高中同步创优单元测评B 卷 数 学班级:________ 姓名:________ 得分:________第二章 基本初等函数(Ⅰ)(一)(指数与指数函数) 名校好题·能力卷](时间:120分钟 满分:150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a <14,则化简4(4a -1)2的结果是( ) A.1-4a B.4a -1 C .-1-4aD .-4a -12.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增加110.4%,那么经过x 年可增长到原来的y 倍,则函数y =f (x )的图象大致是( )3.设f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |,x ∈R ,那么f (x )是( )A .奇函数且在(0,+∞)上是增函数B .偶函数且在(0,+∞)上是增函数C .奇函数且在(0,+∞)上是减函数D .偶函数且在(0,+∞)上是减函数 4.若3a >1,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,0)B .(0,1)C .(0,+∞)D .(2,+∞) 5.函数y =2x -12x +1是( )A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .既是奇函数又是偶函数6.函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2-2 的单调递减区间为( )A .(-∞,0]B .0,+∞)C .(-∞,2]D .2,+∞)7.函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x 2+2x 的值域是( )A .R B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞ C .(2,+∞)D .(0,+∞)8.设f (x )是定义在实数集R 上的函数,满足条件:y =f (x +1)是偶函数,且当x ≥1时,f (x )=5x,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的大小关系是( )A .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32B .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23C .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13D .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫139.函数y =|x |e -xx 的图象的大致形状是( )10.下列函数中,与y =-3|x |的奇偶性相同,且在(-∞,0)上单调性也相同的是( )A .y =-1x B .y =|x |-1|x | C .y =-(2x +2-x )D .y =x 3-111.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0),(a -3)x +4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,14 B .(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,1 D .(0,3) 12.设函数f (x )=2-x 2+x +2,对于给定的正数K ,定义函数f K (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )≤K ,K ,f (x )>K ,若对于函数f (x )=2-x 2+x +2定义域内的任意x ,恒有f K (x )=f (x ),则( )A .K 的最大值为2 2B .K 的最小值为2 2C .K 的最大值为1D .K 的最小值为1第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)13.2-12+(-4)2+12-1-(1-5)0=________.14.函数f (x )=2a x +1-3(a >0,且a ≠1)的图象经过的定点坐标是________.15.若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1x ,x <0,⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,x ≥0,则不等式|f (x )|≥13的解集为________.16.设f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=2x -3,则当x <0时,f (x )=________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)函数f (x )=k ·a -x (k ,a 为常数,a >0且a ≠1)的图象过点A (0,1),B (3,8). (1)求函数f (x )的解析式;(2)若函数g (x )=f (x )-1f (x )+1,试判断函数g (x )的奇偶性并给出证明.18.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=2x -4x .(1)求y =f (x )在-1,1]上的值域;(2)解不等式f(x)>16-9×2x;(3)若关于x的方程f(x)+m-1=0在-1,1]上有解,求m的取值范围.19.(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t);(2)进一步测定:每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时,药物对治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病的有效时间.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )=a 2+22x +1是奇函数.(1)求a 的值;(2)判断f (x )的单调性,并用定义加以证明; (3)求f (x )的值域.21.(本小题满分12分)已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,x ∈-1,1],函数φ(x )=f (x )]2-2af (x )+3的最小值为h (a ).