浙江高考数列经典例题汇总1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221Λ.若{}na 为等比数列，且.6,2231b ba +==(Ⅰ)求na 与nb ；(Ⅱ)设()*∈-=N n b a c nn n 11。
记数列{}n c 的前n 项和为n S .（i ）求nS ；（ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有nk S S ≥．2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及nS（Ⅱ）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较nA 与nB 的大小.3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，22111()n n n a a a n N •+++-=∈．nn a a a S +++=Λ21)1()1)(1(1)1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++=ΛΛ．求证：当•∈N n 时，（Ⅰ）1+<n n a a ；（Ⅱ）2->n S n ；（Ⅲ）3<n T 。
4. 【2007年.浙江卷.理21】（本题15分）已知数列{}n a 中的相邻两项21,2k ka a -是关于x的方程的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤=L（Ⅰ）求1,357,,a a a a ；（Ⅱ）求数列{}n a 的前2n 项的和2nS ；（Ⅲ）记1|sin |()(3)2sin n f n n =+，(2)(3)(4)(1)123456212(1)(1)(1)(1)f f f f n n n n T a a a a a a a a +-----=++++L 求证：*15()624n T n N ≤≤∈5. 【2005年.浙江卷.理20】设点n A (nx ，0)，1(,2)n n n P x -和抛物线nC ：y ＝x2＋an x ＋bn(n∈N*)，其中an ＝－2－4n －112n -，nx 由以下方法得到： x1＝1，点P2(x2，2)在抛物线C1：y ＝x2＋a1x ＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点11(,2)n n n P x ++在抛物线nC ：y ＝x2＋an x ＋bn 上，点n A (nx ，0)到1n P +的距离是nA 到nC 上点的最短距离．(Ⅰ)求x2及C1的方程．(Ⅱ)证明{nx }是等差数列．6. 【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）7.【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ．（I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．例1．（浙江省新高考研究联盟2017届高三下学期期初联考）已知数列{}n a 满足a 1=3，a n+1=a n 2+2a n ，n ∈N* ， 设b n =log 2(a n +1).（I ）求{a n }的通项公式；（II ）求证：1+<n(n≥2)；（III ）若2n c=b n ，求证：2≤1()nn nc c +<3.例2．（浙江省温州中学2017届高三3月高考模拟）正项数列{}n a 满足221132n n n n a a a a +++=+，11a =．（Ⅰ）求2a 的值；（Ⅱ）证明：对任意的n N *∈，12nn a a +≤；（Ⅲ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：对任意的n N *∈，11232n n S --≤<．例3．（浙江省温州市十校联合体2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足21111,8n n a a a m +==+，(1)若数列{}n a 是常数列，求m 的值； （2）当1m >时，求证：1n n a a +<；（3）求最大的正数m ，使得4n a <对一切整数n 恒成立，并证明你的结论。
例4．（浙江省温州市2017届高三下学期返校联考）设数列均为正项数列，其中，且满足：成等比数列，成等差数列。
（Ⅰ）（1）证明数列是等差数列；（2）求通项公式，。
（Ⅱ）设，数列的前项和记为，证明：。
例5．（浙江省台州市2017届高三上学期期末质量评估）已知数列{}n a 满足112a =，，212016n n n a a a a +=+，n N *∈ (1) 求证1n na a +>(2) 求证20171a <(3) 若证1k a >，求证整数k 的最小值。
例6.（浙江省杭州高级中学2017届高三2月高考模拟考试）数列{}n a 定义为10a >，11a a =，2112n n n a a a +=+，n N *∈（1）若1(0)12aa a a=>+，求1210111222a a a ++⋅⋅⋅++++的值； （2）当0a >时，定义数列{}n b ，1(12)k b a k =≥，11n b +=-数,()i j i j ≤，使得2112i j b b a a +=++。
如果存在，求出一组(,)i j ，如果不存在，说明理由。
