素，则对任何 V ，有 01 , 02 .
由于 01,02 V , 所以 02 01 02 ,01 02 01. 01 01 02 02 01 02.
13
性质2．负元素是唯一的．
证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0
对于通常的多项式加法 ,数乘多项式的乘法构成 线
性空间.
通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律．
(an xn a1 x a0) (bn xn b1 x b0) (an bn) xn (a1 b1)x (a0 b0) P[ x]n
(an xn a1 x a0) ( an) xn ( a1)x ( a0) P[ x]n
对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘
(x , ,x )T 0, ,0
1
n
不构成R上的向量空间，因为1 x O ，不满足
运算规律（5）
10
例5 正弦函数的集合
Sx s Asinx B A, B R.
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间．
s1 s2 A1 sinx B1 A2 sinx B2 a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x a1 a2 cos x b1 b2 sin x Asinx B S[ x].
线性变换是线性代数的中心内容之一,它对于研究线性空 间的整体结构以及向量之间的内存联系起着重要作用.线性变 换的概念是解析几何中的坐标变换、数学分析中的某些变换、 替换等的抽象和推广,它的理论和方法,(特别是与之相适应的 矩阵理论和方法)在解析几何、微分方程等许多其它应用学科, 都有极为广泛的应用.
11
s1 A1 sinx B1 A1 sinx B1 S[ x]
Sx 是一个线性空间.
一般地 例6 在区间 [a,b]上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间．
12
5.1.2线性空间的性质
性质 1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
（对任意 , , ∈ V , k, ∈P）：
(1)
(2) ( ) ( )
5
(3) 在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何
∈V，都有 0 ； (4) 对任何 ∈V，都有V中的元素 ，使 0
（ 称为的负元素）； (5) 1 (6) k() (k ) (7) (k ) k k
第5章 线性空间与线性变换
§5.1 线性空间 §5.2 线性空间的基、维数 §5.3 线性空间的基变换与坐标变换 §5.4 线性变换的矩阵
1
引言
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的 概念，它是向量空间概念的推广. 线性空间是为了解决实际问 题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把 实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际 问题．
本章主要介绍线性空间和线性变换的定义与性质.
2
§5.1 线性空间 线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空 间的抽象和推广． 我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它 们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力 学问题的有关属性．为了研究一般线性方程组解的 理论，我们把三维向量推广为n维向量，定义了n维 向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的 向量关于线性运算的线性相关性，完满地阐明了线 性方程组的解的理论．
P[x]n 对运算封闭.
9
例3 n次多项式的全体
Q[x] n
{
p
a
n
x
n
a1x a0
a
,
n
, a1,
a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空
间.
0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
Q[x] 对运算不封闭. n
例4 n个有序实数组成的数组的全体
S n x (x1, x2, , xn )T | x1, x2, , xn R
3
现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开向量 及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的 封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象 的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究 的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应 用．事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然 科学与工程技术的许多领域，同时对于我们深刻理 解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要 的指导意义．
(8) k( ) k k
V就称为(数域P上的)线性空间(或向量空间),V中的元素 称为向量.
6
注 意 ：
（1）凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法 称为线性运算； （2）向量空间中的“向量”不一定是有序数组； （3） 线性空间依赖于“加法”和“数乘”的定义， 不 光与集合V有关. （4）一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封 闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集 合就不能构成线性空间；
0 .
向量 的负元素记为 .
14Biblioteka 性质3. 0 0; 1 ; 0 0.
证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
7
线性空间的判定方法
例１ 实数域上的全体 m n 矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作Rmn ． Amn Bmn Cmn , Amn Dmn , Rmn是一个线性空间.
8
例2 次数不超过n的多项式的全体 ,记作 P[ x]n ,即
P[x]n f (x) anxn an1xn1 a1x a0 | an1, ,a1,a0 P ，
4
5.1.1 线性空间的概念
定义1 设V是一个非空集合，P为实数域，如果对任
意两个元素 , ∈V ，总有唯一的一个元素 ∈V与之 对应，称为 , 的和，记作 ；对于任一个 数 P与任一个元素 ∈ V ，总有唯一的一个元素
∈V 与之对应，称为 与 的积，记为 ；
两种运算满足以下八条运算规律