2 0 0 5年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷、填空题 函数 2. limX 2sinx e x 的连续区间是 x 2(x 1) 1 3. X (X ■、. x 24) X 轴在空间中的直线方程是 (2)过原点且与 (1)4. 设函数f(x)5.X 设参数方程 y (1 )当r 是常数, x 轴垂直的平面方程是 1 17 2e (x 1)2a, bx 1, r 2cos2 r 3 sin 2(X ,X 是参数时，dy ,b 时，函数f (x)在点X 1处连续。

dx r 是参数时，则dy dx 二•选择题 1. 设函数y f(x)在［a ,b ］上连续可导, c (a,b)，且 f '(c)0 , 取得极大值。

(A )当 a X c 时, f '(x) 0，当 § c x q b 时，f ' (X) 0,(B )当 a X c 时, f '(x) 0，当§ c x b 时，f(X) 0,(C )当 a X c 时, f '(x)0，当§ c x b 时，f(X) 0, (D )当 a X c 时, f '(x) 0，当§ c x b 时，f (X)0.2. 设函数y f (x)在点 X X 。

处可导， 则lim f (X 0 3h) f (X 02h) ()。

h 0hX 2e ,X 03. 设函数f(x) 0,X 0 ,则积分1f x dx()。

(2 )当是常数,Ox 2则当( )时，f (x)在x c 处5.设级数 n(A)发散 三.计算题 a n 和级数b n 都发散，则级数(anb n)是(n 1n 1(B )条件收敛 (C )绝对收敛 (D )可能发散或者可能收敛1 .求函数y (x 2X 1)X 的导数。

2.求函数y22x 1在区间(一1, 2)中的极大值，极小值。

— 展开成x 1的幕级数，并求出它的收敛区间。

1四•综合题（1 ）证明函数f （x ）在（0, 1）内至少有一个根，（2）当3b 2 8ac 时，证明函数f （x ）在（0, 1 ）内只有一个根。

2005年高数（一）答案（A ）卷一•填空题1. 连续区间是（ ,0) (0,1) (1,)2.123.y 0(1) 或者xy一，或者x t,y 0,z 0 （其中t 是参数），（2） x 0z 01 0 04. a 0,b 12/八 r x3 y 5. (1) ,(2)y2 x二 选择题题号1 2 3 45 答案B D BD 二.计算题。

1 •解：令 In y xln(x 2x 1), (3 分)则 y '[x(2x °in(x 2 x 1)](x 2 x 1)x(7 分)x x 13.求函数f （x ）x 2e x的n 阶导数 d n f------。

dx n4 .计算积分5 .计算积分6 .计算积分 2 dx 。

1x 23x 2厂Jdx 。

1 e12 _ x .o x x2edx 。

9.求二阶微分方程 d 2ydx 22dy y dxx 的通解。

10.设a,b 是两个向量，且 2，b23,求 |a 2b|a 2^2的值，其中忖表示向量a 的模。

8.把函数y1 .计算积分 .2n 1 sin.2m xsi n ----------2 2 1 -xdx ，其中n,m 是整数。

2.已知函数f(x) 4ax 3 3bx 2 2cx其中常数 a,b, c, d 满足 a b c d2•解：y 3x4x x(3x 4)，驻点为 x 10,x 2(2 分)（法一） IIy 6x 4 ,y"(0) 4 0,y(0) 1 （极大值）， (5分)“ 4、4 5 ，+y ㈠ 4 0 , y ㈠ （极小值）. (7 分)3 3 27 （法二）527 （极小值）当x 3.解: d n f 0时，y 1 （极大值），当x 43时，y 利用莱布尼兹公式 (5分)(7 分)dx n[x 2 2nx n(n 1)]e x(7分)4.解:2 1x1(X 11)(x 2)dx1- —1 ]dx x 2 x 1(35•解:6•解:(x 2 0=2-&解:In x 4x 11e 2x dx1ln(1 22xe )In 432x e1 2xee 2xdx （其中(7(3C 是任意常数）(7 分)x 2)e x dx = (x 2 1(2x 1)e x dx3e 2e 2 1=2- (3e2)e x1(2x 1)e x dx(3 分)(7 分)1 1[11)n =（n 0收敛区间为（ 9.解：特征方程为 d 2y齐次方程仝dx 2-1 ,x 1] 22*1 ， 3).221 0，特征值为2dy y 0的通解是~ dx（X (2(5分) (7 分)(3（二重根），c 2x ）e x ，其中c 1, c 2是任意常数.2dydxy x 的特解是y x 2,dx 2所以微分方程的通解是 y y ~ x 2(6分)(C 1C 2X ）e x ，其中C 1 ,C 2是任意常数(7 分)210.解:=2(a四•综合题： 1.解：(法一) 2n 1 sin 0 2b 2 a 2b 2b )26.2=(a 2b) (a 2b) (a 2b)xdxs in —1 xdx =- 2 2 1 1 [ sin(n m 1)x_ 2 n m 1 =1 [cos(n m 1)x2 0(法二)当n m 时 .2n 1 , . 2m 1 ,sin -------- xdxs in -------- xdx = 0 2 2 1 1 =-[ ------------ s in(n m 1)x2 n m 1当n m 时 1]dx-[cos( n 2。

