千淘万潞虽辛苦吹尽黄沙始到金浙江省象山中学315700 张宗余2003年11月26日，笔者代表宁波市参加浙江省第二届高中数学优质课评比，获得一等奖，内容为《等差数列（一）》。
本文围绕这节概念课教学设计的多次试教与修改过程，谈谈在新教学理念下的课堂教学的设计。
一．最初的设想方案数列在整个中学数学教学内容中处于一个知识汇合点的地位，尤其是等差数列与等比数列，有着广泛的实际应用。
《等差数列》这节内容是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材。
教材重视从通过鞋号、座位数、运动员训练量等具体实例引入等差数列，注意将其应用到实际中去，引导学生在解决实际问题过程中提高分析问题和解决问题的能力。
同时教材也强调了等差数列与一次函数的联系。
本节课的教学重点是等差数列的概念及等差数列的通项公式，关键是讲清等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
基于上述教学目标，笔者设计了一个“创设情景——引出概念——提出问题——解决问题的教学模式：情景设计有关象山经济软环境的几组数据。
（为了便于研究上述的数字经过近似处理)一下2003年象山的人口总量与象山耕地面积各是多少?S:人口为52.70万,耕地面积为31.20万平方米引入课题T:是否能借助于科学的方法?避免乱猜!S:1.数列的每一项都是前一项加上一个常数.2.都满足递推关系式a n=a n-1+d(d是常数)n=2、3……T:对满足这种递推关系式的数列一定蕴涵着某种关系,为了加强感性的知识,请同学们举例说明:S:举例:1、2、3、4、5、6、7 d=110、15、20、25、30、35、40 d=5100、90、80、70、60、50、40 d=10概念T:这样的数列举不胜举,同学们能对满足这样递推关系式的数列起个名字吗?并给她下个定义么?S: “等差数列”、“等加数列”T:根据数列的递推性我们强调从第二项起,后一项减前一项为同一个常数.a n为等差数列的通项,d为等差数列的公差.等差数列的概念（略）再提出问题问题2:你能求出2010年象山的人口总量和象山耕地面积各为多少?(请你在分析数据的基础上进行推理)S:用递推关系式（不切实际）S:如果能知道数列的通项式,就可以直接代入.T:如何推导呢?我们把问题推广到一般情况.数列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7…成等差数列,求数列的通项.分组讨论总结反馈方法1：归纳、猜想方法2：叠加法教师讲解方法3.用图象表示:解决问题1.解决学生举例的通项公式2.解决2006年象山人口总量与耕地面积a n =53.45-(n-1) ×0.15a n=28.70+(n-1)×0.2 代入即可小结 1.等差数列的概念2.等差数列的通项二、对教学过程的“在展现”上述方案形成后，我广泛征导求宁波市众多数学老师及象山中学数学组各位老师的意见，对设计方案进行了多次修改，还作了五次试教。
下面是我参加省优质课评比时的教学实录。
教学情景的设计：（在课前播放象山的风景片）T：同学们：谁不说自己的家乡好，张老师深深爱着自己的家乡---象山，刚才张老师向同学们展示了象山美丽、丰富的自然人文景观，为了让同学们更进一步了解象山，走进象山，老师特意从象山统计局拿来几组有关象山经济软环境的数据。
表一(单位:万)表二(单位:元)（为了便于研究，上述的数字经过近似处理）思考1：上述表格中的数据变化反映了什么样的信息？T：从两方面考虑：从宏观上（移居大城市，计划生育、围海造田等）从微观上（数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从微观上分析，从表格中抽象出一般数列）T：同学们能用数学文字语言来描述上述数列的共同特征。
S1：后一项与它的前一项的差等于常数（描述1）T：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列一样么？S：不一样，要加上同一常数，S2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数（描述2）T：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列一样么？S：不一样，必须从第二项起。
S3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
（描述3）（把学生的回答写在黑板上，通过反例的说明，让学生深刻的理解这四组数列的共同特征：1、同一常数， 2、从第二项起）T ：用数学符号语言：S4：n a -1-n a =dT ：等价么？S5：应加上（d 是常数） n ≥2,n ∈N *（让学生充分进行讨论，注意文字描述与符号描述的严谨性）T ：对式子进行变形可得：n a =1-n a +d （d 是常数），n ≥2,n ∈N *如果我们能跳出d 的思维定势，能得到很多的公式变形。
（为今后更好的研究其特征，埋下伏笔）T ：这样的数列在你日常生活中存在？S ：举例：1，2，3，4，5，6，7 ，· d=110，15，20，25，30，35，40 d=5100，90，80，70d=-10（让学生举例，加深对数列的感性认识）T ：满足这样特征的数列很多，所以我们有必要为这样的数列取一个名字？S ：等差数列（让学生给出数学的定义，并有自己的语言进行交流。
当然也允许学生提出“等加数列”等的说法，教师可进行比较，差有利于加一加进行消项等）定义：一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d 为公差。
