2020年重庆市长寿区春招数学试卷一、选择题1.﹣2的绝对值是()A.2B.C.﹣D.﹣22.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体,其俯视图是()A.B.C.D.3.下列运算中,正确的是()A.a•a2=a2B.(a2)2=a4C.a2•a3=a6D.(a2b)3=a2•b34.“十三五”以来,我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程.截止去年9月底,各地已累计完成投资1.002×1011元.数据1.002×1011可以表示为()A.10.02亿B.100.2亿C.1002亿D.10020亿5.一个正比例函数的图象过点(2,﹣3),它的表达式为()A.B.C.D.6.若一组数据2,4,x,5,7的平均数为5,则这组数据中的x和中位数分别为()A.5,7B.5,5C.7,5D.7,77.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是()A.B.C.D.8.用三个不等式a>b,ab>0,<中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为()A.0B.1C.2D.39.观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,根据其中的规律可得70+71+72+…+72020的结果的个位数字是()A.0B.1C.7D.810.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,且BC平分∠ABD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论不一定成立的是()A.OC∥BD B.AD⊥OC C.△CEF≌△BED D.AF=FD11.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为()A.m=﹣2B.m=3C.m=3或m=﹣2D.m=﹣3或m=2 12.从﹣4,﹣3,1,3,4这五个数中,随机抽取一个数,记为m,若m使得关于x,y的二元一次方程组有解,且使关于x的分式方程﹣1=有正数解,那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是()A.1B.2C.﹣1D.﹣2二、填空题(本大题6小题,每小题4分,满分24分:请将正确答案填在答题卡相应位置)13.计算()2+1的结果是.14.如图,AD∥CE,∠ABC=100°,则∠2﹣∠1的度数是.15.如图,当小杰沿坡度i=1:5的坡面由B到A行走了26米时,小杰实际上升高度AC =米.(可以用根号表示)16.如图,在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°,点C的仰角为45°,点P到建筑物的距离为PD=20米,则BC=米.17.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是.18.如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①∠AFD=∠C;②DF=BF;③△ADE∽△FDB;④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论是(填写所有正确结论的序号).三、解答题(本大题8个小题,第26题8分,其余每小题10分,共78分,解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上)。
19.(1)计算:()﹣3+|﹣2|+tan60°﹣(﹣2020)0;(2)(x﹣1)(x+1)+x﹣1﹣x,并求当x=+1时的值.20.如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:AM∥CN.21.2020年3月我国因“新冠病毒”的疫情,都不能如期开学,我市某校网上开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四大类兴趣课程,要求学生在家选择一项网上学习.为了解全校学生对每类课程的选择情况,随机抽取了若干名学生进行调查(每人必选且只能选一类),先将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图:(1)本次随机调查了多少名学生?(2)补全条形统计图中“书画”、“戏曲”的空缺部分.(3)若该校共有1200名学生,请估计全校学生选择“戏曲”类的人数.(4)学校从这四类课程中随机抽取两类参加“全市青少年才艺展示活动”,用树形图或列表法求出恰好抽到“器乐”和“戏曲”类的概率.(书画、器乐、戏曲、棋类可分别用字母A,B,C,D表示)22.为加快“智慧校园”建设,某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机.经过市场调查发现,今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元,且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机.(1)求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元?(2)该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套,考虑物价因素,预计明年每套A 型一体机的价格比今年上涨25%,每套B型一体机的价格不变,若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用,那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划?23.定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.