—1—sin(n n m12 ,1[cos( n 2Ls in(nm (a 2b)(3分) (7 分)m 1)xcos(n m)x]dx (4分)m)x] 0, n(10 分)m 1)x m)x]0 cos(n m)x]dx(4分)(7 分).2n 1 , . 2m 1 , sin------- xdxs in --------- x dx 2 2 0 (10 分) 2•证明：(1)考虑函数F(X).2 2n sin —— 0 2 1 xdx 2°[1cos(2 n1 1)x]dx 2x 。

ax 4 F(x)在［0,1］上连续，在(0, 由罗尔定理知，存在F '() 所以函数 (2) f '(x) 因为3b 2f '(x)保持定号， bx 3 cx 2 1)内可导， (0,1)，使得 F '( ) 0，即 f( ) 0，就是 f( ) 4a 3 3b 22c f (x)在(0, 1)内至少有一个根. F"(x) 12ax 26bx 2c 8ac ,所以(6b) 4(12a)(2c) 36b 96ac f (x)函数f (x)在(0, 1)内只有一个根. dx ,F(0) (2 分)、填空题 2. 3. 4.F(1)0,(7分)212(3b 8ac) 0, (10 分)2006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷lim n .2n 3n 5nn 函数f (x) 若 f(x)〕6x x 28 (x 22x 的间断点是3)(x 5) 丄(.1 x x A、、1 x ), x在x 0处连续，则A设 y xln(x 、x 21)，贝y 业dx5.2(1X 3)c o sx dx 21 sin x&微分方程鱼（2x 1）e " % y 的通解y dx二•选择题当x 0时，与x 不是等价无穷小量的是（5•设a,b 为非零向量，且a b ，则必有（ 三.计算题dy x[cos(ln x) sin(ln x)]，求一° dx10.当a 为何值时，抛物线 y x 2与三直线x a,x a 1,y 0所围成的图形面积最小, 绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积。

3. 设函数 2t 2 .e cos t2t e • 2 . sin t ，求dy° dx 4. 计算不定积分 5. 计算定积分 1 .2 2 sin xcos x dx- ° xe dx ° 6. 求微分方程 d 2y dx 23dx 2y 2e x 满足y 7. 求过直线 3x 2y 2x 3y 2z 1 0 ，且垂直于已知平面 x 2 0 8.2将函数f(x) In(x 0的特解。

2y 3z 50的平面方程。

3x 2）展开成x 的幕级数，并指出收敛半径。

1.函数f （x ）的定义域为 0,1 ,则函数f （x1 5)f （x 丄）的定义域（5设 F(x)x 0f (t)dt ,其中f(x)x 2,0 1,1论中正确F(x)13门 —x ,0 3 x, 1F(x)x,3,0 1x(x 1)(2 x),(0 x 2)与x 轴所图形的可表示为2 0x(x1)(2 x)dx计算lim( xx 1x 3)2 )°x 62.求将此图形四•综合题1.(本题8分)设函数f(t)在［0,1］上连续，且f(x) 1，证明方程：x 2x q f(t)dt 1在(0,1)内有且仅有一实根。

m n2. (本题7 分)证明：若m 0,n 0,a 0，则x m(a x)n m n a m n(m n)3.(本题5分)设f(x)是连续函数，求证积分—dx —。

f (sin x) f (cos x) 42006年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷(A卷)答案.填空题lim n 2n2. 函数f (x)3. 若f (x)76x~x2~8(x22x_( 1 x xA的间断点是x 3。

3)(x 5) —1 x), x 0在x 0处连续，则A 14.。

设y xln(x .x21)，则dydxx--------。

x2 15. 23(1 x )cosx&微分方程1 sin 2xdy (2xdx 2x2 x二. 选择题1、C 2三. 计算题dx D 31 .计算lim(x x 3x 6x 1)2「。

解: lim(x又因为lim(1x1)e x x y的通解为y In(e x x C)，其中C为任意常数。

=lim(1x尢)2X/V63X6)3_ _23n 5n 5。

2o-22•设y x[cos(l n x) sin (I n x)] ，求矽。

dx [cos(l n x) sin (I n x)] 1 x[ sin (I nx) — x1 cos(lnx)—]x3 •设函数 解: dxdt dy dtdy dx 2cos In x 2t 2 ,e cos t dy 2t .2 ，求丁。