参考答案一.选择题：（1） A （2） D （3） B （4） C （5） B （6） A （7） D （8） C （9） A （10） B 二.填空题：（11） 40 （12） 24 （13） ()10122=-+y x（14） 3 （15） 67（16） {}2 三.解答题： （17）解：（Ⅰ）因为⎪⎭⎫⎝⎛∈43,2ππx ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-2,44πππx ，于是10274cos 14sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x 54221022210274sin 4cos 4cos 4sin 44sin sin =⨯+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππx x x x（Ⅱ）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈43,2ππx ，故53541sin 1cos 22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=x x2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2-=-=-==x x x x x 所以5037243sin 2cos 3cos 2sin 32sin +-=+=⎪⎭⎫⎝⎛+πππx x x（18） 解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得()()()1611122=-=-p B P 解得43=p 或45（舍去），所以乙投球的命中率为43（Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知()()()()41,43,21,21====B P B P A P A P ξ可能的取值为0，1，2，3，故()()()321412102=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ ()()()()()()32721414324121321412112212=⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⋅==A P B P B P C B B P A P P ξ()()()329432132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ()()()()321531012==-=-=-==ξξξξP P P P ξ的分布列为ξ 0123P321327 3215 329 ξ的数学期望232933215232713210=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE（19）解：（Ⅰ）证明：在PAD ∆中，由题设22,2==PD PA 可得222PD AD PA =+于是PA AD ⊥.在矩形ABCD 中，AB AD ⊥.又A AB PA = ，所以⊥AD 平面PAB .（Ⅱ）证明：由题设，AD BC //，所以PCB ∠（或其补角）是异面直线PC 与AD 所成的角.在PAB ∆中，由余弦定理得由（Ⅰ）知⊥AD 平面PAB ，⊂PB 平面PAB ，所以PB AD ⊥，因而PB BC ⊥，于是PBC ∆是直角三角形，故27tan ==BC PB PCB 所以异面直线PC 与AD 所成的角的大小为27arctan. （Ⅲ）解：过点P 做AB PH ⊥于H ，过点H 做BD HE ⊥于E ，连结PE因为⊥AD 平面PAB ，⊂PH 平面PAB ，所以PH AD ⊥.又A AB AD = ， 因而⊥PH 平面ABCD ，故HE 为PE 再平面ABCD 内的射影.由三垂线定理可知， PE BD ⊥，从而PEH ∠是二面角A BD P --的平面角。

由题设可得，134,13,2,160cos ,360sin 22=⋅==+==-==⋅==⋅=BH BD AD HE AD AB BD AH AB BH PA AH PA PH于是再PHE RT ∆中，439tan =PEH 所以二面角A BD P --的大小为439arctan． （20）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：2()1af x x '=-，由导数的几何意义得(2)3f '=，于是8a =-． 由切点(2,(2))P f 在直线31y x =+上可得27b -+=，解得9b =． 所以函数()f x 的解析式为8()9f x x x=-+． （Ⅱ）解：2()1a f x x'=-． 当0a ≤时，显然()0f x '>（0x ≠）．这时()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞上内是增函数． 当0a >时，令()0f x '=，解得x a =±．7cos 222=⋅⋅-+=PAB AB PA AB PA PB当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(,-∞()+∞()f x ' ＋ 0 － － 0 ＋ ()f x↗极大值↘↘极小值↗所以()f x在(,-∞，)+∞内是增函数，在(，(0,)+∞内是减函数． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，()f x 在1[,1]4上的最大值为1()4f 与(1)f 的较大者，对于任意的1[,2]2a ∈，不等式0(1)f x ≤在1[,1]4上恒成立，当且仅当10(11(4)10)f f ≤≤⎧⎪⎨⎪⎩，即39449a b ab ≤-≤-⎧⎪⎨⎪⎩，对任意的1[,2]2a ∈成立． 从而得74b ≤，所以满足条件的b 的取值范围是(7,]4-∞．（21）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22221x y a b-=（0,0a b >>）．由题设得2292a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2245a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以双曲线方程为22145x y -=．（Ⅱ）解：设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠）．点11(,)M x y ，22(,)N x y 的坐标满足方程组22145y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩将①式代入②式，得22()145x kx m +-=，整理得222(54)84200k x kmx m ----=． 