第一部分:数量关系三大方法一、代入排除法1、什么时候用？题型:年龄,余数,不定方程,多位数(近年考得少,即如个位数与百位数对调等),题干长、主体多、关系乱的。
如:给出几个人的年龄关系,求其中某人的年龄。
2、怎么用？尽量先排除,再代入。
注:问最大值,则从选项最大值开始代入;反之,则从选项最小的开始代入。
二、数字特征法1、奇偶特性:(1)加减法在加减法中,同奇同偶则为偶,一奇一偶则为奇。
实际解题应用:与差同性,即a+b与a-b的奇偶性相同。
【例】共50道题,答对得3分,答错倒扣1分,共得82分。
问答对的题数与答错的题数相差多少题？A、 16B、 17C、 31D、33解:根据奇偶题型,a+b=50,为偶数,则a-b也为偶数,故选A。
(2)乘法在乘法中,一偶则偶,全奇为奇。
(其她不确定)如:4X一定就是偶数,5y可能为奇可能为偶,2个奇数相乘一定为奇数。
【例】5x+6y=76(x、y都就是质数),求x、y。
技巧:逢质必2,即考点有质数,质数2必考。
代入x=2【注:ax+by=c,仅当a、b为一奇一偶时可用奇偶特性,其她情况不能用。
如当a=4,b=6时,此时4x与6y均为偶数,无法确定x、y的特征。
】2、倍数特性(1)比例例:男女生比例3:5,则有:男生就是3的倍数女生就是5的倍数男女生总数就是8的倍数男女生差值就是3的倍数整除判定方法:一般口诀法:3与9瞧各位与。
4瞧末2位,如428,末两位28÷4=7,能被4整除,故428能被4整除。
8瞧末3位,原理同4。
2与5瞧末位。
没口诀的用拆分法:如7,判断4290能否被7整除,可将4290化成4200+90,90不能被7整除,故该数不能被7整除。
百分数转化技巧:拆分如:62、7%=50%+12、5%=1/2+1/8=5/887、5%=100%-12、5%=1-1/8=7/8(2)平均分组整除型:总数=ax余数型:总数=ax+b三、不定方程法:即未知数多于方程数ax+by=c(a,b为常数,求x,y)(1)未知数为整数时(如多少场比赛,多少人等)●奇偶法:当a、b恰好一奇一偶时适用。
如3x+4y=28。
●尾数法:当出现0或5时适用。
如:5x+7y=76,可知5x的尾数为0或5,则7y的尾数应为1或6,可知y应为3或8。
●倍数法:当a或b与c有相同因子时适用。
如,9x+7y=81,9与81有相同的因子,即都就是9的倍数,那么7y也必须就是9的倍数,故y=9。
注:当为方程组时,先消元化成一个方程再求解。
(消元时保留所求为未知数) 例:小王打靶共用了10发子弹,全部命中,都在10环、8环与5环上,总成绩为75环,则命中10环的子弹数就是(B)A、1发B、2发C、3发D、4发解:x+y+z=10① 10x+8y+5z=75②两式消元,①式化为5x+5y+5z=50,与②式相减得5x+3y=25,5与25都就是5的倍数,则3y也必须就是5的倍数,故y=5,求得x=2(2)未知数为非整数时(如多少时间,成绩等)采用赋0特殊值法。
(一般求几个未知数的系数与)例:木匠加工2张桌子与4张凳子共需要10小时,加工4张桌子与8张椅子需要22个小时。
问如果她加工桌子、凳子、椅子各10张,共需要多少个小时?A、 47、5B、 50C、 52、5D、 55解:提问为多少个小时,结果可为非整数,故采取赋值法。
桌子在两个条件都有出现,故赋值桌子为0,即4张凳子需10小时,即每张凳子需2、5小时;8张椅子需22小时,即每张椅子需2、75小时,故总时间为(2、5+2、75+0)*10=52、5小时。
第二部分:数量关系主要题型一,工程问题二,行程问题1、普通行程等距离上下坡、往返路程的平均速度:2v1v2/(v1+v2)火车过桥时间:t=(桥长+车长)/车速火车在桥上的时间:t=(桥长-车长)/车速2、相遇与追及相遇时间:t追及时间:t3、多次运动(1)直线第n次相遇第n次相遇,两人共走(2n-1)个全程。
有公式:(2n-1)s=(v1+v2)t如:a,b两地相距s,甲乙分别从两地出发相向而行,两人第2次相遇时,共走了2*2-1=3个s的路程。
有如下公式,甲乙两人分别从A,B两地出发相向而行,第一次相遇距离A地S1,第二次相遇距离A地S2,则有两地距离为:S=(3S1+S2)/2(2)环形第n次相遇即两人路程之与为n圈,有:ns=(V1+V2)t(3)环形第n次追及即两人路程之差为n圈,有:ns=(V1-V2)t4、顺水逆水问题V静=(V顺+V逆)/2V水=(V顺-V逆)/2三,经济利润1、普通利润利润率=(售价-成本)/成本(注意跟资料分析的区分)若:A/B=C/D则有:A/B=C/D=(A-C)/(C-D)该类型的题目,技巧性较少,一般要计算。
2、分段计算(如水费,电费)技巧性较少,一般分段计算后相加3、合并付费【例】某商品100元以内不打折,100-200元打9折,200元以上打8折。
购买两件商品,分别付费85元与192元。
请问如果一起购买,会比原来分开购买省多少钱？公式:省的钱数=便宜的商品原价*两件商品的折扣差解:第一件商品付85元,说明该商品没有打折,原价即为85元。
第二件商品付192元,说明该商品原价超过200元,即打了8折,两件商品折扣差为2折,省的钱数为:85*0、2=17元。
