,
xn f (n)
然而，从二维角度考察，数列{ x n}可以看作XOY面
表现为一个散点图。
二、数列极限
1、数列极限定义 (1) 数列的散点图 在XOY平面上画出如下数列的散点图：
n （1） { n 1}
1 （ 3） { n } 2
n (1) n } （ 5） { n
n { 2 } （ 2） n {( 1 ) } （ 4）
( 0) . (用反证法证明)
（4）. 夹逼准则
(1) yn xn zn ( n 1, 2 , )
(2) lim yn lim z n a
n n
n
lim xn a
证: 由条件 (2) , 0 , N1 , N 2 ,
当
当
时, 时,
令 N max N1 , N 2 , 则当 n N 时, 有
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例3. 证明数列 证: 用反证法. 假设数列
是发散的.
xn 收敛 ,
2
则有唯一极限 a 存在 .
取 1 , 则存在 N , 使当 n > N 时 , 有 2
a 1 xn a 1
但因
2
xn 交替取值 1 与－1 ,
2
而此二数不可能同时落在
2、收敛数列的性质
（1）. 收敛数列的极限唯一. 证: 用反证法. 假设 取
n
及
且
因 lim xn a , 故存在 N1 , 使当 n > N1 时,
b 从而 xn a 2
同理, 因 lim xn b , 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有
n
b 从而 xn a 2
2. 收敛数列的性质:
唯一性 ;
有界性 ;
保号性; 夹逼准则。 P21 1
作
业
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取 N max N1 , N 2 , 则当 n > N 时, xn 满足的不等式 a x b b aa bb x x a b b a a 3 3b a b a n nn 2 2 2 2 2 22 矛盾. 故假设不真 ! 因此收敛数列的极限必唯一 .
以2为极限，即
2n 1 lim 2 n n
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例2. 求证
1 n2 1 lim 2 = n 2n 7 n 2
n2 1 1 7n 2 2n 2 7 n 2 2n(2n 7)
证明 :首先我们有 显然当 n 6 时
7n 2 8n 4 2 2n(2n 7) 2n n
a y n xn z n a 即 xn a , 故 lim xn a .
由条件 (1)
n
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例4 证明
证: 利用夹逼准则 . 由
2 1 1 1 n n 2 2 2 n n n 2 n n 2
2n 1 lim 2 n n
证：对于任意给定的 0 ，要使
2n 1 1 xn 2 2 n n
只有 n
1 ,取正整数 N ，则当 n N 时，
1
xn 2 恒成立，故
xn 2n 1 (n 1, 2,...) n
（6） {sin n}
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在 Mathematica 中，表格生成函数: Table[f[n] ，{n，min，max}] 表示生成n从min变到max，步长为1的数值表。 Table [f[n]，{n，min，max，step} ] 表示生成n从min 变到max ，步长为 step数值表。 利用ListPlot[ ]和Table[ ]语句作图 （1）输入 语 句，得 到右图
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1 2 3 n , 例如, , , , , 2 3 4 n 1 n xn 1 ( n ) n 1
收 敛
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n )
趋势不定
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发 散
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例1. 证明
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（2）输入语 句，得到右图
（3）输入语 句，得到右图
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（4）输入语 句，得到右图
（5）输入语 句，得到右图
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（6）输入语 句，得到右图
n 由上六图可以看出，随着n的增大， n 1 越来越趋向于1；
1 2 越来越大； n 越来越趋向于0；{( 1) n }趋向于－１ 2 n (1) n 越来越趋向于１；sin n在－１与１之间 或 1； n
2
长度为 1 的开区间 ( a 1 , a 1 ) 内, 因此该数列发散 .
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（2）. 收敛数列一定有界. 证: 设 取
1 , 则 N , 当 n N 时, 有
xn a a 1 a
xn a 1, 从而有
取
M max x1 , x2 , , xN , 1 a xn M ( n 1 , 2 , ) .

则有
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如, 数列 (1 ) n1 虽有界但不收敛 .
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（3）. 收敛数列的保号性.
若 时, 有 且
( 0) ,

( 0) .
证: 对 a > 0 , 取
推论: 若数列从某项起
( 0)
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且
1 n2 lim 1 lim 2 n 1 2 n n n
1 1 1 lim n 2 2 2 1 n n n 2 n n
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用
n
变动．
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（2）、数列极限的精确定义:
自变量取正整数的函数称为数列, 记 或 称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
n
的极限为 a , 记作
lim xn a 或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .
于是，对任意给定的 0 ，取 N max{6,[ ]} 当 n N 时，成立
2n 7 n
4
n 1 1 4 2
2
2
n
上述不等式的放大，是在条件“ n 6 ”前提下才成立， 4 所以在取N时，必须要求 N [ ] 与 N 6 同时成立。
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1.数列与函数的关系 数列 { x n } 可以看作自变量为自然数n的函数
它的定义域是全体正整数 2.数列的几何意义 从一维角度考察，数列{ x n }可以看作数轴上的一 个动点，它依次取数轴上的点 x1 , x2 , x3 , , xn , 上的点集{（n， x n）}， 在XOY平面上数列{ xn }
第一节 数列的极限
一、数列极限的概念 二 、数列极限
1、数列极限的定义
第二章
2、收敛数列的性质
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一 、数列极限的概念
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . (刘徽割圆术) , 如图所示 , 可知

n
r
当 n 时， An 无限接近某个确定的数。在数学 上称这个确定数即是数列 A1 , A2 ,, An , 的极限。