理解:(1)如图1,点A,B,C在⊙O上,∠ABC的平分线交⊙O于点D,连接AD,CD.求证:四边形ABCD是等补四边形;探究:(2)如图2,在等补四边形ABCD中,AB=AD,连接AC,AC是否平分∠BCD?请说明理由.运用:(3)如图3,在等补四边形ABCD中,AB=AD,其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F,CD=10,AF=5,求DF的长.24.如图,▱ABCD中,顶点A的坐标是(0,2),AD∥x轴,BC交y轴于点E,顶点C 的纵坐标是﹣4,▱ABCD的面积是24.反比例函数y=的图象经过点B和D,求:(1)反比例函数的表达式;(2)AB所在直线的函数表达式.25.如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG,交BG于点H.连接HF,AF,其中AF交EC于点M.(1)求证:△AHF为等腰直角三角形.(2)若AB=3,EC=5,求EM的长.26.如图,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,﹣2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=﹣1.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点P在第二象限内,且PE=OD,求△PBE的面积.(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.参考答案一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)在每个小题的下面,都给出了A、B、C、D四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确的答案的代号填涂在答题卡的置上)1.﹣2的绝对值是()A.2B.C.﹣D.﹣2【分析】根据绝对值是实数轴上的点到原点的距离,可得答案.解:﹣2的绝对值是2.故选:A.2.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体,其俯视图是()A.B.C.D.【分析】找到从几何体的上面看所得到的图形即可.解:俯视图有3列,从左往右小正方形的个数是1,1,1,故选:C.3.下列运算中,正确的是()A.a•a2=a2B.(a2)2=a4C.a2•a3=a6D.(a2b)3=a2•b3【分析】根据同底数幂的乘法,幂的乘方与积的乘方的计算法则计算即可求解.解:A、a•a2=a3,故A错误;B、(a2)2=a4,故B正确;C、a2•a3=a5,故C错误;D、(a2b)3=a6•b3,故D错误.故选:B.4.“十三五”以来,我国启动实施了农村饮水安全巩固提升工程.截止去年9月底,各地已累计完成投资1.002×1011元.数据1.002×1011可以表示为()A.10.02亿B.100.2亿C.1002亿D.10020亿【分析】利用科学记数法的表示形式展开即可解:1.002×1011=1 002 000 000 00=1002亿故选:C.5.一个正比例函数的图象过点(2,﹣3),它的表达式为()A.B.C.D.【分析】利用待定系数法即可求解.解:设函数的解析式是y=kx.根据题意得:2k=﹣3.解得:k=﹣.故函数的解析式是:y=﹣x.故选:A.6.若一组数据2,4,x,5,7的平均数为5,则这组数据中的x和中位数分别为()A.5,7B.5,5C.7,5D.7,7【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值,然后将数据按照从小到大依次排列即可求出中位数.解:∵数据2,4,x,5,7的平均数是5,∴x=5×5﹣2﹣4﹣5﹣7=7,这组数据为2,4,5,7,7,则中位数为5.故选:C.7.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是()A.B.C.D.【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.解:“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示:故选:B.8.用三个不等式a>b,ab>0,<中的两个不等式作为题设,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【分析】由题意得出3个命题,由不等式的性质再判断真假即可.解:①若a>b,ab>0,则<;真命题:理由:∵a>b,ab>0,∴a>b>0,或b<a<0,∴<;②若ab>0,<,则a>b,真命题;理由:∵ab>0,∴a、b同号,∵<,∴a>b;③若a>b,<,则ab>0,真命题;理由:∵a>b,<,∴a、b同号,∴ab>0∴组成真命题的个数为3个;故选:D.9.观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,根据其中的规律可得70+71+72+…+72020的结果的个位数字是()A.0B.1C.7D.8【分析】观察等式,发现尾数分别为:1,7,9,3,1,7,9,3…每4个数一组进行循环,所以2020÷4=505,进而可得得70+71+72+…+72020的结果的个位数字.解:观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,发现尾数分别为:1,7,9,3,1,7,…,每4个数一组进行循环,所以2020÷4=505,而1+7+9+3=20,505×20=10100,所以70+71+72+…+72020的结果的个位数字是0.故选:A.10.如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,且BC平分∠ABD,AD分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论不一定成立的是()A.OC∥BD B.AD⊥OC C.