1a 为数列的首项。
d a a =-12，d a a =-23，d a a =-34，·d a a n n =--1·（n ≥2,,n ∈N *）（提出课题《等差数列的概念（一）》）（对定义进行分析，强调：1、同一常数， 2、从第二项起。
同时在学生的举例中改动几个数，问学生破坏定义的什么要求，注意对数列概念的严谨性分析。
）数学史的介绍：等差数列的历史研究是数学史上最早出现的并引起人们广泛应用的数列，在1858年苏格兰埃及学家发现约公元前1650年的阿莫斯纸草上就记载着两例等差数列，（10人分10斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前一人少1/8），在我国出土于春秋至战国时代楚国的铜环权，其重量大致都按等差数列配置，成书于公元前2世纪的《周髀算经》上有“七衡图”·都记载着等差数列大量研究。
被誉为“数字推理的第一思维”。
T ： 回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的公差。
d=-0.15、 d=0.30 d=300 d=0（引导学生发现公差d 对数列的影响，当d>0时数列是递增，当d<0时数列是递减，当d=0时数列是常数列。
》T ：见上表， 请7号的同学回答a 7，请8号的同学求a 8，请42号的同学求a 42· S ：若能求出数列的通项公式，问题就能较好的解决；（再提出问题，引导问题进一步发展，发现求通项的必要性）T ：我们把问题推广到一般情况。
若一个数列1a ，2a ，3a ，·，a n ，·是等差数列，它的公差是d ，那么数列{ a n }的通项公式是什么？方法1． n=2 d a a +=12n=3 d a d a a 2123+=+=n=4 d a d a a 3134+=+=·当n=1时，也成立。
（归纳、猜想。
培养学生合情推理的能力）方法2。
da a da a d a a da a da a n n =-=-=-=-=--145342312...用叠加得d n a a n )1(1-=-， 当n=1时，也成立。
整理得： d n a a n )1(1-+= n ∈N *T ：1、对通项公式进行分析；通项公式中含有a 1，d ，n ，a n 四个量，其中a 1和d 是基本量，当a 1和d 确定后，通项公式便随之确定．从已知和未知的角度看，若已知其中任意三个量的值，即可利用方程的思想求出第四个量的值（即知三求一）2、()n m a a n m d =+-，n 、m ∈N *挖掘等差数列的函数特征：等差数列的通项公式a n = a 1＋（n －1）d ．可表示为a n =dn ＋c （其中c=a 1－d ，n 属于N *）的形式，n 的系数即为公差．当d ≠0时，a n 是定义在自然数集上的一次函数，其图象是一次函数y=dx ＋c （x 属于R ）的图象上的一群孤立的点．（画图略）（在数列的通项公式中，每取一个n ，都有唯一一个a n 与之对应，让学生联系映射的思想，挖掘数列的函数特征）T ： 回到表格中抽象出的4个数列，分别说明他们的通项公式。
d n a a n )1(1-+==53.60+（n-1）▪（-0.15）d n a a n )1(1-+==28.40+（n-1）▪0.30d n a a n )1(1-+==2000+（n-1）▪300d n a a n )1(1-+==1200+（n-1）▪0思考2：如果在一定时间内象山的人口按这样的规律发展下去，请同学们求出2010年象山人口总量？到第几年人口总量会小于51万？（请你在分析数据的基础上进行合情推理）。
问1：方法1等差数列1a =53.60，则2007年为第11年，n=11，求11a =；方法2：若6a =52.85，求11a =。
方法3：也可从函数角度解；求f （11）。
问2：解：设2002年为第一年，第n 年后象山的人口总量小于51万。
d n a a n )1(1-+==52.85+（n - 1）（-0.15）<51n>115.085.1+≈13.3 所以：第14年后即2015年时象山人口总量小于51万（引导学生一题多解，注意让学生分析，并通过学生的不同解释，加深对数列基本量法的理解，以及决定等差数列要素的选择）小结：思考3：等差数列有很多的性质，请同学们回去后对等差数列的性质进行研究？在生活中寻找一些数据进行一次探索？（研究性作业）三、修改过程及一些设想(一) 情景设计设计一个好的初始问题是教学成功的第一步。
怎样设计一个好的初始问题？是选用教材的例子引入新课，还是另择他径呢？考虑到不少学生课前可能阅读或者翻阅了课本，则课堂引入缺乏新意。
笔者在课前设计二组方案。
方案一：从实际生活中寻找例子，笔者从象山统计局拿来近5年象山人口总量、耕地面积等实际数据。
方案二：借用中国古代传说中的“洛河图”即（三阶纪方），将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字分别填入9个方格中（使每行、每列及对角线上的三个数字和（这个和标为“魔数”）均相等，让学生讨论将等差数列的教学与“幻方”“魔数”等有趣的概念结合起来，使学生对等差数列的认识建立在一种生动的背景上，既提高学生学习的兴趣，探索和交流的欲望，又使他们在探索“幻方”规律的过程中，对等差数列的性质有了非常直观的理解。
这两种方案的设计舍取一直困惑着笔者，最终考虑到在公开课上用方案二这种“讨论式”的课堂教学比较难以控制，教学时间上也无法保证，所以最终笔者选择了方案一。