【同理,若第一件商品打9折,第二件商品打8折,省的钱数则为便宜的商品原价*0、1】四,排列组合组合:C(m,n)=C(n-m,n),(M为上标,n为下标)如:C(8,10)=C(2,10)注:对于排列A来说,上述公式不成立。
1、捆绑法:解决要求A,B相邻的问题【例】甲乙丙丁戊己6人排队照相,要求甲乙必须相邻,丙丁必须相邻。
问有多少种排队方法？解:将甲乙捆绑,内部形成2种排队方法;同样,将丙丁捆绑,内部形成2种排队方法。
捆绑后,甲乙瞧做一人、丙丁瞧做一人,共4人参与排队,即A(4,4)故总数为2*2*A(4,4)=96种。
2、插空法:解决要求A,B不相邻的问题【例】甲乙丙丁戊己6人排队照相,要求甲乙不相邻相,且甲乙不能站两边。
问有多少种排队方法？解:先考虑将能相邻的人进行排队,即有A(4,4)=24种。
再考虑这4个人排队共形成了5个空位(包括两边),但要求甲乙不能站两边,故只剩下3个空位,即A(3,2)=6种。
最后,两步相乘,得24*6=144种。
3、插板法(隔板法):解决分东西的问题。
公式1:满足此类结构的,即将n个东西分给m个人,每个人至少一个,则其方法有(m-1,n-1)种。
【例】将8个苹果分给3位小朋友,每人至少分1个,问有多少种分法？共有C(2,7)=21种。
公式2:将n个东西分给m个人,每个人至少x个(x＞1),则先分x-1个,剩下的用公式1。
【例】领导要将20项任务分给三个下属,每人至少分三项,有多少种方法？解:先考虑每人分3-1=2项,共分了6项,还剩14项;即在14项中,每人至少分一项,即可满足条件的每人至少三项,故有C(3-1,14-1)=C(2,13)=78种。
4、枚举法:解决特殊情况,如有不同面值的硬币若干,组成某面值(不能找零),问有多少种方法。
【注,枚举时,从大到小不容易出错。
】5、错位排列:即A不放在A的位置,B不放在B的位置如此类推。
公式:1个元素,有0种错位放法。
2个元素,有1种。
3个元素,有2种。
4个元素,有9种。
5个元素,有44种。
6、概率五,容斥原理(1)标准公式:A+B+C-( A∧B+ A∧C+B∧C) + A∧B∧C=总人数-都不满足题型常如下:喜欢登山x人,喜欢跑步y人,喜欢篮球z人,既喜欢登山又喜欢跑步a人,既喜欢登山又喜欢篮球b人,既喜欢跑步又喜欢篮球c人,三种都喜欢d 人。
(2)非标准公式:A+B+C-仅满足2个条件人数-2*满足3个条件人数=总人数-都不满足题型常如下:喜欢登山x人,喜欢跑步y人,喜欢篮球z人,喜欢两种运动的有a人,,三种都喜欢b人。
两种公式应用区分:对于满足两项的人数,如果分开有三个数字描述,则用标准公式;如果只就是用一个数字概述了,则用非标准公式。
【增加】总结变形公式:总人数-都不满足=只满足1种+只满足2种+满足3种=只满足1种+(至少满足2种-3*满足3种)+满足3种=只满足1种+至少满足2种-2*满足3种例:有135人参加某单位的招聘,31人有英语证书与普通话证书,37人有英语证书与计算机证书,16人有普通话证书与计算机证书,其中一部分人有三种证书,而一部分人则只有一种证书。
该单位要求必须至少有两种上述证书的应聘者才有资格参加面试。
问至少有多少人不能参加面试？解:设只有一种证书的有x人,有三种证书的有y人,则有:135=x+(31+37+16-3y)+y化简有:x-2y=51。
要求x最小,即2y应最小,且y＞0,故y=1,x=53。
六,最值问题1、至少xxx保证xxx:构造最不利情况+1七,周期问题1、“每隔n天”,周期为n+1【注意:每隔n米种树,每隔n小时,每隔n分钟不用+1】2、过n年星期计算第一步:过了n年,星期+n第二步:在给出的时间范围,就是否包括闰年的2月份,如有,如过了一个闰年,则星期再+1,如过了两个闰年,则星期再+2,如此类推。
如没有闰年,则星期为第一步的结果。
例1:2017年12月10日就是周日,问2020年12月10日就是周几？解:第一步,2020-2017=3,即星期先+3,为周三第二步,2017、12、10到2020、12、10之间,2020年为闰年,且2月在该范围内,因此星期再+1。
即,2020、12、10就是周四。
例2:2012年3月1日就是周四,问2017年3月1日就是周几？解:第一步:2017-2012=5,即星期先+5,为周二;第二步: 2012、3、1到2017、3、1有两个闰年,分别就是2012与2016,但2012年的2月不含在该时间范围,只有2016年的2月含在该范围,故星期再+1,即,2017、3、1就是周三。
3、过n个月星期计算过大月——星期+3(31除以7余3)过小月——星期+2(30除以7余2)过2月——平年时星期不变(28除以7没有余数),闰年就是星期+1(29除以7余1)例1:2017、5、1就是周一,问2017、7、1就是周几？解:共过了2017、5与2017、6两个月,分别+2、+3,即2017、7、1就是周六。
例2:2017、1、31就是周二,问2017、3、31就是周几？解:共过了2017、2与2017、3两个月,分别+0、+3,即2017、3、31就是周五。
例3:假如今年2月有五个周日,问下一年的劳动节就是周几？解:2月有五个周日,即2、29为周日(2、1与2、29都就是周日,因为日期相差28),故今年3、1就是周一,且今年就是闰年,则今年5、1就是周六(过了3月+3,4月+2),则下一年5、1就是周日。