高考数学高三模拟试卷试题压轴押题高三第一次模拟试题高三数学(理科)考生须知1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟。

2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。

第I 卷 选择题（共40分）一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项，直接涂在答题卡上。

1.已知集合2{|}0M x x x ∈-=R ＝，{|}21,N x x n n ==∈Z ＋，则MN 为( )A ．{}0B ．{}0,1C ．{}1D ．φ2．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m =（ ） A ．4B ．2C ．12D ．143.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x x y ，则目标函数y x z +=2的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．94．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、英语竞赛，其中学生甲不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ） A ．24 B ．48 C ．72 D ．1205.已知二次函数2()f x ax bx =+，则“0)2(≥f ”是“函数)(x f 在），（∞+1上为增函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．223 C ．476D ．2337．向量(2,0)a =，(,)b x y =，若b 与b a -的夹角等于6π，则b 的最大值为（ ） A ．4B ．23C ．2D 438．一个人骑车以6米/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽车,当他离汽车25米时，交通信号灯由红变绿,汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同),若汽车在时刻t 的速度()v t t =米/秒，那么此人（ ） A ．可在7秒内追上汽车B ．不能追上汽车,但其间最近距离为16米C ．不能追上汽车,但其间最近距离为14米D ．不能追上汽车,但其间最近距离为7米第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。

把答案填在答题卡指定位置。

9．已知复数z 满足(1)1i z i +=-，则复数z =____．10．执行如下图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为____．11．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=，现在向该正方形区域内随机地投掷一支飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是____．12．如图所示，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心．已知6=PA ，223AB，12=PO ．则圆O 的半径____=R ．13．已知直线l 过点)2,3(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点，O 为坐标原点，则∆OAB 面积的最小值为____，此时，直线l 的方程为____．E14．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对x ∀∈R ，都有(4)()(2)f x f x f +=+成立．当1x ，2[0,2]x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x -<-，给出下列命题：（1）(2)0f =；（2）直线4x =-是函数()y f x =图象的一条对称轴；（3）函数()y f x =在[4,4]-上有四个零点；（4）()()20151f f =.其中所有正确命题的序号为____．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x π=--∈+R .（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12f A =，且△ABC 3，求a 的值.16.（本小题共13分）为了解今年某校高三毕业班报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3组的频率之比为1:2:3，其中第2组的频数为12.（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X 表示体重超过60公斤的学生人数，求X 的分布列和数学期望.17.（本小题共14分）在如图所示的多面体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ， BC AC ⊥，且22====AE BD BC AC ，M 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：CM ⊥EM ；（Ⅱ）求平面EMC 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值； （Ⅲ）在棱DC 上是否存在一点N ,使得直线MN 与平面EMC所成的角为60︒．若存在，指出点N 的位置；若不存在，请说明理由．18．（本小题共13分）已知21()ln(1)2f x ax x x =-+-+，其中0>a ．(Ⅰ)若函数()f x 在点(3,(3))f 处切线斜率为0，求a 的值； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)若()f x 在[)0,+∞上的最大值是0，求a 的取值范围．19.（本小题共14分）动点),(y x P 到定点)0,1(F 的距离与它到定直线4:=x l 的距离之比为21. (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ） 已知定点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(4,)Q t 在直线l 上，作直线AQ 与轨迹C 的另一个交点为M ,作直线BQ 与轨迹C 的另一个交点为N ，证明：,,M N F 三点共线.20．（本小题共13分）下表给出一个“等差数阵”：其中每行、每列都是等差数列，ij a 表示位于第i 行第j 列的数.（I ）写出45a 的值；（II ）写出ij a 的计算公式；（III ）证明：正整数N 在该等差数阵中的充要条件是21N +可以分解成两个不是1的正整数之积..房山区高三第一次模拟试题高三数学(理科) 参考答案一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分）9．i -; 10.8; 11.1; 12.8；13.,1201232=-+y x ; 14.（1）（2）（4）三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。

