第一章 集合与函数单元测试卷（巅峰版）一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．设{}21M x x ==，则下列关系正确的是（ ） A ．1M ⊆ B ．{}1,1M -∈C ．{}1M -⊆D ．M φ∈【答案】C 【解析】由题得{}1,1M =-，A. 元素“1”和集合M 的关系只能用∈∉，连接，不能用⊆⊇，连接，所以该选项错误； B.{}1,1-和集合M 只能用⊆⊇，连接，不能用∈∉，连接，所以该选项错误； C.{}1M -⊆正确； D. M φ∈，显然错误. 故选：C2．（2019·唐山一中高一期中）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁B A=（） A ．[3，+∞）B ．（3，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【答案】A【解析】因为2{|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{}121(1,)x B x +==-+∞，所以[3,)B C A =+∞；故选A.3．（2019·苍南县树人中学高一期中）若对任意的实数x ∈R ，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则实数m 的取值范围是A ．[2,6]?B ．[6,2]--C ．(2,6)D ．(6,2)--【答案】A【解析】对任意实数x R ∈，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则224238120m m m m --=-+≤（），解得26m ≤≤，即实数m 的取值范围是[]26，，故选A. 4．（5分）已知集合2{|2530}A x x x =++<，集合{|20}B x x a =+>，若A B ⊆，则a 的取值范围是( ) A ．(3,)+∞B ．[3，)+∞C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞【分析】先分别求出集合A ，B ，由A B ⊆，能求出a 的取值范围． 【解答】解：Q 集合23{|2530}{|1}2A x x x x x =++<=-<<-，集合{|20}{|}2aB x x a x x =+>=>-，A B ⊆，322a ∴--…，解得3a …． a ∴的取值范围是[3，)+∞．故选：B ．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣6，1]，则函数g （x ）()212f x x +=+的定义域是（ ）A ．（﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3]B ．[﹣11，3]C ．[72-，﹣2] D ．[72-，﹣2）∪（﹣2，0] 【答案】D 【解析】由题可知，对应的x 应满足[]216,120x x ⎧+∈-⎨+≠⎩，即(]7,22,02⎡⎫---⎪⎢⎣⎭U 故选：D6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()24f x x x =+，则()25f x +>的解集为（ ）A ．()(),73,-∞-+∞UB ．()(),33,-∞-+∞UC ．()(),71,-∞--+∞UD ．()(),53,-∞-+∞U【答案】A 【解析】设0x >，则0x -<，因为当0x …时，2()4f x x x =+，所以2()4f x x x -=-，因为()f x 为偶函数，所以2()()4f x f x x x =-=-，因为()f x 为偶函数，所以(|2|)(2)f x f x +=+，则(2)3f x +>可化为(|2|)5f x +>，即2|2|4|2|5x x +-+>，(|2|5)(|2|1)0x x +-++>，所以|2|5x +>，解得：3x >或7<-x ，所以不等式(2)5f x +>的解集是{|3x x >或7}x <-即()(),73,-∞-+∞U 故选：A ．7．定义域为R 的偶函数()f x ，当0x ≥时，()25,021611,22xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()()()20,f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不等的实数根，则a 的取值范围为（ ）A ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】当0x ≥时，()25,021611,22xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 为偶函数 画出函数图像，如图所示：根据图像知：当54m>时：()f x m=无解；当5 4m=时：()f x m=有2个根；当514m<<时：()f x m=有4个根；当01m<≤时：()f x m=有2个根；当0m=时：()f x m=有1个根；当0m<时：()f x m=无解；()()()()20,f x af x b a b R++=∈有且仅有6个不等的实数根1()f x m=和()212()f x m m m=<满足：1251454mm⎧<<⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2151401mm⎧<<⎪⎨⎪<≤⎩1251454mm⎧<<⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则满足：1295594224m m a a<+=-<∴-<<-2151401mm⎧<<⎪⎨⎪<≤⎩则满足：12991144m m a a<+=-<∴-<<-综上所述：599,,1244a⎛⎫⎛⎫∈--⋃--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：C8．（5分）（2018秋•会宁县校级期中）已知f（x）则不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集是（）A．[﹣2，1] B．（﹣∞，﹣2] C．D．【思路分析】由题意可得，①当x+2≥0时，f（x+2）＝1，代入所求不等式可求x，②当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1，代入所求不等式可求x，从而可得原不等式的解集【答案】解：①当x+2≥0时，即x≥﹣2，f（x+2）＝1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x+x+2≤5∴x即﹣2≤x当x+2＜0即x＜﹣2时，f（x+2）＝﹣1由x+（x+2）•f（x+2）≤5可得x﹣（x+2）≤5即﹣2≤5∴x＜﹣2综上，不等式的解集为{x|x}故选：D．【点睛】本题主要考查了一次不等式的解法的应用，解题的关键是对已知的x进行分类讨论以确定f（x+2）的解析式9．（5分）（2018秋•五华区校级期中）若函数满足对任意实数x1≠x2，都有成立，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．1≤a＜3 C．D．a＜3【思路分析】可根据对任意实数x1≠x2，都有成立，得出f（x）在R上单调递增，从而得出，解出a的范围即可．【答案】解：∵对任意实数x1≠x2，都有成立；∴f （x ）在R 上是增函数；∴；解得．故选：C ．【点睛】考查增函数的定义，以及一次函数和二次函数的单调性，分段函数的单调性．10．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，函数被称为狄利克雷函数，其中R为实数集，Q 为有理数集，则关于函数()f x 有如下四个命题： ①()()0ff x =；②函数()f x 是偶函数；③任取一个不为零的有理数()(),T f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点()()()()()()112233,,,A x f x B x f x C x f x 、、，使得ABC ∆为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】对于①，当x 为有理数时，()1f x =，()()()11ff x f ==，故①是假命题.对于②，若x Q ∈，则x Q -∈；若U x Q ∈ð，则U x Q -∈ð，所以，无论x 是有理数或者无理数，都有()()f x f x -=，也即函数()f x 为偶函数，故②是真命题.对于③，当x 为有理数时，x T +为有理数，满足()()1f x T f x +==；当x 为无理数时，x T +为无理数，满足()()0f x T f x +==，故③是真命题.对于④，()33,0,1,A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使三角形ABC 为等边三角形，故④是真命题.综上所述，真命题的个数是3个. 故选：C11．（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系2p at bt c =++（a 、b 、c 是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟 【答案】B【解析】由题意可知2p at bt c =++过点（3，0.7），（4，0.8）（5，0.5），代入2p at bt c =++中可解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，∴20.2 1.52p t t =-+-= 20.2( 3.75)0.8125t --+，∴当 3.75t =分钟时，可食用率最大．12．（2017天津）已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616- C．[- D．39[]16-【答案】A【解析】解法一 根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示x当1x ≤时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需23()2x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21()4(3)02a ∆=--+≤，解得4716a -≥；当1x >时，若要()||2xf x a +≥恒成立，结合图象，只需22x x a x ++≥，即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当22x x=，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47[,2]16-．选A ． 解法二 由题意()f x 的最小值为114，此时12x =．不等式()||2xf x a +≥在R 上恒成立等价于11||24x a +≤在R 上恒成立．当a =-12x =，11||28x -=>，不符合，排除C 、D ； 当3916a =时，令12x =，394311||||216168x +=>，不符合，排除B ．选A ． 二、填空题 共4小题，每小题5分，共20分。