第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。

（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。

（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

重点·难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。

学法指导上面数的整除特征可以结合例子来理解。

例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。

因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。

记忆要理论联系实际。

经典例题[例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。

一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。

解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。

如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8，因此除1988外，还有1889、8918与8819共四个被11除余8的四位数。

[例2]如果下面这个41位数□能被7整除，那中间方格内的数字是几?思路剖析对于数555555，由于555–555=0是7的倍数，根据能被7整除的数的特征，555555也能被7整除；同理999999也能被7整除，所以和也能被7整除，所以我们可以把这个41位数分成几个数的和，其中部分能被7整除。

解答□=+55□99，上式等号右边的三个加数中，第一个和第三个加数都能被7整除，由此可推出55□99能被7整除，所以55□99能被7整除。

根据能被7整除的数的特征，□99－55=□44也能被7整除，可推理得□内应为6。

[例3]有一堆苹果，要装在46个箱子里，其中有45个大箱子和一个小箱子，而小箱子装的苹果只相当于大箱装的数量的一半，现有个苹果，如果规定按箱子大小平均分装苹果数是否能办到？思路剖析由于大小箱子装的苹果的数量不一致，不便于解题，所以我们可以统一成小箱子，则应有2×45+1=91个小箱子，那么是否恰好装完，并符合要求，关键是看总苹果数能否被91整除，由于91=7×13，所以由整除的性质，只需要考虑7、13是否能整除总苹果数。

由于13整除4979，而7整除497949794979，那么必定有91整除497949794979，因为99÷3=33，所以容易推出91整除，所以能把苹果按规定装入箱子中。

解答2×45+1=91（个），7×13=91，因为13整除4979，7整除497949794979，所以91整除497949794979，则91整除。

答：可以做到按箱子大小平均分装苹果。

[例4]求能被26整除的六位数。

思路剖析因为26=2×13，所以由整除的性质得能分别被2和13整除。

所以解此题可以从2整除入手。

解答因为2整除，所以y可能取0、2、4、6、8。

又因为13整除，所以13能整除与的差。

当y=0时，由于13整除910，而13又要整除与910之差，所以13整除。

又因为=100x+19=（7×13+9）x+19=7×13x+9x+13+6，所以根据数的整除性质得13整除9x+6，经试验可知，只有当x=8时，13整除9x+6，所以当y=0时，符合题意的六位数是819910。

当y=2时，因为13整除，所以13整除与912之差，而912=910+2，所以13整除与2之差；与前面的相仿，=7×13x+13+9x+6，所以13整除9x+6－2，即13整除9x+4。

经试验可得，只有当x=1时，13整除9x+4。

所以当y=2时，符合题意的六位数是119912。

同理，当y=4时，13整除9x+6－4，即13整除9x+2，经试验可知，当x=7时，13整除9x+2，所以当y=4时，符合题意的六位数是719914。

同理，当y=6时，13整除9x+6－6，即13整除9x。

经试验可知，x无解（因为x是的最高位数码，所以x≠0）。

所以当y=6时，找不到符合题意的六位数。

同理，当y=8时，13整除9x+6—8，即13整除9x—2。

经试验得，只有当x=6时，13整除9x—2。

所以当y=8时，符合题意的六位数是619918。

答：满足本题意条件的六位数共有819910、119912、719914和619918四个。

[例5]从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数中选出5个不同的数，组成一个五位数，使它能被3、5、7、13同时整除，这个数最大是多少？思路剖析这道题如果从10个数字中选出5个不同的数，组成一个五位数，再逐个判断每个五位数能否同时被3、5、7、13整除，那是非常麻烦的。

可以先从整体上考虑，因为3、5、7、13这四个数两两互质，且3×5×7×13=1365，那么我们要找的数就是在五位数中能被1365整除的最大的那个数。

那我们只需用一个自然数去与1365相乘，使积尽可能大且是一个五位数即可（注意，五位数中不能出现相同数字）。

解答设1365×a（a是自然数）的积是要求的五位数，可知：1365×a<100000，则a≤73。

当a=73时，这个五位数是1365×73=99645，数字重复了，舍去；当a=72时，这个五位数是1365×72=98280，数字重复；当a=71时，这个五位数是1365×71=96915，数字重复；当a=70时，这个五位数是95550，数字重复；当a=69时，这个五位数是94185，符合题目条件。