(1)求h (a );(2)是否存在实数m >n >3,当h (a )的定义域为n ,m ]时,值域为n 2,m 2]?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)定义在D 上的函数f (x ),如果满足:对任意x ∈D ,存在常数M >0,都有|f (x )|≤M 成立,则称f (x )是D 上的有界函数,其中M 称为函数f (x )的上界.已知函数f (x )=1+a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x +⎝ ⎛⎭⎪⎫19x . (1)当a =-12时,求函数f (x )在(-∞,0)上的值域,并判断函数f (x )在(-∞,0)上是否为有界函数,请说明理由;(2)若函数f (x )在0,+∞)上是以4为上界的有界函数,求实数a 的取值范围.详解答案第二章 基本初等函数(Ⅰ)(一)(指数与指数函数) 名校好题·能力卷]1.A 解析:∵a <14,∴4a -1<0,∴4(4a -1)2=1-4a . 2.D 解析:经过x 年后y =(1+110.4%)x =2.104x .3.D 解析:函数f (x )的定义域R 关于原点对称,且f (-x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|-x |=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |=f (x ),所以f (x )是偶函数.又f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |=⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,x ≥0,2x ,x <0,所以f (x )在(0,+∞)上是减函数.4.C 解析:因为3a >1,所以3a >30,3>1,∴y =3a 是增函数.∴a >0.5.A 解析:函数y =2x -12x +1的定义域(-∞,+∞)关于原点对称,且f (-x )=2-x-12-x +1=12x -112x +1=1-2x1+2x=-f (x ),所以该函数是奇函数.6.B 解析:函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12u为R 上的减函数,欲求函数y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12 x 2-2 的单调递减区间,只需求函数u =x 2-2的单调递增区间,而函数u =x 2-2的单调递增区间为0,+∞).7.B 解析:令t =-x 2+2x ,则t =-x 2+2x 的值域为(-∞,1],所以y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12-x 2+2x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,+∞. 解题技巧:本题主要考查了指数型函数的值域,解决本题的关键是先求出指数t =-x 2+2x 的值域,再根据复合函数的单调性求出指数型函数的值域.8.D 解析:∵y =f (x +1)是偶函数,∴y =f (x +1)的对称轴为x =0,∴y =f (x )的对称轴为x =1.又x ≥1时,f (x )=5x ,∴f (x )=5x 在1,+∞)上是增函数,∴f (x )在(-∞,1]上是减函数.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,且23>12>13,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 9.C 解析:由函数的表达式知,x ≠0,y =e -x |x |x =⎩⎪⎨⎪⎧e -x,x >0,-e -x,x <0,所以它的图象是这样得到的:保留y =e -x ,x >0的部分,将x <0的图象关于x 轴对称.故选D.10.C 解析:设函数f (x )=y =-3|x |,x ∈R ,∴f (-x )=-3|-x |.∵f (x )=f (-x ),∴f (x )为偶函数.令t =|x |,∴t =|x |,x ∈(-∞,0)是减函数,由复合函数的单调性知,y =-3|x |在x ∈(-∞,0)为增函数.选项A 为奇函数,∴A 错;选项B 为偶函数但是在x ∈(-∞,0)为减函数,∴B 错;选项C 令g (x )=-(2x +2-x ),g (-x )=-(2-x +2x ),∴g (x )=g (-x ),∴g (x )为偶函数.由复合函数的单调性知,g (x )在x ∈(-∞,0)为增函数.故选C.11.A 解析:∵对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,∴f (x )是R 上的减函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a 0≥4a ,解得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,14.故选A. 12.B 解析:∵函数f (x )=2-x 2+x +2的值域为1,22],又∵对于给定的正数K ,定义函数f K (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )≤K ,K ,f (x )>K ,若对于函数f (x )=2-x 2+x +2定义域内的任意x ,恒有f K (x )=f (x ),∴K ≥2 2.故选B.13.-22 解析:2-12+(-4)2+12-1-(1-5)0=12-42+2+11-1=-32+2=-22. 14.(-1,-1) 解析:由指数函数恒过定点(0,1)可知,函数f (x )=2a x +1-3(a >0,且a ≠1)的图象恒过定点(-1,-1).15.-3,1] 解析:当x <0时,|f (x )|≥13,即1x ≤-13,∴x ≥-3;当x ≥0时,|f (x )|≥13,即⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≥13,∴x ≤1.综上不等式的解集是x ∈-3,1].解题技巧:本题主要考查了关于分段函数的不等式,解决本题的关键是分段求出不等式的解集,最后取并集.16.-2-x +3 解析:当x <0时,-x >0.∵当x >0时,f (x )=2x -3,∴f (-x )=2-x -3.