九、机械振动一、知识网络二、画龙点睛概念1、机械振动(1)平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。

(2)机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。

(3)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和重复性2、简谐运动(1)弹簧振子：一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。

(2)振动形成的原因①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。

振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。

②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振了回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置；系统的阻力足够小。

(4)简谐运动的力学特征①简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。

②动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为F＝－kx式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。

简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。

③简谐运动的运动学特征a＝－k m x加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。

简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。

简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。

例题：试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。

证明：设O为振子的平衡位置，向下方向为正方向，此时弹簧形变量为ｘ0，根据胡克定律得ｘ0＝mg/k当振子向下偏离平衡位置ｘ时，回复力为F＝mg－ｋ(ｘ＋ｘ0)则Ｆ＝－kx所以此振动为简谐运动。

3、振幅、周期和频率⑴振幅①物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。

②定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。

③单位：在国际单位制中，振幅的单位是米(m)。

④振幅和位移的区别①振幅是指振动物体离开平衡位置的最大距离；而位移是振动物体所在位置与平衡位置之间的距离。

②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的③学生代表答： ③位移是矢量，振幅是标量。

④振幅等于最大位移的数值。

⑵周期和频率 ①全振动振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，也就是连续的两次位置和振动状态都相同时所经历的过程，叫做一次全振动。

②周期和频率a 、周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需的时间，叫做振动的周期，单位：s 。

b 、频率：单位时间内完成的全振动的次数，叫频率，单位：Hz ，1Hz ＝1 s －1。

c 、周期和频率之间的关系：T ＝1fd 、研究弹簧振子的周期弹簧振子的周期由振动系统本身的质量和劲度系数决定，质量较小时周期较小，劲度系数较大时周期较小。

周期与振幅无关。

e 、固有周期和固有频率 对一个确定的振动系统，振动的周期和频率只与振动系统本身有关，所以把周期和频率叫做固有周期和固有频率。

例题：如图所示，质量为m 的小球放在劲度为k 的轻弹簧上，使小球上下振动而又始终未脱离弹簧。

⑴最大振幅A 是多大？⑵在这个振幅下弹簧对小球的最大弹力F m 是多大？ 解析：该振动的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

在平衡位置弹力和重力等大反向，合力为零；在平衡位置以下，弹力大于重力，F - mg =ma ，越往下弹力越大；在平衡位置以上，弹力小于重力，mg-F=ma ，越往上弹力越小。

平衡位置和振动的振幅大小无关。

因此振幅越大，在最高点处小球所受的弹力越小。

极端情况是在最高点处小球刚好未离开弹簧，弹力为零，合力就是重力。

这时弹簧恰好为原长。

⑴最大振幅应满足kA=mg , A =kmg⑵小球在最高点和最低点所受回复力大小相同，所以有：F m -mg=mg ，F m =2mg例题：一弹簧振子做简谐运动，周期为T ，下面说法正确的是( )A ．若t 时刻和(t+△t )时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，别△T 一定等于T 的整数倍B ．若t 时刻和(t+△t )时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则△t 一定等于2T 的整数倍O A A ′C ．若△t=T ，则在t 时刻和 （t+△t )时刻振子运动的加速度一定相等 。

-D ．若△t=2T，则在t 时刻和(t+△t )时刻弹簧的长度一定相等 解析：如图为某一物体的振动图线，对 A 选项图中的B 、C 两点的振动位移的大小、方向相同，但△t ≠T ，A 错． B 、C 两点速度大小相同，方向相反，△t ≠21T ，故A 、B 均不对．对C 选项，因为△t=T ，所以t 和t +△t 时刻振子的位移 、速度、加速度等都将周期性重复变化，加速度相同，C 对．对D 选 ，△t=21 T ，振子位移大小相同方向相反，弹簧的形变相同，但弹簧的长度不一定相同，D 错． 4、简谐运动的图象⑴简谐运动图象：简谐运动的位移—时间图象通常称为振动图象，也叫振动曲线。

⑵简谐运动振动图象的特点所有简谐运动的振动图象都是正弦或余弦曲线。

(3)简谐运动图象的物理意义表示振动物体相对于平衡位置的位移随时间的变化情况，或反映位移随时间的变化规律。

振动图象描述的是一个振动质点在各个不同时刻相对于平衡位置的位移，不是反映质点的运动轨迹。

⑷简谐运动振动图象的应用 ①判断振动的性质 ②读出振动的振幅A ③读出任意时刻t 对平衡位置的位移④读出振动的周期T ⑤判断任意时刻回复力和加速度的方向 ⑥任意时刻的速度方向⑦图象随时间的变化例题：某物体始终在做简谐运动，某时刻开始计时，得到的振动图象如图所示，则：①该振动的振幅是_______，周期是________。