所以，这个数是94185。

点津这道题从整体入手，先用3、5、7、13相乘得1365，在五位数中通过找1365的最大倍数得到解答。

最后用枚举的方法时，虽然要计算1365与73、72、71、70、69的积，但比起漫无边际地去找这样的五位数要简便得多。

[例6]求能被26整除的六位数。

思路剖析由于26=2×13，所以原数能被26整除，转化为原数既能被2整除，又能被13整除。

解答因为要求的数能被2整除，所以个位数字只能是0、2、4、6、8。

（1）当B=0时，数能被13整除。

根据能被13整除的数的特征，必有（930－=□11）是13的倍数。

试算知13×47=611。

所以差数是611，逆推出A=3。

（2）当B=2时，数能被13整除，必有（932—A19=□13）是13的倍数。

试算知13×1=13，所以差数为13，逆推出A=9。

（3）当B=4时，数能被13整除，必有（934—A19=□15）是13的倍数。

试算知13×55=715，所以差为715，逆推出A=2。

（4）当B=6时，数能被13整除，必有（936—A19=□17）是13的倍数。

试算知117是13的倍数，逆推出A=8。

（5）当B=8时，数能被13整除，必有（938—A19=□19）是13的倍数，试算知819是13的倍数，从而推出A=1。

所以，所求的六位数共有五个，即：319930，919932，219934，819936，119938。

[例7]用数字6、7、8各两个组成一个六位数，使它被168整除。

这个六位数是多少？思路剖析168=3×56，3与56互质。

因为6+6+7+7+8+8=42，42是3的倍数，所以用6、7、8各两个组成的所有六位数都能被3整除。

问题转化为使组成的六位数能被56整除。

因为56=7×8，7与8互质，所以只要组成的数能被7整除，又能被8整除即可。

要能被8整除，只要看末三位数，如果能仅用6、7、8各一个数组成能被8整除的三位数，那么把它连写两遍得到的六位数就合乎要求。

而用6、7、8各一个数不难组成被8整除的三位数。

解答768能被8整除，768768也就能被8整除，它又能被7整除，而7与8互质，所以它能被7与8的积56整除。

7+6+8+7+6+8=42，3整除42，所以768768能被3整除，由于3与56也互质，因此，768768就能被3与56的积168整除。

点津本题初看无处下手，但是我们应用整除性质“一个数能被互质的两个自然数整除，就一定能被这两个互质数的积整除”，把问题逐步转化，实现了化难为易的目的。

[例8]甲、乙两人进行了下面的游戏。

两人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字之一组成一个六位数的一位，数字可重复。

如果这个六位数能被N 整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜。

设N小于15，那么当N取哪几个数时，乙才能取胜？思路剖析我们列出乙不能获胜的N的取值情况。

N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就能使六位数不能被N整除，乙不能获胜。

N=5，甲可以在六位数的个位填一个不是0或5的数，甲就获胜。

解答如果N=1，很明显乙必获胜。

如果N=3或9，那么乙在填最后一全数时，总是把六位数字之和凑成3的整倍数或9的整倍数。

因此乙必获胜。

当N=7、11、13时是本题最困难的情况。

注意到1001=7×11×13，乙就有一种必胜的办法。

我们从左到右数这六位数，把第一位与第四位，第二位与第五位，第三位与第六位配对，甲在一对数位的一位上填上某一个数字后，乙就在这一对数位的另一位上填同样的数字，这就保证所填成的六位数能被1001整除，因为若按我们的方法得到的六位数是，由于。

这个六位数就能被7、11或13整除，所以乙就能获胜。

综合起来，使乙获胜的N是1、3、7、9、11、13。

[例9]四名学生做加法练习：任写一个六位数，把它的个位数字（不等于0）拿到这个数的最左边一位数字的左边得到一个新的六位数，然后与原六位数相加，它们的得数分别是172536、568741、620708、845267，结果其中哪一个可能是正确的，为什么？思路剖析初看时，觉得困难，因为是任意写的六位数，不好找正确的一个结果。