共80分）15．（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵x x x x x x f 2cos 2cos 212sin 231cos 2)62sin()(2+-=-+-=π………………2分x x 2cos 212sin 23+==)62sin(π+x ………………3分 由∈+≤+≤+-k k x k (226222πππππZ)得，∈+≤≤+-k k x k (63ππππZ) 5分∴)(x f 的单调递增区间是∈++-k k k ](6,3[ππππZ)………………7分（Ⅱ）∵21)62sin()(=+=πA A f ，π<<A 0，62626ππππ+<+<A 于是6562ππ=+A ∴3π=A ………………10分∵ABC ∆由正弦定理2sin aR A=，得2sin 32a R A ===， ………………13分 16．（本小题共13分）解：（I ）设报考飞行员的人数为n ,前三小组的频率分别为321,,p p p ，则由条件可得：213112323(0.0370.013)51p p p p p p p =⎧⎪=⎨⎪++++⨯=⎩ 解得，1230.125,0.25,0.375.p p p === 又因为2120.25,p n==故n 48=………………5分 (II)由（I ）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为35(0.0370.013)5,8p p =++⨯=服从二项分布故X ，()kk k C k X P -⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==338385∴随机变量X 的分布列为：则815512125351222525121351512270=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ，或815853=⨯==np EX ． ………………13分17．（本小题共14分） （I ）证明：,AC BC M =是AB 的中点CM AB ∴⊥．又 EA ⊥平面ABC ，CM EA ⊥．EA AB A CM =∴⊥平面AEM ∴EM CM ⊥………………4分（Ⅱ）以M 为原点，分别以MB ,MC 为x ，y 轴，如图建立坐标系M xyz ，则(0,0,0),2),(2,0,1)M C B D E ( 2.0.1),(0,2,0),(0,0,2),(2,2,0)ME MC BD BC设平面EMC 的一个法向量111(,,)m x y z ，则1110z ⎧+=⎪=取1111,0,x y z ===m =设平面DBC 的一个法向量222(,,)n x y z ，则22220y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩取1111,1,0x y z ===，所以(1,1.0)n=66321=⨯==所以平面EMC 与平面BCD 分 （Ⅲ）设(,,)N x yz 且DN DC λ=,01λ≤≤,2)(2),,,22x y z x y z λλ∴--=-===-（(2,22)MN λ=-若直线MN 与平面EMC 所成的角为060，则()()()2360sin 142123222220222==-++--+-=λλλλλ 解得：12λ=，所以符合条件的点N 存在，为棱DC 的中点. ………………14分18．（本小题共13分）解：(Ⅰ)由题意得f′(x)＝－ax2－a －1xx ＋1，x∈(－1，＋∞)，由f′(3)＝0⇒a ＝14．………………3分(Ⅱ)令f′(x)＝0⇒x1＝0，x2＝1a －1，①当0<a<1时，x1<x2，f(x)与f′(x)的变化情况如下表x (－1,0) 0 (0，1a －1)1a －1 (1a－1，＋∞) f′(x) －0 ＋0 －f(x)f(0)f(1a－1)∴f(x)的单调递增区间是(0，1a－1)，f(x)的单调递减区间是(－1,0)和(1a －1，＋∞)；②当a ＝1时，f(x)的单调递减区间是(－1，＋∞)； ③当a>1时，－1<x2<0f(x)与f′(x)的变化情况如下表x (－1，1a －1)1a －1 (1a －1,0) 0 (0，＋∞)f′(x) －0 ＋0 －f(x)f(1a－1)f(0)∴f(x)的单调递增区间是(1a－1,0)，f(x)的单调递减区间是(－1，1a －1)和(0，＋∞)．综上，当0<a<1时，f(x)的单调递增区间是(0，1a－1)．f(x)的单调递减区间是(－1,0)，(1a －1，＋∞)，当a>1，f(x)的单调递增区间是(1a －1,0)．f(x)的单调递减区间是(－1，1a－1)，(0，＋∞)．当a ＝1时，f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)．………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知当0<a<1时，f(x)在(0，＋∞)的最大值是f(1a －1)，但f(1a －1)>f(0)＝0，所以0<a<1不合题意，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由f(x)≤f(0)可得f(x)在[0，＋∞)上的最大值为f(0)＝0，符合题意，∴f(x)在[0，＋∞)上的最大值为0时，a 的取值范围是a≥1．………………13分 19．（本小题共14分）解： (Ⅰ)由题意得21|4|)1(22=-+-x y x ，………………2分化简并整理，得13422=+y x . 所以动点),(y x P 的轨迹C 的方程为椭圆13422=+y x . ………………5分 （Ⅱ）当0=t 时，点B M 与重合，点A N 与重合，,,M N F 三点共线. ………7分当0≠t 时 根据题意：:(2),:(2)62t tQA yx QB y x 由()2214326x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消元得：2223(2)1209t x x 整理得：2222(27)441080tx t x t该方程有一根为2,x另一根为M x ,根据韦达定理，222241085422,2727MMt t x x t t 由()2214322x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 消元得：2223(2)120x t x 整理得：2222(3)44120tx t x t该方程有一根为2,x另一根为N x ,根据韦达定理， 2222412262,33NNt t x x t t 当M N x x 时，由222254226273t t t t 得：29,t 1MNx x ，,,M N F 三点共线；当MN x x 时，218(2)627MM t t y x t ，26(2)23N N t ty x t 22221862754219127M MFM t y t t k t x t t ；2222663261913N NFN ty t t k t x t t NF MF K k =，,,M N F 三点共线.综上，命题恒成立. ………………14分20．（本小题共13分）（I ）解：a45=49.………………3分（II ）解：该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j=4+3（j －1），第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j=7+5（j －1），……第i行是首项为4+3（i－1），公差为2i+1的等差数列，因此aij=4+3（i－1）+（2i+1）（j－1）=2ij+i+j=i（2j+1）+j.………………7分（III）证明：必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i、j使得N=i（2j+1）+j，从而2N+1=2i（2j+1）+2j+1=（2i+1）（2j+1），即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k、l，使得2N+1=（2k+1）（2l+1），从而N=k（2l+1）+l=akl，可见N在该等差数阵中.综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积………………13分高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷4. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，（3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18（C ）12 （D ）9（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12(k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34（9）若cos(π4–α)=35，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2mn （11）已知F1，F2是双曲线E 22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠=,则E 的离心率为（AB ）32（CD ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。