此方程有两个一等实根，于是2504k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．整理得22540m k +->． ③由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00(,)x y 满足12024254x x km x k +==-，002554my kx m k=+=-． 从而线段MN 的垂直平分线方程为22514()5454m kmy x k k k-=----． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29(,0)54km k -，29(0,)54mk -．由题设可得2219981||||254542km m k k ⋅=--．整理得222(54)||k m k -=，0k ≠． 将上式代入③式得222(54)540||k k k -+->，整理得22(45)(4||5)0k k k --->，0k ≠．解得50||k <<或5||4k >． 所以k 的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)4224(∞-+--∞． （22）本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前n 项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分（Ⅰ）解：由题设有12140a a a +-=，11a =，解得23a =．由题设又有22214a b b =，14b =，解得29b =．（Ⅱ）解法一：由题设1(3)0n n nS n S +-+=，11a =，14b =，及23a =，29b =，进一步可得36a =，316b =，410a =，425b =，猜想(1)2n n n a +=，2(1)n b n =+，*n N ∈．先证(1)2n n n a +=，*n N ∈． 当1n =时，1(1112)a ⨯=+，等式成立．当2n ≥时用数学归纳法证明如下：（1当2n =时，2(2212)a ⨯=+，等式成立．（2）假设n k =时等式成立，即(1)2k k k a +=，2k ≥．由题设，1(3)k k kS k S +=+ 1(1)(2)k k k S k S --=+①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)k k ka k a +=+，从而122(1)(1)[(1)1]22k k k k k k k k a a k k +++++++==⋅=． 这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式(1)2n n n a +=对任何的2n ≥成立． 综上所述，等式(1)2n n n a +=对任何的*n N ∈都成立(1)2n n n a += 再用数学归纳法证明2(1)n b n =+，*n N ∈． （1）当1n =时，21(11)b =+，等式成立．（2）假设当n k =时等式成立，即2(1)k b k =+，那么22221124(1)(2)[(1)1](1)k k k a k k b k b k ++++===+++． 这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式2(1)n b n =+对任何的*n N ∈都成立．解法二：由题设1(3)n n nS n S +=+ 1(1)(2)n n n S n S --=+①的两边分别减去②的两边，整理得1(2)n n na n a +=+，2n ≥．所以 3224a a =， 4335a a =，……1(1)(1)n n n a n a +-=+，3n ≥． 将以上各式左右两端分别相乘，得2(1)!(1)!6n n n a a +-=， 由（Ⅰ）并化简得2(1)(1)62n n n n n a a ++==，3n ≥． 止式对1,2n =也成立．由题设有2114n n n b b a ++=，所以221(2)(1)n n b b n n +=++，即1221(1)(2)n n b b n n +⋅=++，*n N ∈． 令2(1)n n b x n =+，则11n n x x +=，即11n n x x +=．由11x =得1n x =，1n ≥．所以21(1)n b n =+，即2(1)n b n =+，1n ≥．解法：由题设有1(3)n n nS n S +=+，*n N ∈，所以214S S =，3225S S =， ……1(1)(2)n n n S n S --=+，2n ≥． 将以上各式左右两端分别相乘，得12(1)145(2)n n S n S ⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯+，化简得13(1)(2)(1)(2)26n n n n n n n S a ++==⨯++，3n ≥． 由（Ⅰ），上式对1,2n =也成立．所以1(1)2n n n n n a S S -+=-=，2n ≥． 上式对1n =时也成立．以下同解法二，可得2(1)n b n =+，1n ≥．（Ⅲ）证明：12(1)222122(1(1)23(1)(1))(1)na a n n n a nb T b n b ++=-+-+-=--++-+．当4n k =，*k N ∈时，22222222(42)2(41)(3454)(41)n k k k k T ----=--+++++-．注意到2222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-，故(1)(12)4324322n T k k k k k +⨯+++-=⨯-=224(44)4(4)343k k k k k n n ⨯==-++=+．当41n k =-，*k N ∈时，22224(41)(1)3(1)(2(4))3n k k k n n n T n =⨯-+=+++-+=+ 当42n k =-，*k N ∈时，222224(41)(4)(43(2)()3)333n k k k n n n k n T ⨯-+-=+=-=-+--+．当43n k =-，*k N ∈时，22224(41)(41)3(3)(4)(23)3n k k n n T k n n ⨯-++-=+-+++=--=．所以22*3,4333,42,,413,4n n n k n n n k T k n n k n n n N k--=-⎧⎪---=-⎪=⎨=-⎪⎪+=∈⎩．从而3n ≥时，有222132,5,9,13,3312,6,10,14,||12,3,7,11,312,4,8,12,n n n n n T n n n n n n n⎧+<=⎪⎪⎪++<=⎪=⎨⎪<=⎪⎪⎪+<=⎩总之，当3n ≥时有2||2n T n<，即2||2n T n <．。