△CEF≌△BED D.AF=FD【分析】由圆周角定理和角平分线得出∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,由等腰三角形的性质得出∠OCB=∠OBC,得出∠DBC=∠OCB,证出OC∥BD,选项A成立;由平行线的性质得出AD⊥OC,选项B成立;由垂径定理得出AF=FD,选项D成立;△CEF和△BED中,没有相等的边,△CEF与△BED不全等,选项C不成立,即可得出答案.解:∵AB是⊙O的直径,BC平分∠ABD,∴∠ADB=90°,∠OBC=∠DBC,∴AD⊥BD,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠DBC=∠OCB,∴OC∥BD,选项A成立;∴AD⊥OC,选项B成立;∴AF=FD,选项D成立;∵△CEF和△BED中,没有相等的边,∴△CEF与△BED不全等,选项C不成立;故选:C.11.关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0的两个实数根的平方和为12,则m的值为()A.m=﹣2B.m=3C.m=3或m=﹣2D.m=﹣3或m=2【分析】设x1,x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根,由根与系数的关系得x1+x2=﹣2m,x1•x2=m2+m,再由x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2代入即可;解:设x1,x2是x2+2mx+m2+m=0的两个实数根,∴△=﹣4m≥0,∴m≤0,∴x1+x2=﹣2m,x1•x2=m2+m,∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1•x2=4m2﹣2m2﹣2m=2m2﹣2m=12,∴m=3或m=﹣2;∴m=﹣2;故选:A.12.从﹣4,﹣3,1,3,4这五个数中,随机抽取一个数,记为m,若m使得关于x,y的二元一次方程组有解,且使关于x的分式方程﹣1=有正数解,那么这五个数中所有满足条件的m的值之和是()A.1B.2C.﹣1D.﹣2【分析】分别解出二元一次方程组、分式方程,根据题意得到满足条件的m的值,计算即可.解:解方程组,得,当方程组有解时,m≠﹣4,解分式方程﹣1=,得x=4﹣m,当x=1,即m=3时,分式方程无解,∴m≠3,由题意得,m=﹣3,1,4,∴满足条件的m的值之和=﹣3+1+4=2,故选:B.二、填空题(本大题6小题,每小题4分,满分24分:请将正确答案填在答题卡相应位置)13.计算()2+1的结果是4.【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.解:原式=3+1=4.故答案为:4.14.如图,AD∥CE,∠ABC=100°,则∠2﹣∠1的度数是80°.【分析】直接作出BF∥AD,再利用平行线的性质分析得出答案.解:作BF∥AD,∵AD∥CE,∴AD∥BF∥EC,∴∠1=∠3,∠4+∠2=180°,∠3+∠4=100°,∴∠1+∠4=100°,∠2+∠4=180°,∴∠2﹣∠1=80°.故答案为:80°.15.如图,当小杰沿坡度i=1:5的坡面由B到A行走了26米时,小杰实际上升高度AC =米.(可以用根号表示)【分析】由坡度易得AC与BC的比为1:5,设出相应未知数,利用勾股定理可得AC的长度.解:∵坡度i=1:5,∴AC与BC的比为1:5,设AC为x,则BC为5x,∴x2+(5x)2=262,∵x>0,∴x=.故答案为:.16.如图,在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°,点C的仰角为45°,点P到建筑物的距离为PD=20米,则BC=(20﹣20)米.【分析】根据正切的定义求出BD,根据等腰直角三角形的性质求出CD,结合图形计算,得到答案.解:在Rt△PBD中,tan∠BPD=,则BD=PD•tan∠BPD=20,在Rt△PBD中,∠CPD=45°,∴CD=PD=20,∴BC=BD﹣CD=20﹣20,故答案为:(20﹣20).17.如图,E,F是正方形ABCD的对角线AC上的两点,AC=8,AE=CF=2,则四边形BEDF的周长是8.【分析】连接BD交AC于点O,则可证得OE=OF,OD=OB,可证四边形BEDF为平行四边形,且BD⊥EF,可证得四边形BEDF为菱形;根据勾股定理计算DE的长,可得结论.解:如图,连接BD交AC于点O,∵四边形ABCD为正方形,∴BD⊥AC,OD=OB=OA=OC,∵AE=CF=2,∴OA﹣AE=OC﹣CF,即OE=OF,∴四边形BEDF为平行四边形,且BD⊥EF,∴四边形BEDF为菱形,∴DE=DF=BE=BF,∵AC=BD=8,OE=OF==2,由勾股定理得:DE===2,∴四边形BEDF的周长=4DE=4×=8,故答案为:8.18.如图,△ABC与△AEF中,AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,AB交EF于D.给出下列结论:①∠AFD=∠C;②DF=BF;③△ADE∽△FDB;④∠BFD=∠CAF.其中正确的结论是①③④(填写所有正确结论的序号).【分析】先根据已知条件证明△AEF≌△ABC,从中找出对应角或对应边.然后根据角之间的关系找相似,即可解答.解:在△ABC与△AEF中,∵AB=AE,BC=EF,∠B=∠E,∴△ABC≌△AEF,∴∠AFD=∠C(①正确);由∠B=∠E,∠ADE=∠FDB,可知:△ADE∽△FDB(②正确);∵∠EAF=∠BAC,∴∠EAD=∠CAF,由△ADE∽△FDB可得∠EAD=∠BFD,∴∠BFD=∠CAF(④正确).综上可知:①③④正确.故答案为:①③④.三、解答题(本大题8个小题,第26题8分,其余每小题10分,共78分,解答每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上)。