又f (x )是定义在R 上的奇函数,∴当x <0时,f (-x )=2-x -3=-f (x ),∴f (x )=-2-x +3.17.解:(1)由函数图案过点A (0,1)和B (3,8)知,⎩⎪⎨⎪⎧k =1,k ·a -3=8,解得⎩⎨⎧ k =1,a =12,∴f (x )=2x .(2)函数g (x )=2x -12x +1为奇函数.证明如下: 函数g (x )定义域为R ,关于原点对称;且对于任意x ∈R ,都有g (-x )=2-x -12-x +1=1-2x 1+2x =-2x -12x +1=-g (x )成立.∴函数g (x )为奇函数.18.解:(1)设t =2x ,因为x ∈-1,1],∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,y =t -t 2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫t -122+14, ∴t =12时,f (x )max =14,t =2时,f (x )min =-2.∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-2,14. (2)设t =2x ,由f (x )>16-9×2x 得t -t 2>16-9t ,即t 2-10t +16<0,∴2<t <8,即2<2x <8,∴1<x <3,∴不等式的解集为(1,3).(3)方程有解等价于m 在1-f (x )的值域内,∴m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34,3. 19.解:(1)当t ∈0,1]时,设函数的解析式为y =kt ,将M (1,4)代入,得k =4,∴ y =4t .又当t ∈(1,+∞)时,设函数的解析式为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12t -a , 将点(3,1)代入得a =3,∴ y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12t -3. 综上,y =f (t )=⎩⎨⎧ 4t ,0≤t ≤1,⎝ ⎛⎭⎪⎫12t -3,t >1.(2)由f (t )≥0.25,解得116≤t ≤5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为5-116=7916(小时).解题技巧:解题时,先观察图形,将图形语言转化成符号语言.由图形可知这是一个一次函数、指数函数相结合的题目.根据条件设出解析式,结合图象中的已知点求出函数解析式,再利用分段函数的知识即可求解服药一次治疗疾病的有效时间.20.解:(1)由题知,f (x )的定义域是R ,∵f (x )是奇函数,∴f (0)=0,即f (0)=a 2+220+1=0, 解得a =-2.经验证可知,f (x )是奇函数,∴a =-2.(3)f (x )=-1+22x +1, ∵2x >0,∴2x+1>1,∴0<22x +1<2,-1<-1+22x +1<1, ∴-1<y <1.故f (x )的值域为(-1,1).21.解:(1)因为x ∈-1,1],所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3. 设t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,3,则φ(x )=t 2-2at +3=(t -a )2+3-a 2. 当a <13时,y min =h (a )=φ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=289-2a 3; 当13≤a ≤3时,y min =h (a )=φ(a )=3-a 2;当a >3时,y min =h (a )=φ(3)=12-6a .∴h (a )=⎩⎪⎨⎪⎧ 289-2a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a <13,3-a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤a ≤3,12-6a (a >3).(2)假设满足题意的m ,n 存在,∵m >n >3,∴h (a )=12-6a 在(3,+∞)上是减函数.∵h (a )的定义域为n ,m ],值域为n 2,m 2],∴⎩⎪⎨⎪⎧12-6m =n 2,12-6n =m 2,两式相减,得6(m -n )=(m -n )(m +n ). 由m >n >3,∴m +n =6,但这与m >n >3矛盾,∴满足题意的m ,n 不存在.解题技巧:本题主要考查了指数型函数的值域、存在性问题;解决存在性问题的关键是先假设存在,把假设作为已知条件进行推理,若推理合理则存在,若推理不合理则不存在.22.解:(1)当a =-12时,f (x )=1-12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13x +⎝ ⎛⎭⎪⎫19x .令t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,∵x <0,∴t >1,f (t )=1-12t +t 2.∵f (t )=1-12t +t 2在(1,+∞)上单调递增,∴f (t )>32,即f (x )在(-∞,1)的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫32,+∞. 故不存在常数M >0,使|f (x )|≤M 成立,∴函数f (x )在(-∞,0)上不是有界函数.(2)由题意知,|f (x )|≤4,即-4≤f (x )≤4对x ∈0,+∞)恒成立.令t =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,∵x ≥0,∴t ∈(0,1],∴-⎝⎛⎭⎪⎫t +5t ≤a ≤3t -t 对t ∈(0,1]恒成立, ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤-⎝⎛⎭⎪⎫t +5t max ≤a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3t -t min .设h (t )=-⎝ ⎛⎭⎪⎫t +5t ,p (t )=3t -t ,t ∈(0,1]. 由于h (t )在t ∈(0,1]上递增,p (t )在t ∈(0,1]上递减,h (t )在t ∈(0,1]上的最大值为h (1)=-6,p (t )在1,+∞)上的最小值为p (1)=2,则实数a 的取值范围为-6,2].。