例7．（2017年浙江名校高三下学期协作体）已知函数4()415f x x =+，（Ⅰ）求方程()0f x x -=的实数解；（Ⅱ）如果数列{}n a 满足11a =，1()n n a f a +=（n N *∈），是否存在实数c ，使得221n n a c a -<<对所有的n N *∈都成立？证明你的结论．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，证明：114nS n<≤．例8．（2017年4月湖州、衢州、丽水三地教学质量检测）数列{}n a 满足112a =，2121n n n n a a a a +=-+n +∈N （） （1）证明：n n a a <+1；（2）设}{n a 的前n 项的和为n S ，证明：1n S <.例9．（2017年4月浙江金华十校联考）数列{}n a 满足112a =，11n n a a n+=g n +∈N （） (1) 求证：21n n a an n +<+； (2)求证：3421111....23(1)n n a a n a +-≤+++≤+例10．（2017年4月杭州高三年级教学质量检测）已知数列数列{}n a 的各项均为非负数，其中前n 项和为n S ，且对任意N n +∈，都有212n n n a a a +++≤（1） 若11a =，5052017a =，求6a 的最大值（2） 对任意N n +∈，都有1Sn ≤，求证120(1)n n a a n n +≤-≤+1设数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n +=-+∈N ，n S 为{}n a 的前n 项和.证明：对任意*n ∈N ， （Ⅰ）当101a ≤≤时，01n a ≤≤；（Ⅱ）当11a >时，()1111n n a a a ->-；（Ⅲ）当112a =时，n n S n -<.2．已知数列{}n a 满足2111()2n n n a a a ba n *+==+∈N 且 (1) ,1-=b 求证:211≤≤+n n a a (2) ,2=b 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n a 211的前n S n 项和为，求证:1321<<-n n S3．已知各项均为正数的数列{}n a ，11=a ，前n 项和为n S ，且122-=-n n n S a a . (1) 求证：4212++<n n n a a S (2)求证：212121-<+⋯⋯++<+n n n S S S S S4．设()())(,,)(,2211x f x B x f x A 是函数xx x f -+=1log 21)(2的图象上的任意两点. （1）当121=+x x 时，求)()(21x f x f +的值；（2）设⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1111211n n f n n f n f n f S n Λ，其中*n ∈N ，求n S ； （3）对于（2）中的n S ，已知211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n S a ，其中*n ∈N ，设n T 为数列{}n a 的前n 项的和，求证:3594<≤n T .5．给定正整数n 和正数M .对于满足条件2211n a a M ++≤的所有等差数列123,,,a a a …， 1221=n n n S a a a +++++…+，(1)求证：2251S Mn ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭6．已知数列}{n a 满足31=a ，n n n a a a 221+=+，*,2n n ∈≥N ，设)1(log 2+=n n a b . （Ⅰ）求}{n b 的前n 项和n S 及}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：)2(1131211≥<-+⋅⋅⋅+++n n b n；（III ）若n c b n =2，求证：3)(21<≤+nnn c c .7．已知数列满足， （1）若数列是常数列，求m 的值；（2）当时，求证：；（3）求最大的正数，使得对一切整数n 恒成立，并证明你的结论.8．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且32,2n n nS a =- *∈n N . {}n a 21111,8n n a a a m +==+{}n a 1m >1n n a a +<m 4n a <（1）求证1{}2n n a -为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{}nS 的前n 项和为n T ，是否存在正整数λ，对任意*m n ,,-0∈<m n T S λN 不等式恒成立？若存在，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由9．已知数列{}n a 满足：()()21121,1n n n a a a a n n *+==+∈+N . （Ⅰ）证明：()12111n n a a n +≥++； （Ⅱ）证明：()12113n n a n n ++<<++.10．已知数列{}n a 满足：11=a ，221)1(++=+n a a a n n n ．(*n ∈N )， 证明：当*n ∈N 时， (Ⅰ) 21)1(11++≥+n a a n n ； (Ⅱ) 13)1(21+<<+++n a n n n .11．已知数列}{n a 满足521=a ，n n n a a a -=+321，n *∈N . （1）求2a ，并求数列}1{na 的通项公式； （2）设}{n a 的前n 项的和为n S ，求证：1321))32(1(56<≤-n n S .12．数列{}n a 满足11=a ，1221+=+n a n a n n n +∈N （）（1）证明：n n a a <+1；（2）证明：nn a a a a a a n n 1213221-+≤+⋯⋯+++； （3）证明：41>n a .13．对任意正整数n ，设n a 是关于x 的方程31x nx -=的最大实数根（11n n a a +<<<（2）当4n ≥时，对任意的正整数m ，2n m n a a +<-<（3）设数列21{}n a 的前n 项和为n S ，求证：ln(1)13n n S +<<+。