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例3 小王参加“智力大冲浪”游戏, 他能答 出甲、乙二类问题的概率分别为0.7和0.2, 两类问题都能答出的概率为0.1. 求小王 (1) 答出甲类而答不出乙类问题的概率 (2) 至少有一类问题能答出的概率 (3) 两类问题都答不出的概率 解 事件A , B分别表示“能答出甲,乙类问题 (1) P(AB) = P(A) − P(AB) = 0.7 −0.1= 0.6 (2) P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB) = 0.8 (3) P(AB) = P(A∪B) = 0.2
例4 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下， P(AB) 取得最大(小)值？ 最大(小)值是多少？ 解
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(AB)
P(AB) = P(A) + P(B) − P(A∪B) ≥ P(A) + P(B) −1= 0.3 —— 最小值
加法公式的推广
(5) P(A∪ B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC)
(6) 对任意 n 个事件 A1 ,
A2 , ⋯,
An , 有
n n P ∪ Ai = ∑ P( Ai ) − ∑ P (Ai A j ) + ∑ P (Ai A j Ak ) 1≤ i < j ≤ n 1≤ i < j < k ≤ n i =1 i =1 − ⋯ + (− 1) P( A1 A2 ⋯ An )
⊛
式是“ 有去路,没回路 ⊛式是“羊肉包子打狗 ”——有去路 没回路 有去路 为什么呢？学了几何概型便会明白.
概率的基本性质： 概率的基本性质：
(1)对于任何事件的概率的范围是： (1)对于任何事件的概率的范围是： 0≤P(A)≤1 对于任何事件的概率的范围是 (2)如果事件A与事件B互斥， (2)如果事件A与事件B互斥，则 P(A∪B)=P(A)+P(B) 如果事件 (3)特别地，当事件A与事件B互为对立事件时， (3)特别地，当事件A与事件B互为对立事件时， 特别地 P(A)=1有 P(A)=1- P(B)
请判断那种正确? 请判断那种正确
第一章 概率论的基本概念
概率的加法公式
B， （4）设A，B是两个事件，若A ⊂ B，则有 是两个事件， P(B-A)=P(B)P(B-A)=P(B)-P(A) P(B)≥P(A) （5）P(A∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB)。
A
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第一章 概率论的基本概念
概率的基本性质
事件 的关系 和运算 概率的 几个基 本性质
概率的基本性质
（1）对于任何事件的概率的范围是：0≤P（A）≤1 对于任何事件的概率的范围是：0≤P（ 其中不可能事件的概率是P 其中不可能事件的概率是P（A）=0 必然事件的概率是P 必然事件的概率是P（A）=1 当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 （2）当事件A与事件B互斥时，A∪B的频率 fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B) ∪ 由此得到概率的加法公式： 由此得到概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥， 如果事件A与事件B互斥，则 P（A+B）=P（A）+P（B） （ ） （ ） （ ） 特别地，当事件A与事件B互为对立事件时， （3）特别地，当事件A与事件B互为对立事件时， =1有 P（A）=1- P（B）
课后同学问： 课后同学问： 例3 中小王他能答出第一类问题的概 率为0.7, 答出第二类问题的概率为0.2, 两 类问题都能答出的概率为0.1. 为什么不是 0.7×0.2 ？ 若是的话, 则应有 P(A A ) = P(A )P(A ) 1 2 1 2 而现在题中并未给出这一条件. 在§1.8中将告诉我们上述等式成立的 条件是 ：事件 A , A 相互独立. 1 2
朝上一面的数是奇数” 例2、抛掷色子，事件 、抛掷色子，事件A= “朝上一面的数是奇数”， 朝上一面的数是奇数 事件B 朝上一面的数不超过3”， 事件 = “朝上一面的数不超过 ， 朝上一面的数不超过 求P（A∪B） （ ∪ ）
解法一： 解法一： 因为P（ ） 因为 （A）=3/6=1/2，P（B）=3/6=1/2 ， （ ） 所以P（ ∪ ） 所以 （A∪B）= P（A）+ P（B）=1 （ ） （ ） 解法二： 解法二： A∪B这一事件包括 种结果，即出现 ，2，3和5 这一事件包括4种结果 ∪ 这一事件包括 种结果，即出现1， ， 和 所以P（ ∪ ） 所以 （A∪B）= 4/6=2/3
最小值在 P(A∪B) =1 时取得
Байду номын сангаас
P(AB) ≤ P(A) = 0.6
—— 最大值
最大值在 P(A∪B) = P(B) 时取得
课上有同学提问 例4 中回答当 A ∪B = Ω 时, P(A B) 取得 最小值是否正确？ 这相当于问如下命题是否成立
A ∪B = Ω ⇔ P(A ∪B) =1
答：不成立 ！
例１、如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取 52 一张，那么取到红心（事件A 的概率是1/4 1/4， 一张，那么取到红心（事件A）的概率是1/4，取到方 事件B 的概率是1/4 1/4。 片（事件B）的概率是1/4。问： （1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？ 取到红色牌（事件C 的概率是多少？ 取到黑色牌（事件D 的概率是多少？ （2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？