a 0
x2bdx

ba3
3

ma2 3
d
a2 d k 2ba4 0 / 2 d t 3kba2
I AB
dt
M AB
3
m dt

4


dt
2
0
0 4m
t

4m
3kba20
3.16)一矩形板ABCD在平行自身的平面内运动, 其角速度为定值
. 在其一瞬时, A点的速度为v, 其方向则沿对角线AC. 试求此瞬
别为a,b. 则当平衡时, AB和竖直直线所成的角满足下列关系
tan

a2
b2 2ab
解: 研究对象为ABC结构,受力分析如图. 按照题意,知道
R
A
B m1g

m1 a, m2 b
m2g C
平衡时:
n
MA 0
i1
m1g
a 2
sin

m2
g

b 2
cos

a sin

tan

(m1
m2b 2m2 )a
tan b2
(a 2b)a
3.5)一均质的梯子, 一端置于摩擦系数为1/2的地板上, 另一端 则斜靠在摩擦系数为1/3的高墙上,一人的体重为梯子的三倍, 爬到 梯的顶端时, 梯尚未开始滑动, 则梯与地面的倾角,最小当为若干?
解: 研究对象为梯子, 人在顶端时,梯子与地面的夹角为, 梯子
度 .
解: 研究对象为棒, 受力分析如图. 建立直角坐标系为x轴水 平向右, y竖直向上
平衡方程
R 2l
B
Fy 0 R cos mg
n
MA 0
i 1
Rd lmg cos cos
A
cos3

d


cos1
d
1/ 3

l
l

mg
N
d
第3.2题图
3.3)两根均质棒AB、BC在B处刚性联结在一起, 且角ABC形成 一直角. 如将此棒的A点用绳系于固定点上, 棒AB和BC的长度分
cos cos cos 3
3
对
I xx
y2 z2
dm
a/2 a/2 a/2
dx dy
y2 z2
dz
a5

a/2 a/ 2 a/2
6
同理 对角线转动惯量
I yy

I zz

a5 6

I

I xx
cos2

I yy
cos2
k d 32
解: 这是一个求解转动惯量的问题.对任一轴线转动惯量为:
I Ixx cos2 I yy cos2 Izz cos2 2Ixy cos cos 2Ixz cos cos 2I yz cos cos
设立方体密度为ρ, dm=ρ dxdydz, M=a3 ρ. 现选取过质心为原点, 平行各边为轴的坐标系,则惯量积为零.
解:在匀质薄片上沿AD方向取一宽为dx长条
B
C
做微元,到转轴的距离为x
b
每一个微元受空气阻力 df k(x)2bdx
整个薄片受阻力矩为:
Aa
D
M f
dM f

a
kx(x)2bdx
0
k 2ba 4
4
整个薄片绕AB轴的转动惯量为: I AB x2dm


a2 b2
vB OB
v2 2v
ab 2a2
a2 b2
3．20)质量为M、半径为r的均质圆柱体放在粗糙水平面上. 柱的
外面绕有轻绳, 绳子跨过一个很轻的滑轮, 并悬挂一质量为m的物
体, 设圆柱体只滚不滑, 并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的, 求
圆柱体质心的加速度a1, 物体的加速度a2及绳中张力T.
第十四讲 作业复习(二)
3.1)半径为r的光滑半球形碗, 固定在水平面上. 一均质棒斜靠在
碗缘, 一端在碗内, 一端则在碗外, 在碗内的长度为c, 试证棒的全
长为
4 c2 2r2
c
证: 研究对象为棒, 建立直角坐标系并 受力分析如图.
y
R

A
N x
B
平衡方程
mg
Fx 0 R cos mg sin R mg tan
时B点的速度.以v, 及矩形的边长等表示之假定AB＝a, BC＝b.
解1:用解析法,选取坐标如图, 以A为基点

vvBBx
vA rBA vAx yB
and
vBy vAy xB
vBx vAx vA cos vA
yB 0, xB a
解:这是平面平行运动, 对象圆柱和 物体 受力分析如图,坐标系向右,向
T
下为正
N
T
物体 : ma2 mg T
圆柱 : Ma1 T f
I0
d
dt

T

f
R, I0

1 2
MR2
Mr
f Mg
m mg
xC
R , d
dt

xC R

a1 R
a1

4mg 3M 8m


I zz
cos2

a5 6


a2 6
M
3.12)矩形均质薄片ABCD,边长为a与b, 重为mg, 绕竖直轴AB以初
角速0转动. 此时薄片的每一部分均受到空气的阻力, 其方向垂直
于薄片的平面, 其值与面积及速度平方成正比,比例系数为k. 问经
过多少时间后，薄片的角速度减为初速度的一半?
n MB 0
i 1
Rc sin mg cos c l
2
ห้องสมุดไป่ตู้
又几何条件
r 2 (c / 2)2
tan
c/2
联立上述方程, 得
l 4 c2 2r2 c
3.2)长为2l的均质棒, 一端抵在光滑墙上, 而棒身则如图示斜靠 在与墙相距为d的光滑棱角上.求棒在平衡时与水平面所成的角
重量p, 人重3p.
y
平衡时:
A
NA
3p
n
Fx 0
i 1
n
Fy 0
i 1
1 2
NB

NA
1 3
NA

NB

4p
p
NB

B
x
n
MB 0
i 1

p
l 2
l

3 pl

1 3
N
Al

cos


N Al
sin


0
tan 41
24
3.9)证明对角线长度为d的立方体绕其对角线转动的回转半径为
a a2 b2
vBy vA sin a vA
b a
a2 b2
O
A


D
a
y
B b
x
C
解2:用寻找瞬心法,过A做vA垂线，瞬心在O点，距离A为vA/. 连OB， 因角+=90o， 所以
OB OA2 AB2 2OA AB cos 1 v2 2v ab 2a2