中点，求 A1C1 与 EF 所成角的 易知 A1D∥B1C，从而 B1C 与 AC 所
大小．
成的角就是 AC 与 A1D 所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°. 即 A1D 与 AC 所成的角为 60°.
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题型三
异面直线所成的角
【例 1】 正方体 ABCD—
要点梳理
难点正本 疑点清源
2．直线与直线的位置关系
异面直线不能错 误地理解为不
(1)位置关系的分类
在某一个平面 内的两条直线
共面直线
平行 相交
异面直线：不同在 任何 一个平面内
就是异面直 线．
(2)异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过 空间任一点 O 作直线 a′∥a，b′∥b， 把 a′与 b′所成的锐角(或直角) 叫作 异面直线 a，b 所成的角(或夹角)．
∴EF∥BD，
∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°.
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题型三
异面直线所成的角
【例 1】 正方体 ABCD—
思维启迪 解析 探究提高
A1B1C1D1 中，
求异面直线所成的角常采用“平移
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； 线段法”，平移的方法一般有三种类
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要点梳理
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②范围：0，π2. 3．直线与平面的位置关系有 平行、
相交 、 在平面内 三种情况． 4．平面与平面的位置关系有 平行 、
相交 两种情况． 5．平行公理
平行于同一条直线 的两条直线互相 平行．
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大小．
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题型三
异面直线所成的角
【例 1】 正方体 ABCD—
思维启迪 解析 探究提高
A1B1C1D1 中，
解 (1)如图所示，连
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； 接 B1C，由 ABCD—
(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的 A1B1C1D1 是正方体，
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易错警示
11.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
【例 2】 l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面
D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面
思维启迪 解析 探究提高
A1B1C1D1 中，
(2) 如 图 所 示 ， 连 接
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； AC、BD，在正方体
(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的 中点，求 A1C1 与 EF 所成角的 大小．
ABCD—A1B1C1D1 中 ， AC⊥BD ，
AC∥A1C1， ∵E、F 分别为 AB、AD 的中点，
则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于
( C)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析 如图，可补成一个正方体，
∴AC1∥BD1. ∴BA1 与 AC1 所成角的大小为∠A1BD1. 又易知△A1BD1 为正三角形， ∴∠A1BD1＝60°. 即 BA1 与 AC1 成 60°的角．
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异面直线所成的角
【1】 正方体 ABCD—
思维启迪 解析 探究提高
A1B1C1D1 中，
(1)平移A1D到B1C，找出AC与A1D
(1)求 AC 与 A1D 所成角的大小； 所成的角，再计算．(2)可证A1C1
(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的 与EF垂直．
中点，求 A1C1 与 EF 所成角的
1．公理的作用 公理 1 的作用是判断直 线是否在某个平面内； 公理 2 及其推论给出了 确定一个平面或判断 “直线共面”的方法；公理 3 的作用是如何寻找两 相交平面的交线以及证 明“线共点”的理论依据； 平行公理是对初中平行 线的传递性在空间中的 推广．
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D．l1，l2，l3 共点⇒l1，l2，l3 共面
易错分析
解析
答案
温馨提醒
由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、 线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种 位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．
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6．定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角 相等或互补 .
2．正确理解异面直线的 定义：异面直线不同 在任何一个平面内， 没有公共点．不能错 误地理解为不在某一 个平面内的两条直线 就是异面直线．
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易错警示
11.点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
【例 2】 l1，l2，l3 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3 共面
(2)若 E、F 分别为 AB、AD 的 型：利用图中已有的平行线平移；
中点，求 A1C1 与 EF 所成角的 利用特殊点(线段的端点或中点)作
大小．
平行线平移；补形平移．计算异面
直线所成的角通常放在三角形中
进行.
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变式训练 1 直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，
数学 北(理)
§8.3 空间点、直线、平面 之间的位置关系
第八章 立体几何
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难点正本 疑点清源
1．平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的 两点 在一 个平面内，那么这条直线上所有的点都 在这个平面内． 公理 2：经过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面．(即可以确定一个平 面) 公理 3：如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么它们有且只有 一条 通过 这个点的公共直线．