单调性是对函数定义域内的某个区 间而言的，若函数f(x)在其定义域内是增函 数或减函数，则称f(x)为单调函数.
例3 确定下列函数的单调区间：
（1）f (x) x2 1 ；
（2）f (x) log1 (2x2 5x 3) ；
（3）f
(
x)
|
lg(
2
x
1)
|
.
规律总结
确定函数的单调区间的方法有： (1)定义法 (2)导数法 (3)利用复合函数的单调性求解 (4)利用单调性的性质求解 (5)利用函数的图像求解
若p为真命题，求实数a的取值范围.
已知函数f (x) 3 ax (a 1) a 1
(1)若a 0,则f (x)的定义域为________；
(2)若f (x)在区间0,1上是减函数，则
实数a的取值范围是 ________ .
课后练习
作业手册：第五课时
x1 x2
是减函数；
7.若函数f(x)在区间A，B上都是增函数，则 f(x)在区间A∪B上不一定是增函数，对减函 数也如此.
8.设函数y f (x)的定义域为I，如果存在
实数M满足：对任意的x I,都有f (x) M； 存在x0 I ,使得f (x0) M ,那么，称M是函数 y f (x)的最大值.