②若振动所在的直线向右规定为离开平衡位置位移的正方向，那么 1.5×10－2 s 时刻的物体的运动方向是________，加速度的方向是_________。

③物体在 2.5×10－2ｓ时刻，动能正在_______，动量的大小正在_______(填“增大”或“减小”)④计时开始前2×10－2ｓ时刻，物体的位移大小为_______，速度方向_______，加速度大小________。

⑤0～10×10－2ｓ时间内物体还有_____次与零时刻的速度相同(即运动状态相同)。

⑥0～10×10－2ｓ时间内物体共有_____次速度与1.5×10－2ｓ时刻的速度相同。

⑦若将1×10－2ｓ时刻取做零时刻，并将原来规定的正方向规定为负方向，画出振动的图象。

参考答案： ①2cm ，4×10－20，向左，0；⑤2；⑥5 ；⑦－－2s－－2s－5、(1)单摆：如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置叫单摆。

①单摆的平衡位置：摆球静止时，受力平衡的位置，就是单摆的平衡位置。

②单摆的摆动摆球沿着以平衡位置O 为中点的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。

(2)、单摆做简谐运动 ①单摆的回复力重力G 沿圆弧切线方向的分力提供了使摆球振动的回复力。

也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力。

F ＝Ｇ1＝mgsinθ②单摆做简谐运动的推证 在偏角很小时，sinθ≈Lx又回复力Ｆ＝mgsinθ 所以单摆的回复力为x L mg F -=kx F -=在偏角很小的情况下，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成正比而方向相反，单摆做简谐运动。

③单摆做简谐运动的条件单摆做简谐运动的条件是偏角很小，通常应在10º以内，误差不超过0.5%。

⑶单摆振动的周期gLT π2= (T 跟L 的二次方根成正比，跟g 的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关)⑷单摆的应用①利用单摆的等时性计时②测定当地的重力加速度由g lT π2=得224Tl g π=，测出单摆的摆长l 和周期T ，则可计算出重力加速度g ．例题：一向右运动的车厢顶上悬挂两单摆M 与N ，他们只能在图中平面内摆动，某一瞬间出现图示情景，由此可知车厢的运动及两单摆相对车厢运动的可能情况是( )．A ．车厢做匀速直线运动，M 在摆动，N 静止B ．车厢做匀速直线运动，M 在摆动，N 也在摆动C ．车厢做匀速直线运动，M 静止，N 在摆动D ．车厢做匀速直线运动，M 静止，N 也静止解析：车做匀速直线运动与静止，在分析车中物体 摆动的情况是一样的；故A 、B 均正确.假如车做做速运动时M 静止则不符合牛顿运动定律，其所受合力不可能为零,C 错．如车向右匀加速直线运,N 静止亦不可能,违背牛顿运动定律，其所受合力应提供和车等大的加速度，故D 也错误。

F GO AA FL θG 1G 2例题：细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬挂点正下方1／2摆长处有一个能挡住摆线的钉子A ，如图所示．现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速地释放．对于以后的运动，下列说法中正确的是( )．A ．摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小B ．摆球在左、右两侧上升的最大高度一样C ．摆球在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍D ．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍解析：由图可知，摆球往返一次运动的周期T /=21T +22T =πg l +πgl2 ( 线长设为l)，而无钉子时单摆周期T =2πgl，所以T<T / ，A 对．根据小球摆动过程中机械能守恒可知，小球在两侧能上升的最大高度相同，B 对．根据几何关系；让小球碰到钉子后摆到平衡位置右情况,如图所示．由图示可知，C 、D 均错例题：已知在单摆 a 完成10次全振动的时间内，单摆 b 完成6次全振动，两摆长之差为1.6m ．则两单摆摆长l a 与l b 分别为( )．A ．l a = 2.5m ， l b =0.9mB ．l a = 0.9m ， l b =2.5mC ．l a =2.4m ， l b =4.0mD ．l a =4.Om ， l b =2.4m 解析：设振动时间为t ，由题意得：an t=2πg L a ，b n t=2πg LL a +，所以a b n n =aa L LL ∆+。

故所以259=a a L L L +， 所以L a =0.9(m),L b =2.5(m)例题：一单摆在山脚下，在一定时间内振动了N 次，将此单摆移至山顶上时，在相同时间内振动了（N -1）次，由此山高度约为地球半径的多少倍？解析：以g 1、g 2分别表示山脚和山顶处的重力加速度，则此单摆在山脚与山顶处的振动周期分别为T 1=2π1g l，T 2=2π2g l依题意得，在相同时间内，此单摆在山脚下振动N 次，而在山顶上振动（N -1）处，有2πN1g l=2π（N -1）2g l 所以211g g N N=- （1） 又设山脚离地心距离为R 1，山顶离地心距离为R 2，以M 表示地球的质量。